第7章机械波

天线发射出电磁波水波地震波造成的损害声波第7章机械波形变：什么是波？1.机械波振动状态以一定速度在空间的传播就形成了波.波的分类机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播出去，就形成机械波.产生条件波源：作机械振动的物体｛弹性介质：承担传播振动的物质2.电磁波变化的电场和变化的磁场在空中的传播过程形成电磁波.3.物质波物质波（也称概率波）是微观粒子的一种属性，具有完全不同的性质，遵从量子力学理论.干涉、衍射第7章机械波横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.（仅在固体中传播）特征：具有交替出现的波峰和波谷.7.1机械波纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.（可在固体、液体和气体中传播）特征：具有交替出现的密部和疏部.水面波是什么波?纵波与横波的合成波线：沿波的传播方向作的一些带箭头的线。波线的指向表示波的传播方向。波阵面：在波动过程中，把振动相位相同的点连成的面(简称波面)。波前：在任何时刻，最前方的波面即是波前。平面波波线波阵面球面波波阵面波线7.1.3波的几何描述7.1.4波长、周期、频率和波速波长：沿波的传播方向，两个相邻的、振动状态完全相同的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度.OyAA-ux周期：波前进一个波长的距离所需要的时间.T频率：即单位时间内波动所传播的完整波的数目.波速：波动过程中，某一振动状态单位时间内所传播的距离.uT1TuuTu周期或频率只决定于波源的振动纵、横波波速固体中纵波波速横波波速气、液中纵波波速绳中横波波速Yu杨氏模量质量密度Gu切变模量Bu容变模量Tu张力质量线密度如声音的传播速度sm4000sm343空气，常温左右，混凝土取决于介质的弹性模量和密度),(txyy各质点相对平衡位置的位移波线上各质点平衡位置7.2.1平面简谐波的波函数介质中任一质点（坐标为x）相对其平衡位置的位移（坐标为y）随时间的变化关系，即称为波函数.(,)yxtyx简谐波的波函数0(,)cos()yxtAtkx-7.2平面简谐波传播过程中各质元均做同频率、同振幅的简谐振动的平面波点O的振动状态tAyOcos点Puxtt时刻点P的运动t-x/u时刻点O的运动以速度u沿x轴正向传播的平面简谐波.令原点O的初相为零，其振动方程tAyOcos)(cosuxtAyP-点P振动方程时间推迟方法00,0x0cos()OyAt点O振动方程沿轴正向ux0cos[()]xyAtu-yxuAA-O如果原点的初相位不为零0cos2yxtA-22uu，0(,)cos2txyxtAT-0(,)cos2xyxtAt-7.2.2波函数的物理意义0cos2yxtA-00cos2Atyx-(1)x=x0，给出x0处质元振动方程(2)t=t0，给出t0时刻的波形图00cos2xtyA-(3)x和t都在变化，表明各质点在不同时刻的位移分布.yxuxt时刻tt时刻),(),(xxttxt)(π2cosxTtAy-)(π2)(π2xxTttxTt--xTtxut波速u也称作相速度.PoXYxu1x2x1102xxt-点相位：2202xxt-点相位：:两点相位差1200(2)(2)xxtt---2122xxx-波程差1221xxx-xπ27.2.3相位差与波程差（重要）0cos2yxtA-0002:cos()xxyAt-参考点x点相位滞后0xx-波程差)(20xx-相位差0)2cos(xtxyA--x0xxyu0002:cos()xxyAt0:px点相位超前0cos(2)xxyAt-02xx-PoXYxux0t+dt时刻oXYut时刻t+dt时刻uoXYt时刻沿X轴正向传播的波，此时两条曲线对比，曲线上升段各质点速度为负；曲线下降段各质点速度为正。沿X轴负向传播的波，此时两条曲线对比，曲线上升段各质点速度为正；曲线下降段各质点速度为负。由波形曲线及传播方向判断波形图上各质点振动速度方向/ym/xm5.010258111410/umsxp例.波形如图0t1Am12ms2.11012uTs/rad35T2先写点振动方程o03y3)3t35cos()tcos(Ay00波动方程025cos[]cos[]363xxytt--（1）写出波动方程。关键确定：由图可知解：（1）o/ym/xm5.010258111410/ums（2）求两处质点振动位相差。125,11xmxm解：位相差2122()(115)12xx--x2ΔΔ反位相（3）各质点振动速度、加速度表达式025cos[]cos[]363xxytt--振动速度tyv振动加速度2022cos()yatxt-２＝－02sin[]xt--/ym/xm5.010258111410/ums（4）若图为波形，波动方程如何？s2.0t方法1：3t06Ts2.0t36TT2000)t35cos(yo)]10xt(35cos[y-将波形倒退得出波形，再写方程！60t波形方法2：00…..16解：关键是求o点的初位相例2已知t=0时的波形曲线为Ⅰ，波沿Ox方向传播，经t=1/2s后波形变为曲线Ⅱ。已知波的周期T1s，试根据图中给出的条件求出波的表达式，并求A点的振动方程。解：0.01Am0.04m110.010.02ms12Oxxut--波速：0.0420.02Tus2Tππy/cmx/cm123456ⅠⅡ1cmAO原点的初位相和振动方程：)2ππcos(01.0tyOy/cmx/cm123456ⅠⅡ1cmAO0.01cos[()]0.022xyt-ππ波动方程：A点振动方程：0.010.01cos[()]0.022Ayt-ππ0.01cosAytπ2π补充：波动微分方程)uxt(cosAy-)uxt(sinAty--)uxt(sinuAxy-)uxt(cosAty222--)uxt(cosuAxy2222--22222tyu1xy)t,z,y,x(222222222tu1zyx2222tu1三维空间或沿方向一维波动微分方程x、电磁波BE7.3.1波动能量的传播当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在其平衡位置附近振动，因而具有振动动能.同时，介质发生弹性形变，因而具有弹性势能.xxOxdxOydyy以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播.7.3机械波的能量22k11ddd22EmVvv)(sinuvxtAty--振动动能222k1ddsin()2xEVAt-uxxOxdxOyyydcos()xyAtu-平面简谐纵波在直棒中传播：1.动能长变杨氏模量FdyYSdxYu)(sinuxtAuxy--dYSkx)(sind21222uxtVA-22)dd(d21xyVu22P11dddd()22dyEkyYSxx2.弹性势能xxOxdxOyyydFYSxdyd21()2PEkl弹簧伸长时弹簧的弹力：lFkl弹性势能：kdy体积元的总机械能kpdddEEE222k1ddsin()2xEVAtu-体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大.体积元的位移最大时，三者均为零.1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、势能、总机械能均随作周期性变化，且变化是同相位的.,xt222P1ddsin()2xEVAt-u222dsin()xVAtu-oXYuABCB’A’C’DE从波形图理解动能与势能同相变化dydx：波形图上斜率2P1ddd()2dyEYSxx2）任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地传播能量.任一体积元的机械能不守恒.波动是能量传递的一种方式.222ddsin()xEVAtu-能量密度：单位体积介质中的波动能量.222dsin()dExwAtVu-平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值.20211d2TwwtTA22~0AdV结论：机械波的能量与振幅的平方、频率的平方以及介质的密度成正比。1、能流：SuuPwuS3、平均能流密度（波的强度）：2212uwuSIPA22IAu、、单位时间内垂直通过介质中某一面积的能量。单位面积上通过的平均能流2212PwusAuS2、平均能流：波的强度与振幅的平方成正比7.3.2能流和能流密度1)平面波S1S2A不变!2)球面波S1r1S2r22212PAuS2211112PAuS2222212PAuS2114Sr2224Sr1221rrAA12PP2222221122114422AurAur球面波表达式：cos()atrur-式中a为波在离原点单位距离处振幅的数值。例证明球面波的振幅与离开其波源的距离成反比，并求球面简谐波的波函数.证介质无吸收，通过两个球面的平均能流相等.1s2s1r2r1221rrAA)(cos00urtrrAy-2211uSuS2222221221π421π421ruAruA式中为离开波源的距离，为处的振幅.r0rr0A波在传播过程中，振幅越来越小，称为波的衰减。称为介质的吸收系数或波的衰减系数。xxAxdxAdA设波沿方向传播，在处振幅为，在处振幅为。AdxdA-AdxdA-即xeAA-0则有00AAx处设xeII20-0(0)Ix为处的波的强度dAAdx-2IA7.3.3波的吸收和衰减（选讲）001AxAdAdxA-即水波通过狭缝后的衍射7.4惠更斯原理球面波平面波介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前.7.4.1惠更斯原理O1R2Rtu波的衍射水波通过狭缝后的衍射波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播.7.4.2波的衍射N界面7.4.3波的反射和折射RN界面Ii'irL用惠更斯原理证明.2）1）反射线、入射线和界面的法线在同一平面内；'ii反射定律iiiA1A2A3B2B3B1NNAId时刻tB2B3B1NNAIB32dd3dLiii时刻t+△t波的折射用惠更斯原理证明.时刻tiiiA1A2A3B2B3B1NNAIdⅠⅡ1）折射线、入射线和界面的法线在同一平面内；21sinsinuuri2）N界面RN界面Ii'irL时刻t+△tⅠⅡB2B3B1NNAIrrBRriiiA1A2A3B2B3B1NNAIdⅠⅡⅠⅡ时刻t时刻t+△ttuBA133tuAB2B2B3B1NNAIrrBRriABA33rABB32133sinsinuuABBAri所以7.5.1波的叠加原理7.5波的干涉几列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样.在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和.7.5.1波的叠加原理频率相同、振动方向平行、相