直击高考——函数知识点归纳总结

函数复习主要知识点1一、函数的概念与表示1、映射:设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。注意点:判断一个对应是映射的方法:可多对一，不可一对多，都有象，象唯一.2、函数:如果A,B都是非空的数集，那么A到B的映射f：AB就叫做A到B的函数，记作)(xfy,其中ByAx,.原像的集合A叫做函数)(xfy的定义域.由所有象f(x)构成的集合叫做)(xfy的值域，显然值域是集合B的子集.构成函数概念的三要素:①定义域(x的取值范围)②对应法则（f）③值域（y的取值范围）两个函数是同一个函数的条件：定义域和对应关系完全一致.二、函数的定义域、解析式与值域1、求函数定义域的主要依据：（1）整式的定义域是全体实数；（2）分式的分母不为零；（3）偶次方根的被开方数大于等于零；（4）零取零次方没有意义（零指数幂的底数不为0）；（5）对数函数的真数必须大于零；（6）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；（7）若函数)(xfy是一个多项式，需要求出各单项式的定义域，然后取各部分结果的交集；（8）复合函数的定义域：若已知)(xf的定义域],[ba，求复合函数))((xgf的定义域，相当于求使],[)(baxg时x的取值范围；若已知复合函数))((xgf的定义域，求)(xf的定义域，相当于求)(xg的值域.2求函数值域的方法①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合dcxbaxy的形式；③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分子或分母为二次且x∈R的分式；此种类型不拘泥于判别式法，如kaby2的形式可直接用不等式性质；nmxaxbxy2可先化简再用均值不等式；nmxxnxmaxy22通常用判别式法；nmxnxmxy2可用判别式法或均值不等式；④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥图象法：1.二次函数必画草图求其值域；在给定区间上求最值有两类：闭区间ba,上的最值；求区间动（定），对称轴定（动）的最值问题；注意“两看”：一看开口，二看对称轴与给定区间的位置关系.1-1-222函数复习主要知识点22.注意)0,0(baxbaxy型函数的图像在单调性中的应用：增区间为],(ab，),[ab，减区间为)0,[ab，],0(ab；⑦利用对号函数：xxy1（如右图）；⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域.主要是含绝对值函数三．函数的奇偶性1．定义:设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有()()fxfx，则称y=f(x)为偶函数.如果对于任意x∈A，都有()()fxfx，则称y=f(x)为奇函数.2.性质：①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称;②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0;③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]3．奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称;②看f(x)与f(-x)的关系或观察函数图像的对称关系；4，复合函数的奇偶性：“内偶则偶，内奇同外”四、函数的单调性作用：比较大小，解不等式，求最值.1、函数单调性的定义：如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值21,xx，当21xx时，都有2121)()(xfxfxfxf，那么就称函数)(xf在区间D上是增函数（减函数），区间D叫)(xfy的单调区间.图像特点：增函数：从左到右上升（y随x的增大而增大或减小而减小）；减函数：从左到右下降（y随x的增大而减小或减小而增大）；2.判断单调性方法：①定义法1212()()()0xxfxfx1212()()0(),fxfxfxabxx在上是增函数；1212()()()0xxfxfx1212()()0(),fxfxfxabxx在上是减函数.②观察法：根据特殊函数图像特点；③掌握规律：对于两个单调函数()fx和()gx，若它们的定义域分别为I和J，且IJ：(i)当()fx和()gx具有相同的增减性时，①1()()()Fxfxgx的增减性与()fx，()gx相同，②2()()()Fxfxgx、3()()()Fxfxgx、4()()(()0)()fxFxgxgx的增减性不能确定；函数复习主要知识点3(ii)当()fx和()gx具有相异的增减性时，我们假设()fx为增函数，()gx为减函数，那么：①1()()()Fxfxgx的增减性不能确定；②3()()()Fxfxgx、4()()(()0)()fxFxgxgx为增函数；5()()(()0)()gxFxfxfx为减函数.3.奇偶函数的单调性奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。4.复合函数单调性的确定（同增异减）：xgfy是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则xgfy在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则xgfy在M上是增函数.五、函数的对称性函数()yfx的图象的对称性（自身）1.函数()yfx的图象关于直2abx对称()()faxfbx()()fabxfx特殊的有：①函数()yfx的图象关于直线xa对称()()faxfax(2)()faxfx.②函数()yfx的图象关于y轴对称（奇函数）)()(xfxf;③函数)(axfy是偶函数)(xf关于ax对称;2.函数()yfx的图象关于点(,)ab对称()2(2)fxbfaxbxafxaf2)()(.特殊的有：①函数()yfx的图象关于点(,0)a对称()(2)fxfax0)2()(xafxf;②函数()yfx的图象关于原点对称（奇函数）)()(xfxf;③函数)(axfy是奇函数)(xf关于点0,a对称.④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x对称.两个函数图象的对称性:①函数()yfx与函数()yfx的图象关于直线0x(即y轴)对称;②函数()yfmxa与函数()yfbmx的图象关于直线2abxm对称特殊地:()yfxa与函数()yfax的图象关于直线xa对称;③函数()yfx的图象关于直线xa对称的解析式为(2)yfax;④函数()yfx的图象关于点(,0)a对称的解析式为(2)yfax;函数复习主要知识点4⑤函数()yfx与)(yafxa的图像关于直线ayx成轴对称函数()yfx与)(ayfax的图像关于直线ayx-成轴对称函数()yfx的图像与x=f(y)的图像关于直线yx成轴对称.六．函数的周期性：1．定义若)0)(()(TxfTxf)(xf是周期函数，T是它的一个周期.说明：nT也是)(xf的周期。推广：若)()(bxfaxf，则)(xf是周期函数，ab是它的一个周期结论1：如果()()fxafxb（ab），那么()fx是周期函数，其中一个周期Tab结论2：如果()()fxafxb（ab），那么()fx是周期函数，其中一个周期2Tab结论3：如果定义在R上的函数()fx有两条对称轴xa、xb对称，那么()fx是周期函数，其中一个周期2Tab结论4：如果偶函数()fx的图像关于直线xa（0a）对称，那么()fx是周期函数，其中一个周期2Ta结论5：如果奇函数()fx的图像关于直线xa（0a）对称，那么()fx是周期函数，其中一个周期4Ta结论6：如果函数同时关于两点,ac、,bc（ab）成中心对称，那么()fx是周期函数，其中一个周期2Tab结论7：如果奇函数()fx关于点,ac（0a）成中心对称，那么()fx是周期函数，其中一个周期2Ta结论8：如果函数()fx的图像关于点,ac（0a）成中心对称，且关于直线xb（ab）成轴对称，那么()fx是周期函数，其中一个周期4Tab结论9：如果1()()fxpfx或1()()fxpfx，那么()fx是周期函数，其中一个周期2Tp结论10：如果1()()21()pfxfxfx或1()()21()pfxfxfx，那么()fx是周期函数，其中一个周期2Tp结论11：如果()()fxpfx，那么()fx是周期函数，其中一个周期2Tp七、反函数1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；2、求反函数的步骤（1）解(2)换(3)写定义域。3、关于反函数的性质（1）y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性；（3）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f-1(a)；（4）f-1[f(x)]=x;（5）若点(a,b)在y=f(x)的图象上，则(b,a)在y=f--1(x)的图象上；（6）y=f(x)的图象与其反函数y=f--1(x)的图象的交点一定在直线y=x上;八．二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)函数复习主要知识点5一般式：)0(02acbxaxy；顶点式：)0(44)222aabacabxay（；零点式：)0)()(21axxxxay（1．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴abx2，顶点坐标)44,2(2abacab0a，开口向上，0a，开口向下2．二次函数与一元二次方程关系一元二次方程)0(02acbxax的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)0y的x的取值.韦达定理：acxxabxx2121,3.一元二次不等式)0(02cbxax的解集(a0)二次函数△情况一元二次不等式解集Y=ax2+bx+c(a0)△=b2-4acax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0(a0)图象与解△021xxxxx或21xxxx△=00xxx△0R九、指数式与对数式1．幂的有关概念(1)零指数幂)0(10aa；(2)负整数指数幂10,nnaanNa(3)正分数指数幂0,,,1mnmnaaamnNn；函数复习主要知识点6(4)负分数指数幂110,,,1mnmnmnaamnNnaa(5)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.2．有理数指数幂的性质10,,rsrsaaaarsQ20,,srrsaaarsQ30,0,rrrabababrQ3．根式根式的性质:当n是奇数，则aann；当n是偶数，则00aaaaaann4．对数(1)对数的概念:如果)1,0(aaNab,那么b叫做以a为底N的对数,记)1,0(logaaNba(2)对数的性质：①零与负数没有对数②01loga③1logaa(3)对数的运算性质①NMMNaaalogloglog②对数换底公式：)10,10,0(logloglogmmaaNaNNmma且且对数的降幂公式：)10,0(loglogaaNNmnNanam且（4）三个常用结论：①xaxalog；