特征函数讲解

一、定义二、性质三、逆转公式与唯一性定理第4.5节特征函数四、分布函数的再生性五、多元特征函数1.问题的引出一、定义随机变量的数字特征只反映了概率分布的某些侧面，一般情况下，无法仅由数字特征确定分布函数，因此需要引进随机变量的另一个指标，该指标是可以反映随机变量的本质特征，可以唯一确定随机变量的分布函数，该指标就是特征函数.2.定义定义4.5.1如果与都是概率空间(,F,P)上的实值随机变量，则称=+i的复随机变量.复随机变量=+i的数学期望为E()=E()+iE()121212,,,()()()()nnnEEEE复随机变量相互独立，则复随机变量函数的数学期望，设=g(),d()()(e)(e)e()ititgitgxEEFx由此可以引出：(),Fx若随机变量的分布函数为义则称定4.5.2d()(e)e()ititxftEFx为的特征函数(characteristicfunction)|e||cossin|1,itxtxitxt由于因而此积分是绝对收敛的，因而对一切都有意义.3.离散情形与连续情形下的特征函数1{},1,2,,,().kkkitxkkPxpknftpe设随机变量的分布列为则其特征函数为设连续型随机变量的密度函数为p(x),则其特征函数为d()e()itxftpxx同时我们注意到，连续型随机变量的特征函数f(t)是密度函数p(x)的傅立叶变换.4.常见分布的特征函数【退化分布】1()eekitxitcjkftp【二项分布】00()CeC(e)()nnkkitknkkitknkitnnnkkftpqpqpeq【泊松分布】e(e1)00(e)()eeeee!!ititkitkitkkkftkk【分布】G(,r)d10()ee(1)()ritxrxritftxxrd(1)10{(1)}e(1)()ritxrrititxxr二、性质(1)性质1(0)1f|()|(0)ftf()()ftft(2)性质2特征函数在(-,)上一致连续.证明dd()e()e()()itxitxftFxFxft证明d()|()()||(ee)()|ithxitxfthftFxd|e||(e1)|()itxihxFxdd||2()2|sin|()2AxAAhxFxFx由此可以看到，A足够大时，第一部分可以任意小，h的绝对值足够小时，第二部分也可以任意小.(3)性质312,,,,nnttt对于任意的正整数以及任意实数12,,,n以及复数成立11()0nnkjkjkjfttdd||2()|(e1)|()AihxxAAFxFxd-1|dd|||(e1)|()|e()|(e1)|()AihxihxihxxAAFxFxFx证明：11()nnkjkjkjftt()11{ed()}kjnnittxkjkjFx()11{e}d()kjnnittxkjkjFx11(e)(e)d()jknnitxitxkjkjFx21ed()0knitxkkFx此性质为特征函数的非负定性.(4)性质4两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于它们的特征函数之积12121212()ee(e)(e)(e).itititititEEE这是因为和相互独立，则与相互独立，因而推广1212()(e)(e)(e)(e)nnititititEEEE应用独立随机变量和的分布函数可以用褶积的方法去求解，但相当复杂，如果用特征函数去求，就相对容易。(5)性质5i()(0)().设随机变量有阶矩，则它的特征函数可微分次，且当时，kkknnknfE这是因为ee()d()()d()i()d()dkkitxkkitxkftFxxFxt令t=0即可证明性质5.关于广义积分的求导，这是因为eed|()|d()|()|d()d||d()kitxkkitxkkFxixFxtxFx应用可以利用特征函数得到随机变量的各阶矩由上述性质可知，特征函数f(t)的泰勒展开式为：()0(0)()()!knkkffttotk0(i)()()()!knkktftEotk(6)性质6i,,()().btababftefat设这里为常数，则这是因为ii()iii()(e)(e)e(e)e()ttabtbtatbftEEEfat例1(p227例5）试求正态分布2(,)Na的特征函数.解先求标准正态分布的特征函数，πππ222i2221()eed211cosedisined22xtxxxftxtxxtxxπ221cosed2xtxx由于ππ22'2211()sinedsinde22xxftxtxxtxπ22221sinecosed()2xxtxttxxtft即2ln()2tftc22(0)1,0,()etfcft又因为所以因而221i2,6()eattaft而由性质可知，其他常见的分布的特征函数参见p332附录一.三、逆转公式与唯一性定理特征函数可以由分布函数确定，相应的由特征函数也可以唯一确定分布函数.也就是说特征函数是分布函数的本质特征.12()(),,()FxftxxFx（转）设分布函数的特征函数为又是的连续点，则定理4.5.1逆公式π12ii211ee()()lim()d2itxtxTTTFxFxfttt此定理的证明需要下面的引理12,xx设引理4.5.1π12120sin()sin()1(,,,)dTtxxtxxgTxxxttt121212120,1lim(,,,),21,TxxxxgTxxxxxxxxxx或或则证明由狄利克雷积分可知π01,021sin()0,01,02tDdtt因而1212lim(,,,)()()TgTxxxDxxDxx由此可以得到引例的结论定理4.5.1的证明：12,xx设记ππ1212iiiii1ee()d2i1eeed()d2itxtxTTTtxtxTtxTIftttFxtt由于对于0,|e1|||i00|e1||ed||e|diixixxx0对于，取共轭即知也成立因而00|e1|||e1||e1||ed||e|diiiixixxx因此12iii21ee|e|itxtxtxxxt经过交换积分次序我们可以得到π12iii1ee{ed}d()2itxtxTtxTTItFxtπ1212i()i()0i()i()01ee{d2ieed}d()itxxtxxTtxxtxxTtttFxtπ1212i()i()0i()i()01ee{d2ieed}d()(-itxxtxxTzxxzxxTttzFxztz换元)π1122i()i()i()i()01eeee{d}d()2itxxtxxtxxtxxTtFxtπ120sin()sin()1{[]d}d()TtxxtxxtFxtt12(,,,)d()gTxxxFx由引理可知，12|(,,,)|gTxxx有界，因此由勒贝格控制收敛定理（即积分号与极限符号交换次序）以及引理的结论可知1221limlim(,,,)d()()()(TTTIgTxxxFxFxFx分段积分得到此结论）定理4.5.2(唯一性定理）分布函数由其特征函数唯一确定.证明应用逆转公式，在F(x)的每一连续点上，当y沿着F(x)的连续点趋于-∞时，有ii1ee()limlim()d2itytxTTyTFxfttt同时分布函数由其连续点上的值唯一确定π'i|()|,()1()e()2txftdtFxFxftdt－若则相应的分布函数的导数存在并连续，而且定理4.5.3证明：()xxxFx由逆转公式，若及是的连续点，则πii()()()1eelim()d2itxtxxTTTFxxFxfttxtx|e1|||,i利用可得ii()ee||1ixtxxtx|()|dftt－依假设，因此（极限存在，即收敛）πii()()()1ee()d2ixtxxFxxFxfttxtx－利用勒贝格控制收敛定理（即极限符号与积分符合交换次序）可得'0()()()limxFxxFxFxxπii()01eelim()d2itxtxxxftttx－πi1e()d2txftt－''()()()pxFxFx因此存在而且有界，再次利用控制收敛定理即得的连续性.()()().ftpxft因此，在是绝对可积的条件下，分布密度与特征函数通过傅立叶变换来联系四、分布函数的再生性分布函数的再生性，也就是分布函数对随机变量具有可加性.121212(,),(,),(,).BmpBnpBmnp若服从服从而且与相互独立，则=服从例2(p231例6）解：由于12()(e),()(e),itmitnftpqftpq因而12()(e)itmnftffpq(,).Bmnp由唯一性定理可知服从1212(,)(,)(,)BnpBnpBnnp上述结果简记为1122121212(),(),().PPP若服从服从而且与相互独立，则=服从例3(p231例7）解：由于ii1212(e1)(e1)()e,()e,ttftft因而i1212()(e1)()etftff12().P由唯一性定理可知服从1212()()()PPP上述结果简记为211122221212221212(,),(,),(,).NaNaNaa若服从服从而且与相互独立，则=服从例4(p231例8）解：由于222211221211ii22()e,()e,attattftft因而2221212121i()()2()eaattftff221212(,).Naa由唯一性定理可知服从222211221212(,)(,)(,)NaNaNaa上述结果简记为1122121212(,),(,),(,).GrGrGrr若服从服从而且与相互独立，则=服从例5(p231例9）解：由于1212ii()(1),()(1),rrttftft因而1212()i()(1)rrtftff12(,).Grr由唯一性定理可知服从1212(,)(,)(,)GrGrGrr上述结果简记为Back说明：前面讨论了随机变量分布的可加性（再生性），也就是由随机变量的分布函数可以确定和的分布函数；相反的，由和的分布函数是否可以确定这两个随机变量的分布函数呢？现在已经可以证明对于正态分布以及泊