问题3.2+应用三角函数的性质求解参数问题-2018届高三数学成功在我之优等生提分精品+Word版含

122018届高三数学成功在我专题三三角函数与解三角形问题二：应用三角函数的性质求解参数问题一、考情分析利用三角函数的性质求参数取值或范围是往往是高考中的亮点,这类问题一般涉及到值域、单调性及周期性等性质,三角函数因为其函数性质的特殊性,如正弦函数和余弦函数的有界性,往往在确定变量范围,或者最大值最小值有关问题上起着特殊的作用.如果试题本身对自变量的取值范围还有限制,则更应该充分注意.二、经验分享(1)三角函数值域的不同求法①利用sinx和cosx的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；③通过换元,转换成二次函数求值域．(2)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时,要视“ωx＋φ”为一个整体,通过解不等式求解．但如果ω＜0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错．(3)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．(4)对于函数y＝Asin(ωx＋φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断．(5)求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义．②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|,y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(6)图象变换：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象,有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(8)求y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0,ω0)解析式的步骤①求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则A＝M－m2,B＝M＋m2.②求ω,确定函数的周期T,则ω＝2πT.③求φ,常用方法如下：i.代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．12ii.五点法：确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝3π2；“第五点”为ωx＋φ＝2π.三、知识拓展1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A,ω≠0),则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．3．由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω0,φ0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．4．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋π2,k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ,k∈Z确定其横坐标．四、题型分析(一)与函数最值相关的问题【例1】【2017河南省天一大联考】已知函数23()sin2cos2fxxxm．（1）求函数()fx的最小正周期与单调递增区间；（2）若53,244x时,函数()fx的最大值为0,求实数m的值．【分析】（1）()fx化为1sin(2)62xm,可得周期22T,由222262kxk可得单调递增区间；（2）因为53,244x,所以42,643x,进而()fx的最大值为1102m,解得12m.12【解析】（1）23()sin2cos2fxxxm31cos2sin222xxm1sin(2)62xm,则函数()fx的最小正周期T,根据222262kxk,kZ,得63kxk,kZ,所以函数()fx的单调递增区间为,63kk,kZ．（2）因为53,244x,所以42,643x,则当262x,3x时,函数取得最大值0,即1102m,解得12m．【点评】三角函数的最值问题,大多是含有三角函数的复合函数最值问题,常用的方法为：化为代数函数的最值,也可以通过三角恒等变形化为求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的最值；或化为关于sinx(或cosx)的二次函数式,再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的最值.【小试牛刀】【2018届广东省七校高三第二次联考】已知1πk0,fx2sinx2k26函数与函数πgxkcosx43若π4ππ2πt,,s,3363都,使得等式ftgs成立,则实数k的取值集合是________.【答案】212(二)根据函数单调性求参数取值范围如果解析式中含有参数,要求根据函数单调性求参数取值范围,通常先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．或转化为使得某个等式或不等式(可以、恒)成立,通常分离参数,求出解析式的范围或最值,进而求出参数的范围即可.【例2】已知ω＞0,函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上单调递减,则ω的取值范围是________．【分析】根据y＝sinx在π2，3π2上递减,列出关于ω的不等式组【解析】由π2＜x＜π,ω＞0得,ωπ2＋π4＜ωx＋π4＜ωπ＋π4,又y＝sinx在π2，3π2上递减,所以ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.【答案】12，54【点评】求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时,要视“ωx＋φ”为一个整体,通过解不等式求解．但如果ω＜0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错；已知三角12函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．【小试牛刀】【2017河北沧州一中11月月考】将函数2cos2fxx的图象向右平移6个单位后得到函数gx的图象,若函数gx在区间0,3a和72,6a上均单调递增,则实数a的取值范围是（）A．,32B．,62C.,63D．3,48【答案】A(三)根据函数图象的对称性求参数取值范围【例3】已知函数2()[2sin()sin]cos3sin3fxxxxx．(1)若函数)(xfy的图像关于直线(0)xaa对称,求a的最小值;(2)若存在05[0,],12x使0()20mfx成立,求实数m的取值范围.【分析】(1)先利用降幂公式进行化简,然后利用辅助角公式将)(xf化为)32sin(2)(xxf,最后根据正弦函数的对称性求出对称轴,求出a的最小值即可；(2)根据05[0,],12x的范围求出320x的范围,再结合正弦函数单调性求出函数f(x0)的值域,从而可求出m＝00021()20()sin(2)3mfxmfxx的取值范围．【解析】(1)首先将函数)(xfy的解析式化简为：2()[2sin()sin]cos3sin3fxxxxxxxxx22sin3cos3cossin2xx2cos32sin)32sin(2x,又因为函数)(xfy的图像关于直线(0)xaa对称,所以Zkka,232,即Zkka,122,又因为0a,所以a的最小值为12．12(2)00021()20()sin(2)3mfxmfxx0057[0,],212336xx01sin(2)123x故(,2][1,)m．【点评】对于函数y＝Asin(ωx＋φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断．【小试牛刀】【2018届安徽省亳州市蒙城高三第五次月考】若将函数sin2cos2fxxx的图象向左平移0个单位,所得的图象关于y轴对称,则的最小值是（）A.4B.8C.38D.58【答案】B【解析】函数sin2cos22sin24fxxxx的图象向左平移0个单位,得到2sin224yx图象关于y轴对称,即242kkZ,解得1=28k,又0,当0k时,的最小值为8,故选B.(四)等式或不等式恒成立问题在等式或不等式恒成立问题中,通常含有参数,而与三角函数相关的恒成立问题,一定要注意三角函数自身的有界性,结合自变量的取值范围,才能准确求出参数的取值或范围.【例4】【2017四川遂宁、广安、眉山、内江四高三上学期第一次联考】已知不等式262sincos6cos04442xxxm≥对于,33x恒成立,则实数m的取值范围是（）A．,2B．2,2C．2,22D．2,【答案】B12【点评】解决恒成立问题的关键是将其进行等价转化,使之转化为函数的最值问题,或者区间上的最值问题,使问题得到解决．具体转化思路为：若不等式fxA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fx的最小值大于A；若不等式fxB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fx最大值小于B．【小试牛刀】【2018届江苏省常熟市高三上学期期中】已知函数sin6fxx,若对任意的实数5,62,都存在唯一的实数0,m,使0ff,则实数m的最小值是__________．【答案】2【解析】函数sin6fxx,若对任意的实数5,62,则：f（α）∈[﹣32,0],由于使f（α）+f（β）=0,则：f（β）∈[0,32]．3sin062，,0β63,β=2,所以：实数m的最小值是2．故答案为：2(五)利用三角代换解决范围或最值问题由于三角函数的有界性,往往可以用它们来替换一些有范围限制的变量,再利用三角函数的公式进行变换,得到新的范围,达到解决问题的目的.【例5】已知12,FF是椭圆和双曲线的公共焦点,P是他们的一个公共点,且123FPF,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.433B.233C.3D.2【解析】设椭圆方程为22221xyab(a＞b＞0),双曲线方程为222211xyab(a＞0,b＞0),其中a＞a1,半焦距为c,于是|PF1|＋|PF2|＝2a,|PF1|－|PF2|＝2a1,12即|PF1|＝a＋a1,|PF2|＝a－a1,因为123FPF,由余弦定理：4c2＝(a＋a1)2＋(a－a1)2－2(a＋a1)(a－a1)即4c2＝a2＋3a12,即221()3()4aacc令ac＝2cosθ,13ac＝2sinθ所以11112432cossin33aaeecc【点评】合理使用三角代换,可以使得运算步骤(特别是与求最值相关的运算)变得非常简洁.【小试牛刀】【2016学年安徽省阜阳市三中高