2.7二次根式例题与讲解(2013-2014学年北师大八年级上)

7二次根式1．二次根式的定义一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数．【例1－1】下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？2，33，1x，x2＋1，0，42，－2，1x＋y，x＋y.解：二次根式有：2，x2＋1，0，－2；不是二次根式的有：33，1x，42，1x＋y，x＋y.析规律二次根式的条件二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0.【例1－2】当x是多少时，3x－1在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x－1≥0时，3x－1才有意义．解：由3x－1≥0，得x≥13.因此当x≥13时，3x－1在实数范围内有意义．点技巧二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件是，被开方数是非负数，即被开方数一定要大于或等于0.2．积的算术平方根用“＞，＜或＝”填空．4×9______4×9，16×25______16×25，100×36______100×36.根据上面的计算我们可得出：ab＝a·b(a≥0，b≥0)即：积的算术平方根，等于各算术平方根的积．【例2】化简：(1)9×16；(2)16×81；(3)81×100；(4)54.分析：利用ab＝a·b(a≥0，b≥0)直接化简即可．解：(1)9×16＝9×16＝3×4＝12.(2)16×81＝16×81＝4×9＝36.(3)81×100＝81×100＝9×10＝90.(4)54＝9×6＝32×6＝36.点评：利用积的算术平方根的性质可对二次根式进行化简，使其不含能开得尽方的因数或因式．3．商的算术平方根填空：(1)916＝__________，916＝__________；(2)1636＝__________，1636＝__________；(3)416＝__________，416＝__________；(4)3681＝__________，3681＝__________.规律：916______916；1636______1636；416______416；3681______3681.通过计算容易得出上面的式子都是相等的．因此，ab＝ab(a≥0，b0)即：商的算术平方根等于各算术平方根的商．【例3】化简：(1)364；(2)64b29a2；(3)9x64y2；(4)5x169y2.分析：直接利用ab＝ab(a≥0，b＞0)就可以达到化简之目的．解：(1)364＝364＝38.(2)64b29a2＝64b29a2＝8|b|3|a|.(3)9x64y2＝9x64y2＝3x8|y|.(4)5x169y2＝5x169y2＝5x13|y|.4．最简二次根式最简二次根式应满足以下两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．所以，化简二次根式时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式．【例4】把下列根式化成最简二次根式：(1)12，(2)40，(3)1.5，(4)43.解：(1)12＝4×3＝23.(2)40＝4×10＝210.(3)1.5＝32＝32＝3×22×2＝62.(4)43＝23＝233.点评：化简二次根式时，要求最终结果中分母不含有根号，应利用二次根式的有关性质化掉分母中的根号．5．二次根式的乘除二次根式的乘法：a·b＝ab(a≥0，b≥0)二次根式的除法：ab＝ab(a≥0，b0)即：二次根式相乘除，只把被开方数相乘除，结果仍然作为被开方数．【例5】计算：(1)5×7；(2)13×9；(3)14÷116；(4)648.分析：直接利用a·b＝ab(a≥0，b≥0)和ab＝ab(a≥0，b＞0)计算即可．解：(1)5×7＝35.(2)13×9＝13×9＝3.(3)14÷116＝14÷116＝14×16＝4＝2.(4)648＝648＝8＝22.6．二次根式的加减计算下列各式：(1)2x＋3x；(2)2x2－3x2＋5x2；(3)x＋2x＋3y；(4)3a2－2a2＋a3.上面的题目，实际上为同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．计算下列各式：(1)22＋32；(2)28－38＋58；(3)7＋27＋9×7；(4)33－23＋2.分析：(1)如果我们把2当成x，不就转化为上面的问题了吗？22＋32＝(2＋3)2＝52.(2)把8当成y；28－38＋58＝(2－3＋5)8＝48＝82.(3)把7当成z；7＋27＋9·7＝7＋27＋37＝(1＋2＋3)7＝67.(4)把3看为x，2看为y.33－23＋2＝(3－2)3＋2＝3＋2.因此，二次根式的被开方数相同的话是可以合并的．二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【例6】计算：(1)8＋18；(2)16x＋64x；(3)348－913＋312；(4)(48＋20)＋(12－5)．分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．解：(1)8＋18＝22＋32＝(2＋3)2＝52.(2)16x＋64x＝4x＋8x＝(4＋8)x＝12x.(3)348－913＋312＝123－33＋63＝(12－3＋6)3＝153.(4)(48＋20)＋(12－5)＝48＋20＋12－5＝43＋25＋23－5＝63＋5.7．化简a2(1)计算：42＝4，0.22＝0.2，452＝45，202＝20，观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a＞0时，a2＝a.(2)计算：(－4)2＝4，(－0.2)2＝0.2，－452＝45，(－20)2＝20，观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a＜0时，a2＝－a.(3)计算：02＝0，当a＝0时，a2＝0.(4)将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：a2＝|a|＝a，a0，0，a＝0，－a，a0.【例7－1】化简：(1)9；(2)(－4)2；(3)25；(4)(－3)2.分析：因为(1)9＝32，(2)(－4)2＝42，(3)25＝52，(4)(－3)2＝32，所以都可运用a2＝a(a≥0)去化简．解：(1)9＝32＝3.(2)(－4)2＝42＝4.(3)25＝52＝5.(4)(－3)2＝32＝3.【例7－2】先化简再求值：当a＝9时，求a＋1－2a＋a2的值，甲、乙两人的解答如下：甲的解答为：原式＝a＋(1－a)2＝a＋(1－a)＝1；乙的解答为：原式＝a＋(1－a)2＝a＋(a－1)＝2a－1＝17.两种解答中，__________的解答是错误的，错误的原因是__________．答案：甲甲没有先判定1－a是正数还是负数8．二次根式的混合运算计算：(1)6x·3y；(2)(2x＋y)·zx；(3)(2x2y＋3xy2)÷xy.(4)(2x＋3y)(2x－3y)；(5)(2x＋1)2＋(2x－1)2.如果把上面的x，y，z改写成二次根式，以上的运算规律是否仍成立？仍成立．整式运算中的x，y，z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．【例8】计算：(1)(6＋8)×3；(2)(46－32)÷22；(3)(5＋6)(3－5)；(4)(10＋7)(10－7)．分析：因为二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律．解：(1)(6＋8)×3＝6×3＋8×3＝18＋24＝32＋26.(2)(46－32)÷22＝46÷22－32÷22＝23－32.(3)(5＋6)(3－5)＝35－(5)2＋18－65＝13－35.(4)(10＋7)(10－7)＝(10)2－(7)2＝10－7＝3.