高中数学数列知识点总结(精华版)

小小亲清辅导班一、数列1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项an与项数n是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2.通项公式：如果数列na的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(nfan.3.递推公式：如果已知数列na的第一项（或前几项），且任何一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1nnafa或),(21nnnaafa，那么这个式子叫做数列na的递推公式.如数列na中，12,11nnaaa，其中12nnaa是数列na的递推公式.4.数列的前n项和与通项的公式①nnaaaS21；②)2()1(11nSSnSannn.5.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何Nn,均有nnaa1.②递减数列:对于任何Nn,均有nnaa1.③摆动数列:例如:.,1,1,1,1,1④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M使NnMan,.⑥无界数列:对于任何正数M,总有项na使得Man.1、已知*2()156nnanNn，则在数列{}na的最大项为__（答：125）；2、数列}{na的通项为1bnanan，其中ba,均为正数，则na与1na的大小关系为___（答：na1na）；3、已知数列{}na中，2nann，且{}na是递增数列，求实数的取值范围（答：3）；4、一给定函数)(xfy的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1a，由关系式)(1nnafa得到的数列}{na满足)(*1Nnaann，则该函数的图象是（）（答：A）小小亲清辅导班二、等差数列1、等差数列的定义：如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即)2,*(1nNndaann且.(或)*(1Nndaann).2、（1）等差数列的判断方法：①定义法：)(1常数daannan为等差数列。②中项法：aaannn212an为等差数列。③通项公式法：banan（a,b为常数）an为等差数列。④前n项和公式法：BnnAsn2（A,B为常数）an为等差数列。如设{}na是等差数列，求证：以bn=naaan21*nN为通项公式的数列{}nb为等差数列。（2）等差数列的通项：1(1)naand或()nmaanmd。公式变形为:banan.其中a=d,b=a1－d.如1、等差数列{}na中，1030a，2050a，则通项na（答：210n）；2、首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833d）（3）等差数列的前n和：1()2nnnaaS，1(1)2nnnSnad。公式变形为：BnnAsn2，其中A=2d，B=21da.注意：已知n,d,a1,an,sn中的三者可以求另两者，即所谓的“知三求二”。如数列{}na中，*11(2,)2nnaannN，32na，前n项和152nS，则1a＝＿，n＝＿（答：13a，10n）；（2）已知数列{}na的前n项和212nSnn，求数列{||}na的前n项和nT（答：2*2*12(6,)1272(6,)nnnnnNTnnnnN）.小小亲清辅导班（4）等差中项：若,,aAb成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且2abA。提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2adadaadad…（公差为d）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3adadadad,…（公差为2d）3.等差数列的性质：（1）当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和211(1)()222nnnddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为0.等差数列{an}中，nSn是n的一次函数，且点（n，nSn）均在直线y=2dx+(a1－2d)上（2）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。（3）对称性：若an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当mnpq时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa.如1、等差数列{}na中，12318,3,1nnnnSaaaS，则n＝____（答：27）；2、在等差数列na中，10110,0aa，且1110||aa，nS是其前n项和，则A、1210,SSS都小于0，1112,SS都大于0B、1219,SSS都小于0，2021,SS都大于0C、125,SSS都小于0，67,SS都大于0D、1220,SSS都小于0，2122,SS都大于0（答：B）(4)项数成等差,则相应的项也成等差数列.即),,...(,,*2Nmkaaamkmkk成等差.若{}na、{}nb是等差数列，则{}nka、{}nnkapb(k、p是非零常数)、*{}(,)pnqapqN、232,,nnnnnSSSSS（公差为dn2）．，…也成等差数列，而{}naa成等比数列；若{}na是小小亲清辅导班等比数列，且0na，则{lg}na是等差数列.如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。（答：225）（5）在等差数列{}na中，当项数为偶数2n时，)(1aannnns；ndss奇偶；aannss1奇偶.项数为奇数21n时，annns)12(12；ass1奇偶；nnss1奇偶。如1、在等差数列中，S11＝22，则6a＝______（答：2）；2、项数为奇数的等差数列{}na中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.（6）单调性：设d为等差数列an的公差，则d0an是递增数列；d0an是递减数列；d=0an是常数数列(7)若等差数列{}na、{}nb的前n和分别为nA、nB，且()nnAfnB，则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB.如设{na}与{nb}是两个等差数列，它们的前n项和分别为nS和nT，若3413nnTSnn，那么nnba___________（答：6287nn）（8）设al，am，an为等差数列中的三项，且al与am，am与an的项距差之比nmml=（≠－1），则am=1nlaa．（9）在等差数列{an}中，Sn=a，Sm=b(n＞m)，则Snm=mnmn(a－b)．8、已知an成等差数列，求sn的最值问题：①若01a,d0且满足0,01aann,则sn最大；小小亲清辅导班②若01a,d0且满足0,01aann,则sn最小.“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组000011nnnnaaaa或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如1、等差数列{}na中，125a，917SS，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；2、若{}na是等差数列，首项10,a200320040aa，200320040aa，则使前n项和0nS成立的最大正整数n是（答：4006）(10)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究nmab.小小亲清辅导班三、等比数列1、等比数列的有关概念：如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比。即)2,(*1nnqNaann（或)(*1Naanqnn2、等比数列的判断方法：定义法1(nnaqqa为常数），其中0,0nqa或11nnnnaaaa(2)n。如1、一个等比数列{na}共有21n项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1na为____（答：56）；2、数列{}na中，nS=41na+1(2n)且1a=1，若nnnaab21，求证：数列｛nb｝是等比数列。3、等比数列的通项：11nnaaq或nmnmaaq。如设等比数列{}na中，166naa，21128naa，前n项和nS＝126，求n和公比q.（答：6n，12q或2）4、等比数列的前n和：当1q时，1nSna；当1q时，1(1)1nnaqSq11naaqq。如等比数列中，q＝2，S99=77，求9963aaa（答：44）提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分1q和1q两种情形讨论求解。5、等比中项：如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G=ab.提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab。如已知两个正数,()abab的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B）小小亲清辅导班提醒：（1）等比数列的通项公式及前n项和公式中，涉及到5个元素：1a、q、n、na及nS，其中1a、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，22,,,,aaaaqaqqq…（公比为q）；但偶数个数成等比时，不能设为…33,,,aqaqqaqa，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2q。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）6、等比数列的性质：（1）对称性：若an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.即当mnpq时，则有qpnmaaaa..，特别地，当2mnp时，则有2.pnmaaa.如1、在等比数列{}na中，3847124,512aaaa，公比q是整数，则10a=___（答：512）；2、各项均为正数的等比数列{}na中，若569aa，则3132310logloglogaaa（答：10）。