专题十高三总复习--导数及其应用

导数及其应用（习题课）1、已知函数f(x)＝lnx－a2x2＋ax(a∈R)．(I)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；(II)若函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．2、设函数2e(),1axfxaxR．（Ⅰ）当35a时,求函数)(xf的单调区间；（Ⅱ）设()gx为()fx的导函数，当1[,2e]ex时，函数()fx的图象总在()gx的图象的上方，求a的取值范围．3、已知22()(0)(1)axfxax.（Ⅰ）若1a，求)(xf在1x处的切线方程；（Ⅱ）确定函数)(xf的单调区间，并指出函数()fx是否存在最大值或最小值．4、已知函数2()(21)lnfxaxaxx，2()2lngxaxx，其中aR．（Ⅰ）当2a时，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）当0a时，求)(xf的单调区间；（Ⅲ）若存在21[,e]ex，使得不等式()()fxgx成立，求a的取值范围．5、已知函数()1xfxxe.（I）求函数()fx的极小值；（II）如果直线1ykx与函数()fx的图象无交点，求k的取值范围.6、已知函数()cossinfxaxxx，ππ[,]22x.（Ⅰ）判断函数()fx的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）求集合{|()0}Axfx中元素的个数；（Ⅲ）当12a时，问函数()fx有多少个极值点？（只需写出结论）7、已知函数)0(ln)(22aRaxaaxxxf且.（Ⅰ）若1x=是函数()yfx=的极值点，求a的值；（Ⅱ）求函数()fx的单调区间.8、已知函数2()(0)fxaxbxa和()lngxx的图象有公共点P，且在点P处的切线相同.（Ⅰ）若点P的坐标为1(,1)e，求,ab的值；（Ⅱ）已知ab，求切点P的坐标.9、已知函数2()(1)2ln(1)fxxax()aR.（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）若1a，[0,1]x，求函数()yfx图象上任意一点处切线斜率k的取值范围.10、已知函数32()ln(21)2(0).3xfxaxxaxa（Ⅰ）若2x为()fx的极值点，求实数a的值；（Ⅱ）若()yfx在3,上为增函数，求实数a的取值范围.11、已知函数2(),xfxaxaR=?-.(Ⅰ)求函数()fx的单调区间;（Ⅱ）若()fx在(1,2)上是单调函数，求a的取值范围.12、已知定义在,1上的函数2lnxxxf，xxxxgln。（I）求证：xf存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；（II）若Zk且1xkxg对任意的1x恒成立，求k的最大值。13、已知函数1ln2)(2xxaxf.（Ⅰ）若1a,求函数()fx的单调递减区间；（Ⅱ）若0a，求函数()fx在区间[1,)上的最大值；（Ⅲ）若0)(xf在区间),1[上恒成立，求a的最大值.参考答案1、解：（Ⅰ）当1a时，2()lnfxxxx，定义域是(0,).'1()21fxxx，由'()0fx，解得01x；由'()0fx，解得1x；所以函数()fx的单调递增区间是0,1，单调递减区间是1,.…………………5分（Ⅱ）（法一）因为函数()fx在区间(1,)上是减函数，所以'()0fx在1,上恒成立，则'21()20fxaxax，即22()210gxaxax在1,上恒成立.…………………7分①当0a时，()10gx，所以0a不成立.…………………9分②当0a时，22()21gxaxax，290a，对称轴24axa.2(1)014gaa，即22(1)2104gaaaa，解得112104aaaa或或所以实数a的取值范围是1,12aa.…………………13分（法二）'21()2fxaxax2221axaxx，定义域是(0,).①当0a时，()lnfxx在区间(1,)上是增函数，所以0a不成立.…………………8分②0a时，令'()0fx，即22210axax，则1211,2xxaa，…………………9分（i）当0a时，由'()0fx，解得1xa，所以函数()fx的单调递减区间是1,a.因为函数()fx在区间(1,)上是减函数，+所以11a，解得1a.…………………11分（ii）当0a时，由'()0fx，解得12xa，所以函数()fx的单调递减区间是1,2a.因为函数()fx在区间(1,)上是减函数，所以112a，解得12a.综上实数a的取值范围是112aa或.…………………13分2、（Ⅰ）解：当35a时，32522e(3103)()5(1)xxxfxx．由()0fx得231030xx，解得13x或3x；由()0fx得231030xx，解得133x．所以函数)(xf的单调增区间为1(,)3,(3,)，单调减区间为1(,3)3．……………..5分（Ⅱ）因为222e(2)()()(1)axaxxagxfxx，又因为函数()fx的图象总在()gx的图象的上方，所以()()fxgx，即2222ee(2)1(1)axaxaxxaxx在1[,2e]ex恒成立．又因为2e01axx，所以22(1)2(1)axxx，所以2(1)(1)2axx．又210x，所以2211xax．设22()1xhxx，则min1()ahx1([,2e])ex即可．又2222(1)()(1)xhxx．由2222(1)()0(1)xhxx，注意到1[,2e]ex，解得11ex；由2222(1)()0(1)xhxx，注意到1[,2e]ex，解得12ex．所以()hx在区间1,1e单调递增，在区间1,2e单调递减．所以()hx的最小值为1()eh或(2e)h．因为212e()ee1h，24e(2e)4e1h，作差可知224e2e4e1e1，所以24e14e1a．所以a的取值范围是224e4e+1(,)4e1．……………..13分3、（Ⅰ）当1a时，22()(1)xfxx，4(1)(3)()(1)xxfxx…………2分3(1)4f，1(1)2f…………3分所以直线方程为31(1)42yx，即1524yx…………4分（Ⅱ）24(1)(2)2(1)()(1)axaxxfxx=4(1)(4)(1)xaxax其中0a，x(,1)(1,)…………2分令()0fx，得41xa1）当411a，即02a时，x4(,1)a41a4(1,1)a(1,)()fx小于0等于0大于0小于0()fx递减极小值递增递减()fx的增区间是4(1,1)a，减区间是4(,1)a和(1,)，当41xa时，取得极小值4(1)fa。又(1,)x时，4()0(1)fxfa，所以()fx有最小值24(1)4(2)afaa；…………6分2）当2a时，()fx的减区间是(,1)和(1,)，()fx无最大值和最小值。…………7分3）当2a时，()fx的增区间是4(1,1)a，减区间是(,1)和4(1,)a，当41xa时，取得极大值4(1)fa。又(,1)x时，4()0(1)fxfa，所以()fx有最大值24(1)4(2)afaa。…………9分4、5、解：(I)函数的定义域为R．因为()1xfxxe，所以1()xxefxe．令()0fx，则0x．x(,0)0(0,)()fx0()fx最小值所以当0x时函数有极小值()(0)0fxf极小值．……………6分(II)函数1()1xfxxe．当0x时01()010fxe，011yk，所以要使1ykx与()fx无交点，等价于()1fxkx恒成立．令1()1(1)xgxxkxe，即()(1)xgxkxe，所以(1)1()xxkegxe．①当1k时，1()0xgxe，满足1ykx与()fx无交点；②当1k时，111111()(1)111kkgkeekk．而101k，111ke，所以1()01gk，此时不满足1ykx与()fx无交点．③当1k时，令(1)1()0xxkegxe，则ln(1)xk，当(,ln(1))xk时，()0gx，()gx在(,ln(1))k上单调递减；当(ln(1),)xk时，()0gx，()gx在(ln(1),)k上单调递增；当ln(1)xk时，min()(ln(1))(1)(1ln(1))gxgkkk．由(1)(1ln(1))0kk，得11ek，即1ykx与()fx无交点．综上所述，当(1,1]ke时，1ykx与()fx无交点．……………13分6、解：（Ⅰ）函数()fx是偶函数，证明如下：………………1分对于ππ[,]22x，则ππ[,]22x.………………2分因为()cos()sin()cossin()fxaxxxaxxxfx，所以()fx是偶函数.………………4分（Ⅱ）当0a时，因为()cossin0fxaxxx，ππ[,]22x恒成立，所以集合{|()0}Axfx中元素的个数为0.………………5分当0a时，令()sin0fxxx，由ππ[,]22x，得0x.所以集合{|()0}Axfx中元素的个数为1.………………6分当0a时，因为π'()sinsincos(1)sincos0,(0,)2fxaxxxxaxxxx，所以函数()fx是π[0,]2上的增函数.………………8分因为ππ(0)0,()022faf，所以()fx在π(0,)2上只有一个零点.由()fx是偶函数可知，集合{|()0}Axfx中元素的个数为2.………………10分综上所述，当0a时，集合{|()0}Axfx中元素的个数为0；当0a时，集合{|()0}Axfx中元素的个数为1；当0a时，集合{|()0}Axfx中元素的个数为2.（Ⅲ）函数()fx有3个极值点.………………13分7、（Ⅰ）函数()fx的定义域为),0(.………………1分21'()2fxaaxx=+-2221axaxx-++=.………………3分因为1x=是函数()yfx=的极值点，所以2'(1)120faa=+-=.…………5分解得12a=-或1a=.经检验，12a=-或1a=时，1x=是函数()yfx=的极值点.……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：21'()2fxaaxx=+-2221axaxx-++=.由0a¹，令(21)(1)'()0axaxfxx+-+==，解得1211,2xxaa=-=.……9分当0a时，'(),fxfx的变化情况如下表x1(0,)a1a1(,)a'()fx+0-()fx↗极大值↘∴函数()yfx的单调递增区间是1(0,)a，单调递减区间是1(,)a；…………11分当0a时，'(),fxfx的变化情况如下表x1(0,)2a12a1(,)2a'()fx+0-()fx↗极大值↘∴函数()yfx的单调递增区间是1(0,)2a，单调递减区间是1(,)2a