面角及平面垂直经典例题

1/9教师:学生:年级:科目：课次：时间:年月日内容：二面角及平面垂直经典例题一、明确复习目标1.掌握两平面垂直的判定和性质，并用以解决有关问题2.掌握二面角及其平面角的概念，能灵活作出二面角的平面角，并能求出大小3．在研究垂直和求二面角的问题时，要能灵活运用三垂线定理及逆定理二．建构知识网络1.二面角、平面角的定义——；范围：[0,].两个平面相交成900二面角时，叫两个平面垂直.2．判定两平面垂直的方法：①利用“面面垂直的定义”，即证“两平面所成的二面角是直二面角；②利用“面面垂直的判定定理”，即由“线面垂直面面垂直”.3．二面角的平面角的作法：①直接利用定义；②利用三垂线定理及其逆定理;③作棱的垂面.三、双基题目练练手1.在三棱锥A—BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有()A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BCDD.平面ABC⊥平面BCD2.设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（）.,,Amnmn.//,,//Bmnmn.,,//Cmnmn.,,Dmnmn3.设两个平面α、β，直线l，下列三个条件：①l⊥α;②l∥β;③α⊥β,若以其中两个作为条件，另一个作为结论，可构成正确命题的个数是（）A.3B.2C.1D.04.P为△ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是A.PA=PB=PCB.PA⊥BC，PB⊥AC()C.点P到△ABC三边所在直线距离相等D.平面PAB、平面PBC、平面PAC与△ABC所在的平面所成的角相等5．如图在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.6.夹在互相垂直的两个平面之间长为2a的线段和这两个平面所成的角分别为45°和30°，过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线，则两垂足间的距离为_____________.◆答案提示：1-4.CBBB；5.MD⊥PC或MB⊥PC;6.a2/9四、典型例题做一做【例1】如下图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.（1）求证：AB⊥BC；（2）若设二面角S—BC—A为45°，SA=BC，求二面角A—SC—B的大小.证明（1）：作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC，∴AH⊥平面SBC.AHBC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.SA∩SB=S，∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.解（2）：∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.∴平面SAB⊥BC，∠SBA为二面角S—BC—A的平面角.∴∠SBA=45°.设SA=AB=BC=a.作AE⊥SC于E，连结EH.由(1)知AH⊥平面SBC,∴AE在面SBC内的射影EH⊥SC，∠AEH为二面角A—SC—B的平面角，AH=22a，AC=2a，SC=3a，AE=36a，∴sin∠AEH=23，二面角A—SC—B为60°.【例2】已知正三棱柱ABC—A1B1C1，若过面对角线AB1且与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一边A1C1于点D.（1）确定D的位置，并证明你的结论；（2）证明：平面AB1D⊥平面AA1D；（3）若AB∶AA1=2，求平面AB1D与平面AB1A1所成角的大小.分析：本题结论不定，是“开放性”的，点D位置的确定如果仅凭已知条件推理难以得出.由于AB1与BC1这两条面对角线是相邻二侧面上的异面直线，于是可考虑将BC1沿BA平行移动，BC1取AE1位置，则平面AB1E1一定平行BC1，问题可以解决.（1）解：如下图，将正三棱柱ABC—A1B1C1补成一直平行六面体ABCE—A1B1C1E1，由AE1∥BC1，AE1平面AB1E1，知BC1∥平面AB1E1，故平面AB1E1应为所求平面，此时平面AB1E1交A1C1于点D，由平行四边形对角线互相平行性质知，D为A1C1的中点.C1_B1_A1_BCAABCSEH3/9（2）证明：连结B1D，则B1D⊥A1C1;从直三棱柱定义知AA1⊥底面A1B1C1，∴AA1⊥B1D,又A1D∩AA1=A1，∴B1D⊥平面AA1D，又B1D平面AB1D，∴平面AB1D⊥平面AA1D.（3）解：因为平面AB1D∩平面AA1D=AD，所以过A1作A1H⊥AD于点H.作HF⊥AB1于点F，连结A1F，从三垂线定理知A1F⊥AB1.故∠A1FH是二面角A1—AB1—D的平面角.设侧棱AA1=1，侧棱AB=2.于是AB1=22)2(1=3.在Rt△AB1A1中，A1F=1111ABBAAA=321=36，在Rt△AA1D中，AA1=1，A1D=21A1C1=22，AD=2121DAAA=26.∴A1H=ADDAAA11=33.在Rt△A1FH中，sin∠A1FH=FAHA11=22，∴∠A1FH=45°.因此知平面AB1D与平面AB1A1所成角为450或1350.【例3】在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，设PA=AB=1，BC=2，求二面角B-PC-D的大小.解析1.定义法过D作DE⊥PC于E，过E作EF⊥PC，交BC于F，连接FD，则DEF是所求二面角B-PC-D的平面角.求解二面角B-PC-D的大小，只需解△DEF即可.所求角为2arccos10BDPCAEF解析一AE1B1C1BCEDA14/9解析2.垂面法易证面PAB⊥面PBC，过A作AM⊥BP于M，显然AM⊥面PBC，从而有AM⊥PC，同法可得AN⊥PC，再由AM与AN相交与A得PC⊥面AMN.设面AMN交PC于Q，则MQN为二面角B-PC-D的平面角；∠MAN为它的补角，在三角形AMN中可解.计算较繁.解析3.利用三垂线求解把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱PAB-EDC，显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B互补，转化为求二面角E-PC-D.易证面PEDA⊥PDC，过E作EF⊥PD于F，显然PF⊥面PDC，在面PCE内，过E作EG⊥PC于G，连接GF，由三线得GF⊥PC即EGF为二面角E-PC-D的平面角，只需解△EFG即可.解析4.射影面积法。由解析3知，△PFC为△PEC在面PDC上的射影，由射影面积公式得2cos10，所求角为2arccos10解析5.在面PDC内，分别过D、B作DE⊥PC于E，BF⊥PC于F，连接EF即可.利用平面知识求BF、EF、DE的长度，再利用空间余弦定理求出q即可.BDPCAＭＮＱ解析二BDPCA解析四EFGBDPCA解析三EFG5/9◆思悟提炼：想一想求二面角都用了哪些方法：【例4】由一点S引不共面的三条射线SA、SB、SC，设ASB=，BSC=，ASC=，其中，，均为锐角，则平面ASB平面BSC的充要条件是coscos=cos．证明：必要性．如图(1)过点A作ADSB于D.∵平面ASB平面BSC∴AD平面BSC．过D作DESC于E，连AE，则AESC．在Rt△ADS中，cos=SASD；在Rt△DES中，cos=SDSE；在Rt△AES中，cos=SASE，由此可得coscos=SASDSDSE=SASE=cos．必要性得证．充分性．如图2，过点A作AA1SB于A1，过点A1作A1C1SC于C1.在Rt△AA1S中，cos=SASA1；在Rt△A1C1S中，cos=11SASC;∵cos=coscos=SASA111SASC=SASC1,∴SC1=SAcos．过A作AC1SC，垂足为C1，在Rt△AC1S中，SC1=SAcos．由此得SC1=SC1，即C1与C1重合，故SCAC1．例3．(1)ESDABCBDPCA解析五ＥＦ(2)C1C1SA1ABC6/9而SCA1C1，且AC1A1C1=C1，∴SC平面AA1C1，∴SCAA1．又∵SBAA1，SBSC=S，∴AA1平面BSC，而AA1平面ASB，∴平面ASB平面BSC．充分性得证．五．提炼总结以为师1.注意线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化和应用.2．求二面角的方法是：①找（或作）平面角，②用射影法:cosθ=侧底ss；③用异面直线上两点间距离公式.3．作平面角的方法：（1）定义法（2）三垂线定理；（3）垂面法.同步练习9.4二面角、面面垂直【选择题】1.PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任一点，则下列关系不正确的是()APA⊥BCBAC⊥PBCPC⊥BCDBC⊥平面PAC2．在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B—AD—C后，BC＝21a，且二面角B—AD—C的大小为（）A．30°B.45°C．60°D．90°3．在1200的二面角l内，有一点P到面α、β的距离分别是6和9，则点P到棱l的距离等于（）A．37B.21C.221D.12【填空题】4.设a、b是异面直线，α、β是两个平面，且a⊥α，b⊥β，aβ，bα，则当_______（填上一种条件即可）时，有α⊥β.5．(2005浙江)设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．6．一条直线与直二面角的两个面所成的角分别是α和β，则α＋β的范围是_____．◆答案提示：1-3.BCB;4.a⊥b;5.90;6.[0°，90°]；提示:3.l⊥平面PAB于C,PC是ΔPAB外接圆直径，用余、正弦定理.【解答题】7．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90ο，E为C1C的中点，F是BB1上是BF=41BB1，AC=AA1=2a,求平面EFA与面ABC所成角的大小ABCDEMN7/9答案：arctan218．已知矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a0),PA⊥面ABCD,PA=1（1）问BC边上是否存在一点Q，使得PQ⊥QD并且说明理由（2）若BC边上有且只有一个点Q使得PQ⊥QD，求这时二面角Q—PD—A大小解：（1）a=2时只有一点；a＞2时有两点；a＜2时没有点；（2）arctan59．（2004天津）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.（Ⅰ）证明PA//平面EDB；（Ⅱ）证明PB⊥平面EFD；（Ⅲ）求二面角C—PB—D的大小.（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO.∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点在PAC中，EO是中位线，∴PA//EO而EO平面EDB且PA平面EDB，所以，PA//平面EDB（2）证明：∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD，∴DCPD∵PD=DC，可知PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴PCDE.①同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC.而DE平面PDC，∴DEBC.②由①和②推得DE平面PBC.而PB平面PBC，∴PBDE又PBEF且EEFDE，所以PB⊥平面EFD.（3）解：由（2）知，DFPB，故EFD是二面角C—PB—D的平面角.由（2）知，DBPDEFDE,.设正方形ABCD的边长为a，则aBDaDCPD2,,DBACPQ8/9aBDPDPB322，aDCPDPC222，aPCDE2221.在PDBRt中，aaaaPBBDPDDF3632.在EFDRt中，233622sinaaDFDEEFD,∴3EFD，二面角C—PB—D的