数学思维与数学教学

数学思维与数学教学摘要：思维的积极性、求异性、广阔性、联想性等是发散思维的特性，在数学教学中有意识地抓住这些特性进行训练与培养，既可提高学生的发散思维能力，又是提高小学数学教学质量的重要一环。数学学习，从本质上来说是以思维为主的活动过程。开展丰富多彩的数学活动，让学生经历“数学化”与“再创造”的思维过程，形成自己对数学知识的理解，从而实现数学思维的升华。使数学教学从单纯的知识记忆、复现、再认向通过引导学生开展主体性数学活动以促进学生思维发展。关键词：数学思维数学教学诱发思维对于数学思维的突出强调是国际范围内新一轮数学课程改革的一个重要特征，如由美国的《学校数学课程与评估的标准》和我国的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《课程标准》）关于数学教育目标的论述中就可清楚地看出。然而，就小学数学教育的现实而言，上述的理念还不能说已经得到了很好的贯彻，而造成这一现象的一个重要原因就是以下的认识：小学数学的教学内容过于简单，因而不可能很好地体现数学思维的特点。以下将依据国际上的相关研究对这一观点作出具体分析，希望能促进这一方向上的深入研究，从而能够对于实际教学活动发挥积极的导向作用。一、数学教育是数学教育的核心数学教育的意义在于用科学自身的品质，陶冶人、启迪人、充实人、促使人的素质全面发展。数学教育是一种文化，使人得到数学方面的修养，更好地理解、领略现代社会的文明；它是“思维的体操”，使人思维敏锐，表述清楚。一个人学习了数学可以得到自身品质的提高；广大青少年学习了数学可以使整个民族的素质得到提高。数学教育作为一种文化来提出，思维能力的发展是至关重要的。思维是一个健全人的需要，甚至可以说是人存在的标志。现代社会使人对生活质量的要求更高了。而高质量生活的一个重要内涵，是人能更科学地、更健康思维，特别是人必须有很强的创造性。这种创造性不仅是为了发明或发现什么，还在于要使人更好地适应社会，更有创意地生活。创造力的培养是多方面的。数学给人一种正确的科学的创造思维的示范。人们为了寻找数学模型和运用数学模型，展开了有创造性的、辩证的思维。这些与数学的严格逻辑思维一起，成为基础教育中一种必须而可能的训练项目。也就是说，数学思维教育是培养健全的现代人的需要。二、数学思维的定义及其特性学生的学习，不仅要通过感知认识事物的个别属性和外部联系，获得感性认识，更重要的还须在感性认识的基础上，通过复杂的思维活动，认识事物的本质和规律，获得理性认识。所谓的思维是人脑对客观事物的本质和规律的概括的和间接的反映过程。概括性和间接性是思维的两个基本特征。在数学学习中，学生的许多知识都是通过概括认识而获得的。思维的另一个特征是间接性。思维当然要依靠感性认识，没有它就不可能有思维。但是，思维远远超脱于感性认识的界限之外，去认识那些没有直接感知过的，或根本无法感知到的事物，以及预见和推知事物发展的进程，我们说，举一反三，闻一知十，由此及彼，由近及远等，这些都是指间接性的认识。什么是数学思维？数学思维是人脑和数学对象交互作用并按一般的思维规律认识数学规律的过程。数学思维实质上就是数学活动中的思维。初中学生的数学思维的发展具有两个主要特点：第一，抽象逻辑思维日益发展，并逐渐占有相对优势，但具体形象思维仍然起着重要作用；第二，思维的独立性和批判性有了显著的发展，他们往往喜欢怀疑和争论问题，不随便轻信教师和书本的结论。当然，初中学生思维的独立性和批判性还是很不成熟的，还很容易产生片面性和表面性，这些缺点是和他们的知识经验的不足相联系的。三、数学教学中的诱发思维问题是科学研究的起点，是一切思维活动的“源头”。现代教育理论认为：产生学习的根本原因是问题，没有问题就难以诱发和激起求知欲。因此，在数学教学中，我们应把问题作为数学活动的动力、起点和贯穿学习过程的主线。特别是在新课的导入环节，更应精心创设问题情境，通过设疑来激发学生的学习兴趣和思维的火花，通过组织生动、有趣、以学生为主体的活动来激发学生的思维，引导学生发现问题。例如在学习《分数的基本性质》时，可以这样设计这样的活动：每人四张一样长的纸条，编号为A、B、C、D。首先是学生动手操作：①把A纸条对折平均分成2份，给其中的一份涂上颜色并用分数表示；②把B纸条对折平均分成4份，给其中的2份涂上颜色并用分数表示；③把C纸条对折平均分成6份，给其中的3份涂上颜色并用分数表示；④把D纸条对折平均分成16份，给其中的8份涂上颜色并用分数表示。然后把4张纸条按顺序排列，引导学生观察，结果会发现虽然几个分数不同，但用这些分数表示的纸条却一样长，并写出等式。此时学生一定会产生疑问：“这几个分数的分子分母都不相同，它们为什么会相等呢？是不是一个分数的分子分母随便怎么变，它们的大小都不变呢？”这时学生对这种现象产生一种追根问底的欲望。然后教师引入课题：“今天我们来学习《分数的基本性质》，学了分数的性质以后，同学们就会理解为什么这几个分数是相等的了。”这样一改传统的先复习旧知后讲授新知的教学模式，而是通过学生的动手操作和观察去发现问题，产生疑问。课堂教学一开始就让学生积极主动地参与到数学教学活动中来，使学生带着浓厚的兴趣转入新知识的探索阶段。学生的注意力达到高度集中，思维空前活跃，从而诱发了学生的创造性思维。四、转换角度思考，训练思维的求异性发散思维活动的展开，其重要的一点是要能改变已习惯了的思维定向，而从多方位多角度——即从新的思维角度去思考问题，以求得问题的解决，这也就是思维的求异性。从认知心理学的角度来看，小学生在进行抽象的思维活动过程中由于年龄的特征，往往表现出难以摆脱已有的思维方向，也就是说学生个体（乃至于群体）的思维定势往往影响了对新问题的解决，以至于产生错觉。所以要培养与发展小学生的抽象思维能力，必须十分注意培养思维求异性，使学生在训练中逐渐形成具有多角度、多方位的思维方法与能力。例如，四则运算之间是有其内在联系的。减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，加与乘之间则是转换的关系。当加数相同时，加法转换成乘法，所有的乘法都可以转换成加法。加减、乘除、加乘之间都有内在的联系。如１８９－７可以连续减多少个７？应要求学生变换角度思考，从减与除的关系去考虑。这道题可以看作１８９里包含几个７，问题就迎刃而解了。这样的训练，既防止了片面、孤立、静止看问题，使所学知识有所升华，从中进一步理解与掌握了数学知识之间的内在联系，又进行了求异性思维训练。在教学中，我们还经常发现一部分学生只习惯于顺向思维，而不习惯于逆向思维。在应用题教学中，在引导学生分析题意时，一方面可以从问题入手，推导出解题的思路；另一方面也可以从条件入手，一步一步归纳出解题的方法。更重要的是，教师要十分注意在题目的设置上进行正逆向的变式训练。如：进行语言叙述的变式训练，即让学生依据一句话改变叙述形式为几句话。逆向思维的变式训练则更为重要。教学的实践告诉我们，从低年级开始就重视正逆向思维的对比训练，将有利于学生不囿于已有的思维定势。五、数学思维能力的培养（1）激发学习兴趣，调动学生内在的思维能力学生对数学的迷恋往往是从兴趣开始的，由兴趣产生动机，由动机到探索，由探索到成功，在成功的快感中产生的新的兴趣和动机，推动学习的不断成功。（2）要教会学生思维的方法孔子说：“学而不思则罔，思而不学则殆”。恰当地示明学思关系，才能取得良好的效果。在数学学习中要使学生思维活跃，就要教会学生分析问题的基本方法，这样有利于培养学生的正确思维方式。要学生善于思维，必须重视基础知识和基本技能的学习，没有扎实的双基，思维能力是得不到提高的。数学概念、定理是推理论证和运算的基础，准确地理解概念、定理是学好数学的前提。在教学过程中要提高学生观察分析、由表及里、由此及彼的认识能力。（3）要培养学生良好的思维品质数学教学重要的是培养学生的思维能力，而创造性思维又是数学思维的品质，是未来的高科技信息社会中，具有开拓、创新意识的开创性人才所必须具有的思维品质。①在数学教学中，要精心设计，创设一定的思维情境，巧设悬念，使学生对所要解决的问题产生浓厚的兴趣，诱发学生的创造欲。学生的创造性思维往往是由遇到要解决的问题而引起的，因此，教师在传授知识的过程中，要精心设计思维过程，创设思维情境，使学生在数学问题情境中，新的需要与原有的数学水平发生认知冲突，从而激发学生数学思维的积极性、启迪直觉思维，培养创造机智。②任何创造过程，都要经历由直觉思维得出猜想，假设，再由逻辑思维进行推理、实验，证明猜想、假设是正确的。许多科学发现，都是由科学家们一时的直觉得出猜想、假设，然后再由科学家们自己或几代人，经过几年，几十年甚至上百年不懈的努力研究而得以证明。如有名的“哥德巴赫猜想”“黎曼猜想”等等。因此，要培养学生创造思维，就必须培养好学生的直觉思维和逻辑思维的能力，而直觉对培养学生创造性思维能力有着极其重要的意义，在教学中应予以重视。教师在课堂教学中，对学生的直觉猜想不要随便扼杀，而应正确引导，鼓励学生大胆说出由直觉得出的结论。而直觉思维以已有的知识和经验为基础的，因此，在教学中要抓好“三基”教学，同时要保护学生在教学过程中反映出来的直觉思维，鼓励学生大胆猜想发现结论，为杜绝可能出现的错误，应“还原”直觉思维的过程，从理论上给予证明，使学生的逻辑思维能力得以训练，从而培养学生的创造机智。③加强对学生发散思维的培养，对造就一代开拓型人才具有十分重要的意义。在数学教学中可通过典型例题的解题教学及解题训练，尤其是一题多解、一题多变、一题多用及多题归一等变式训练，达到使学生巩固与深化所学知识，提高解题技巧及分析问题、解决问题的能力，增强思维的灵活性、变通性和独创性的目的。培养学生思维能力的方法是多种多样的，要使学生思维活跃，最根本的一条，就是要调动学生学习数学的积极性，教师要善于启发、引导、点拨、解疑，使学生变学为思。当然，良好的思维品质不是一朝一夕就能形成的，而是要根据学生实际情况，通过各种手段，坚持不懈，持之以恒。