高一数学函数值域方法汇总

四川省天全中学刘锐求函数值域方法很多，常用配方法、换元法、判别式法、不等式法、反函数法、图像法（数形结合法）、函数的单调性法以及均值不等式法等。这些方法分别具有极强的针对性，每一种方法又不是万能的。要顺利解答求函数值域的问题，必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点选择求值域的方法，下面就常见问题进行总结。例1求函数如图，∴y∈[-3/4,3/2].21(11)2yxxx的值域。分析：本题是求二次函数在区间上的值域问题，可用配方法或图像法求解。2minmax13(),1,1,2433,1,,42yxxyxy解：1x=，2oxy-113/2-3/41/2例2求函数分析：函数是分式函数且都含有二次项，可用判别式和单调性法求解。21223xxx2xy=的值域。解法1：由函数知定义域为R,则变形可得：(2y-1)x2-(2y-1)x+(3y－1)=0.当2y-1=0即y=1/2时，代入方程左边＝1/2·3-1≠0,故≠1/2.当2y-1≠0,即y≠1/2时，因x∈R,必有△=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1)≥0得3/10≤y≤1/2,综上所得，原函数的值域为y∈〔3/10,1/2〕.解法2：（函数的单调性法）是增函数，u取最小值时，y也取最小值。2221,10,2(1)1xxyuxxxx令111,,01121222uyyyuuuu在上22min131131(),,.124210234uxxxxy而故∴原函数的值域为y∈〔3/10,1／2）例3求函数的反函数的定义域.分析：函数f(x)的反函数的定义域就是原函数的值域，可用不等式法求解。11xxeye解：变形可得1(1)1,1,01xxyyeyyey0(1)(1)0,1yyy＋1即故－y1.y-1∴反函数的定义域为(-1,1)。例4求下列函数的值域：(1)y=6x2-2x3,(0x3);(2)若正数a、b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围（99年高考题）。分析：均值不等式可以解决诸多特殊条件的函数值域问题，变形恰当，柳暗花明。(1)解：原函数可变形为：3(3)22(3)88.223xxxxxx2y=2x(3-x)=24当且仅当x/2=3-x时，即x=2时取等号。故在0x3时函数y的值域为y∈〔9，+∞）。（2）解法1(均值不等式)411aa+34由已知得b=即ab=a+b+3=a+4+a-1a-14(1)5,31aababa又由得，(1)30,10.baaa44(1)52(1)59,11abaaaa当且仅当a=3时取等号。故ab∈〔9，+∞）解法2：（不等式法）32230ababababab由+3得，3)(1)0030,abab即（ab由于ab即ab3,当a=3,b=3时取等号，故ab∈〔9，+∞）.例5求下列函数的值域：（1）y=5-x+√3x-1；（2）y=x-2+√4-x2.分析：带有根式的函数，本身求值域较难，可考虑用换元法将其变形，换元适当，事半功倍。21解：（1）令t=3x-10,有x=(t+1),3min36565,y-,.21212ty，故2211365于是y=5-(t+1)+t=-(t-)+,33212(2),0,,2244cosy令x=2cos有cos2(cossin1)22sin()2,420,,sin()1.42(21),24y即值域为y∈〔-4,2√2-2〕例6求下列函数的值域：22212(1)2;(2)log(21).xxyyxx分析：求复合函数的值域，利用函数的单调性采用换元法先求出外层函数的值域作为内层函数的定义域，然后求原函数的值域，要特别注意内层函数的定义域的取值范围。解（1）令u=x2+2x=(x+1)2-1,得u∈〔-1,+∞),则y=2u≧2-1=1/2；故值域是y∈〔1/2,+∞).(2)令u=-x2+2x+1=-(x-1)2+2≦2,且u0,故y=log1/2u的定义域为（0，2]上的减函数，即原函数值域的为y∈〔-1,+∞)。分析：本题求值域看似简单，其实有其技巧性，变形适当事半功倍。(1)可用配方法或判别式法求解;（2）可用单调有界性解之。解法1：不难看出y≧0,且可得定义域为3≦x≦5,原函数变形为：22(35)22815yxxxx例7求下列函数的值域：（1）y=√x-3+√5-x;(2)y=√x-3-√5-x.222(4)1,(35)xx由x∈[3,5]知，-x2+8x-15∈[0,1],即当x=4时，ymax=2，当x=3或5时，ymin=√2,故原函数的值域为[√2，2]。解法2：(判别式法).两边平方移项得:y2-2=2√(x-3)(5-x),再平方整理得4x2-32x+y4-4y2+64=0且y2-2≧0,y看成常数,方程有实根的条件是=162-4(y4-4y2+64)=-4y2(y2-4)≧0,注意到y0得y2-4≦0即0y≦4而y2-2≧0即有√2≦y≦2,∴y∈[√2,2].(2)解：由y=√x-3-√5-x得定义域为x∈[3,5].∵y=√x-3在[3，5]上是单调增函数，y=-√5-x在[3,5]上也是单调增函数。∴y=√x-3-√5-x在[3，5]上是增函数，当x=3时，ymin=-√2,当x=5时，ymax=√2,故原函数的值域为y∈[-√2,√2].例8已知圆C：x2-4x+y2+1=0上任意一点P（x,y),求的最大值与最小值。yx分析：即求圆上的点P(x,y)到原点(0,0)的斜率的最值，可利用数形结合法求解。00yyxxxyoPC解：圆C方程为(x-2)2+y2=3，的最值即求圆上的点P到原点的斜率的最值。设y=kx,如图，显然，当直线y=kx与圆C相切时k有最值，容易得出其最大与最小值分别为√3，-√3.yx例9已知圆C：x2+y2-4x+6y+11=0,求x+y+4的最值。分析：本题可转化采用圆的参数方程表达，利用三角函数的有界性解决或在二元二次方程的约束条件下，求x+y+4的线性规划。解法1：条件可化为(x-2)2+(y+3)2=2把此圆化为参数方程22cos,32sin.xy42(cossin)3xy222(cossin)32cos()3.224∴(x+y+4)max=5(x+y+4)min=1解法2（线性规划）∵x,y是圆C:(x-2)2+(y+3)2=2上的点，设x+y+4=z,则y=-x+(z-4),z-4可看作为直线L:x+y+4-z=0在y轴上的截距，作直线y=-x并平移，当直线L:x+y+4-z=0和圆C相切时，z-4有最大值和最小值。222(3)423251.11zzzz故或∴(x+y+4)max=5(x+y+4)min=1xyoC(2,-3)y=-x例10求函数的值域。sin2cosxyx分析：利用三角函数的有界性较数形结合为点(2,0)与点(cosx,-sinx)连线的斜率的过程要简单。0(sin)2cosxkx解：将原函数化为sinx+ycosx=2y22211(sincos)211yyxxyyy22212cos,sin,sin(),111yyxyyy令22233131.331yyyy由平方得例11求函数y=√x2-2x+10+√x2+6x+13的值域。分析：本题求函数的值域可用解析几何与数形结合法解之。A1(1,-3)yA(1,3)B(-3,2)xoP将上式可看成为x轴上点P(x,0)与A(1,3),B(-3,2)的距离之和。即在x轴上求作一点P与两定点A,B的距离之和的最值，利用解析几何的方法可求其最小值。如图，可求A关于x轴对称点A1(1,-3)连结A1B交x轴y于P,则P(x,0)为所求，可证明2211(13)(32)41.PAPBBABA最小，解：函数变形为y=√(x-1)2+(0-3)2+√(x+3)2+(0-2)2.所以原函数值域的为y∈[√41,+∞).桃花树下，他轻抚她的脸，轻轻说道“阿君，待我大败敌寇，还朝之日，便是娶你之时。”她轻轻抬头看他，他认真的眼神在这一刻深深地刻在她的心上。她柔柔的笑着“好，我等你回来，此生非君不嫁。”“我也是，此生非卿不娶。”第二日，他率领数万将士，君王亲自在城门送行。他饮下一碗烈酒，狠狠地将碗摔碎在地上，跪向君王，“陛下，我蒙天毅在此发誓，定将贼寇大败于沙场，提那贼人的脑袋回来给大王祭酒！”“好好好，蒙将军快请起，此次出征，务必凯旋而归，出发吧！”他转身利落上马，回头往城墙内望了一眼，转身骑着马领着大军便出发了。行军二十余日，终于来到已经被敌寇占领的安平城外，敌人准备充足，兵强马壮，五万对上十万敌军，他知道这一场仗，不好打。但是想到京中还在等着他的阿君，他的心中顿时充满了力量，他相信，他们一定可以把敌寇赶回去的。而此刻，沈若君坐在床边，手中拿着一个绣好的荷包发呆。这时门外进来了一个小丫头，手上端着一个木盒，“小姐，这是王尚书家大公子着人送给小姐的翡翠镯子，据说是红色的，极为珍贵呢。”“就你啰嗦，你把镯子还回去吧，我们没什么交情，不好拿人家东西。”“小姐，你都没看看呢，就让我拿回去。再说谁不知道王公子喜欢小姐才经常送小姐东西讨小姐欢心啊。”“那你就不知道你家小姐我有喜欢的人吗。”“好好好，我听小姐的还不行嘛，我马上就找人送回王公子府上。”转眼就到深秋，寒风瑟瑟，边疆打仗的战士在寒风中，拿着长矛正在练兵。远处营帐外，一个萧瑟的身影，矗立在营外，他的眼神似乎在看什么，又似乎只是看向远方。这时军师走了过来，“将军，我们与敌军对战已三月有余，我军惨败，本来人数就相差悬殊，如今我军不到两万人，敌军却有八万之多，这可如何是好？”“朝中政务被奸臣刘忠掌控，陛下只能给我们五万人来破敌，如今，我们只能靠自己。再不破敌，恐怕我们这些人的死活他们怕是都不准备管了”“什么？将军，您是说刘忠已经控制了皇上，不给我们粮草了吗？”“哼！皇上早就被刘忠控制，空坐着一把椅子罢了。我们如今粮草顶多再撑两个月，我已经得到消息，刘忠根本就不想让我们回去，他好一个人独霸朝政。”“本将出城查探一番，你留守军营。”“是。”骑着马到敌军城下五里处，蒙天毅仔细研究地形，正当他准备往前继续往前查探时，突然听到不远处有人喊救命。他仔细听清方向后，悄悄走过去，只看到三个大汉正在欺负一个女子，他赶忙挥刀上前，不出盏茶功夫，三个大汉被打的纷纷跪地求饶，他也懒得理他们，只叫他们滚。“等等，把抢我的银子还给我。”三人听言，连忙把女子的银子、首饰、包袱放下逃了。蒙天毅扶起女子，是一个很灵动的小丫头。一双眼睛眨呀眨，似乎会说话。她站起身，“哎呀”一声，对着蒙天毅说“我的脚扭了，你背我吧。”“你家住哪里，我送你回去。”“我被哥哥赶出来了，我现在没有地方可去，要不我跟着你给你做丫鬟吧。”说罢一双眼睛紧紧地盯着蒙天毅，似乎他说一个不字，她就要哭。蒙天毅顿时头疼。他当然不能带她一起回军营。遂问道“你是哪里人？”只见女子随手一指，“喏，五里外的安平城，我可是安平王的亲妹妹。给你当丫鬟便宜你了。”蒙天毅顿时了然，原来是敌寇的人，可是看这女子的样子，似乎是一个被宠坏的大小姐。于是他心里有了主意。“这样吧，我送你回家，正好我还没见过安平王殿下尊荣，不如替你好好说说，你哥哥想必不会怪罪你。”“可是我好不容易才逃出来的啊。”说完似乎意识到自己说错了什么，连忙捂住嘴。“呵呵，真是个可爱的丫头，那我更得送你回去了，走吧。”说着点住女子睡穴，将她放在自己马上，大摇大摆进了安平城。他带着女子来到安平王府外，对