苏教版八年级上册《轴对称图形》全章复习与巩固--知识讲解(提高)

《轴对称图形》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1.认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；2.了解线段、角的轴对称性，并掌握与其相关的性质；3.了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法.【知识网络】【要点梳理】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别:轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．3.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.4.用坐标表示轴对称点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,－y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（－x,y）；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（－x,－y）.要点二、线段、角的轴对称性1.线段的轴对称性（1）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.（2）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；（3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线2.角的轴对称性（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点三、等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.【典型例题】类型一、轴对称的性质与应用1、如图，由四个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含△ABC本身）共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【思路点拨】分别以正方形的对角线和田字格的十字线为对称轴，来找三角形.【答案】C；【解析】先把田字格图标上字母如图，确定对称轴找出符合条件的三角形，再计算个数．△HEC与△ABC关于CD对称；△FDB与△ABC关于BE对称；△GED与△ABC关于HF对称；关于AG对称的是它本身．所以共3个．【总结升华】本题考查了轴对称的性质；确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键．举一反三：【变式】如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝（）A.180°B.270°C.360°D.480°【答案】C；解：连接AP，BP，CP，∵D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点∴∠ADB＝∠APB，∠BEC＝∠BPC，∠CFA＝∠APC，∴∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝∠APB＋∠BPC＋∠APC＝360°．2、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.【思路点拨】求周长最小，利用轴对称的性质，找到P的对称点来确定A、B的位置，角度的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算.【答案与解析】解：分别作P关于OM、ON的对称点1P，2P，连接12PP交OM于A，ON于B.则△PAB为符合条件的三角形.∵∠MON＝40°∴∠12PPP＝140°.∠1PPA＝12∠PAB,∠2PPB＝12∠PBA.∴12(∠PAB＋∠PBA)＋∠APB＝140°∴∠PAB＋∠PBA＋2∠APB＝280°∵∠PAB＝∠1P＋∠1PPA,∠PBA＝∠2P＋∠2PPB∴∠1P＋∠2P＋∠12PPP＝180°∴∠APB＝100°【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，这样取得周长的最小值.举一反三：【变式】如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（）．A．100°B．110°C．120°D．130°【答案】C；提示：找A点关于BC的对称点1A，关于ED的对称点2A，连接12AA，交BC于M点，ED于N点，此时△AMN周长最小.∠AMN＋∠ANM＝180°－∠MAN，而2∠BAM＝∠AMN，2∠EAN＝∠ANM，∠BAM＋∠EAN＋∠MAN＝120°,所以∠AMN＋∠ANM＝120°.3、如图，△ABC关于平行于x轴的一条直线对称，已知A点坐标是（1，2），C点坐标是（1，－4），则这条平行于x轴的直线是（）A.直线x＝－1B.直线x＝－3C.直线y＝－1D.直线y＝－3【思路点拨】根据题意，可得A、C的连线与该条直线垂直，且两点到此直线的距离相等，从而可以解出该直线．【答案】C；【解析】解：由题意可知，该条直线垂直平分线段AC又A点坐标是（1，2），C点坐标是（1，－4）∴AC＝6∴点A，C到该直线的距离都为3即可得直线为y＝－1【总结升华】本题考查了坐标与图形的变化一一对称的性质与运用，解决此类题应认真观察图形，由A与C的纵坐标求得对称轴．举一反三：【变式1】如图，若直线m经过第二、四象限，且平分坐标轴的夹角，Rt△AOB与Rt△AOB关于直线m对称，已知A（1，2），则点'A的坐标为（）A.（－1，2）B.（1，－2）C.（－1，－2）D.（－2，－1）【答案】D；提示：因为Rt△AOB与Rt△AOB关于直线m对称，所以通过作图可知，A的坐标是（－2，－1）．【变式2】如图，ΔABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为（3，1），如果要使ΔABD与ΔABC全等，求点D的坐标．【答案】解：满足条件的点D的坐标有3个（4，－1）；（－1，－1）；（－1，3）.类型二、等腰三角形的综合应用4、如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴ABPS△=12AB•PE，ACPS△=12AC•PF，ABCS△=12AB•CH．又∵ABPACPABCSSS△△△，∴12AB•PE+12AC•PF=12AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=______.点P到AB边的距离PE=________.【答案】7；4或10；【解析】解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴ABPS△=12AB•PE，ACPS△=12AC•PF，ABCS△=12AB•CH，∵ABPS△=ACPS△+ABCS△，∴12AB•PE=12AC•PF+12AB•CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵ABCS△=12AB•CH，AB=AC，∴12×2CH•CH=49，∴CH=7．分两种情况：①P为底边BC上一点，如图①．∵PE+PF=CH，∴PE=CH-PF=7-3=4；②P为BC延长线上的点时，如图②．∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．5、已知，如图，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°.求ADB的度数．【答案与解析】解：将ABD△沿AB翻折，得到ABE△，连结CE，则ABDABE△≌△，∴,,BDBEADBAEB∠1＝∠5＝12°.∴125EBC60°∵3ABC48°∴ABAC．又∵∠2＝36°，34BCD72°，∴,BDCBCDBDBC∴BE＝BC∴BCE△为等边三角形.∴.BECE又,ABACAE∴垂直平分BC．∴AE平分BEC．∴12AEBBEC30°∴∠ADB＝30°【总结升华】直接求ADB很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与ABD△全等的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求．举一反三：【变式】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D为形内一点，且∠DAB＝∠DBA＝10°，求∠ACD的度数.【答案】解：作D关于BC中垂线的对称点E，连结AE，EC，DE∴△ABD≌△ACE∴AD＝AE,∠DAB＝∠EAC＝10°∵∠BAC=80°，∴∠DAE＝60°，△ADE为等边三角形∴∠AED＝60°∵∠DAB＝∠DBA＝10°∴AD＝BD＝DE＝EC∴∠AEC＝160°，∴∠DEC＝140°∴∠DCE＝20°∴∠ACD＝30°类型三、等边三角形的综合应用6、如图所示，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形．(1)如图(1)所示，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？(2)如图(2)所示，当点M在BC上时，其他条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图(2)证明；若不成立，请说明理由．【答案与解析】解：(1)EN＝MF，点F在直线NE上．证明：连接DF，DE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC．又∵D，E，F是△ABC三边的中点，∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．又∠MDN＋∠NDF＝∠MDF，∠NDF＋∠FDE＝∠NDE，∵△DMN为等边三角形，DM＝DN，∠MDN＝60°∴∠MDF＝∠NDE．在△DMF和△DNE中，DFDEMDFNDEDMDN，∴△DMF≌△DNE，∴MF＝NE，∠DMF＝∠DNE.∵∠DMF＋60°＝∠DNE＋