2019年中考数学压轴题专项突破训练：圆(提高篇)附解析

2019年中考数学压轴题专项突破训练：圆（提高篇）附解析1．（2019•石景山区一模）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上一点C作⊙O的切线CD，过点B作BE⊥CD于点E，延长EB交⊙O于点F，连接AC，AF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接BC，若⊙O的半径为5，tan∠CAF＝2，求BC的长．解：（1）证明：连接CO并延长交AF于点G，如下图∵CD是⊙O的切线，∴∠ECO＝90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°．∵BE⊥CD，∴∠CEF＝90°．∴四边形CEFG是矩形．∴GF＝CE，∠CGF＝90°．∴CG⊥AF．∴．∴．即得证．（2）解：连接BC，如下图∵CG⊥AF，∴．∴∠CBA＝∠CAF．∴tan∠CBA＝tan∠CAF＝2．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．在Rt△CBA中，设BC＝x，AC＝2x，则．∴x＝2即BC的长为2．2．（2019•余姚市一模）如图，在R△ABC中，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径作⊙O，交BC于点E，过E作EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：直线EF与⊙O相切；（2）若CE＝2，EF＝1，求弧DE的长．解：（1）连接OE，∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD＝AB，∴∠OCE＝∠B，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠B＝∠OEC，∵OE∥AB，∴EF⊥OE，∴直线EF与⊙O相切；（2）连接DE，∵CD是⊙O的直径，∴DE⊥CE，∵CD＝BD，∴BE＝CE＝2，∵EF＝1，∴∠B＝30°，∴∠OCE＝30°，∴∠DOE＝2∠OCE＝60°，∵DE⊥CE，∠OCE＝30°，CE＝2，∴CD＝，∴OD＝，∴弧DE的长为＝π．3．（2019•上城区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以边BC为直径的⊙O与边AB交于点D，与边AC交于点E，连结OD，OE．（1）求证：BD＝CE．（2）若∠C＝55°，BC＝10，求扇形DOE的面积．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴＝，∴＝，∴EC＝BD．（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝55°，∵OB＝OD，OC＝OE，∴∠B＝∠CDB＝55°，∠C＝∠OEC＝55°，∴∠BOD＝∠EOC＝70°，∴∠DOE＝40°，∴S扇形ODE＝＝4．（2019•齐齐哈尔一模）Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AB上，BE＝AE＝2，以AE为直径作⊙O交AC于点F，交BC于点D，且点D为切点，连接AD、EF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）求阴影部分面积．（结果保留π）（1）证明：连接OD交EF于M．∵BC切⊙O于D，∴OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴∠DAC＝∠ODA，∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD＝∠DAC，∴AD平分∠ABC．（2）连接OF．∵AE是直径，∴∠AFE＝90°，∵EF∥BC，∴＝＝，∵∠C＝∠AFE＝∠ODC＝90°，∴四边形DMFC是矩形，∴DM＝CF＝AF，∵OM＝DM＝OD＝OE，∴∠OEM＝30°，∴∠EOF＝120°，∵BE＝AE＝2，∴OE＝2，∴OM＝1，EM＝，EF﹣2，∴S阴＝S扇形OEF﹣S△OEF＝﹣×2×1＝﹣．5．（2019•余姚市一模）如图1，在矩形ABCD中，点E以lcm/s的速度从点A向点D运动，运动时间为t（s），连结BE，过点E作EF⊥BE，交CD于F，以EF为直径作⊙O．（1）求证：∠1＝∠2；（2）如图2，连结BF，交⊙O于点G，并连结EG．已知AB＝4，AD＝6．①用含t的代数式表示DF的长②连结DG，若△EGD是以EG为腰的等腰三角形，求t的值；（3）连结OC，当tan∠BFC＝3时，恰有OC∥EG，请直接写出tan∠ABE的值．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝∠ADC＝90°，∴∠AEB＝∠1，∵EF⊥BE，∴∠AEB+∠DEF＝90°，∵∠2+∠DEF＝90°，∴∠AEB＝∠2，∴∠1＝∠2；（2）①∵∠A＝∠ADC＝90°，∠AEB＝∠EFD，∴△ABE∽△DEF，∴，∵AB＝4，AE＝t，DE＝6﹣t，∴，∴DF＝；②当EG＝ED时，∴∠EGD＝∠EDG，∵∠EGD＝∠EFD，∠EDG＝∠EFG，∴∠EFD＝∠EFG＝∠AEB，∵∠A＝∠EDF＝∠BEF，∴△BAE∽△EDF∽△BEF，∴＝＝，∴AE＝DE，∴t＝6﹣t，∴t＝3；当GE＝GD时，∴∠GED＝∠GDE，∵∠EDG＝∠BFE，∠GED＝∠BFC，∴∠BFE＝∠BFC，∵∠BEF＝∠C＝90°，BF＝BF，∴△BEF≌△BCF（AAS），∴BE＝BC＝6，∵AB2+AE2＝BE2，∴42+t2＝62，∴t＝2；综上所述，若△EGD是以EG为腰的等腰三角形，t的值为3或2；（3）tan∠ABE＝1，理由：如图2，过O作OH⊥CD于H，∵tan∠BFC＝＝3，设CF＝a，BC＝3a，∵AE＝t，∴DE＝3a﹣t，∵OH⊥CD，AD⊥CD，∴OH∥DE，∵OF＝OE，∴OH＝DE＝，∵OC∥EG，EG⊥FG，∴OC⊥FG，∴tan∠COH＝tan∠BFC＝3，∴CH＝3OH＝，FH＝，∴DF＝7a﹣3t，AB＝8a﹣3t，由△ABE∽△DEF，得，，即，解得：t1＝2a，t2＝a，∴tan∠ABE＝＝＝＝1．6．（2019•双流区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为直径作⊙O，以直角边AC为底边向右侧作等腰△ACD，使AB＝AD＝CD，连接OD交AC于点E．（1）求证：OD∥BC；（2）若tan∠ABC＝2，求证：DA与⊙O相切；（3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC＝2，求EF的长．解：（1）如图1，连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴AO＝CO，又∵AD＝CD，OD＝OD，∴△AOD≌△COD（SSS），∴∠ADE＝∠CDE，即DE为∠ADC的平分线又∵△ACD是等腰三角形∴点E为AC的中点，且DE⊥AC，又∵点O为AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥BC，即OD∥BC；（2）在Rt△ABC中，∵tan∠ABC＝＝2，∴设BC＝a，则AC＝2a，∴AD＝AB＝＝a，∵OE是△ABC的中位线，∴OE＝BC＝a，AE＝CE＝AC＝a，AO＝BO＝AB＝a，在Rt△AED中，DE＝＝2a，在△AOD中，AO2+AD2＝（a）2+（a）2＝a2，OD2＝（OE+DE）2＝（a+2a）2＝a2，∴AO2+AD2＝OD2，∴△AOD为直角三角形，∴∠OAD＝90°，∴DA与⊙O相切；（3）如图2，连接AF，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠AFD＝90°，∴∠AFD＝∠BAD，又∵∠ADF＝∠BDA，∴△AFD∽△BAD，∴＝，即DF•BD＝AD2，又∵∠AED＝∠OAD＝90°，∠ADE＝∠ODA，∴△AED∽△OAD，∴＝，即OD•DE＝AD2，∴DF•BD＝OD•DE，即＝，又∵∠EDF＝∠BDO，∴△EDF∽△BDO，∴＝，∴EF＝，∵BC＝2，∴AB＝AD＝2，OD＝5，ED＝4，BD＝2，OB＝，∴EF＝＝．7．（2019•宁波模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，G是弧AC上的任意一点，AG，DC的延长线相交于点F．（1）若CD＝8，BE＝2，求⊙O的半径；（2）求证：∠FGC＝∠AGD；（3）若直径AB＝10，tan∠BAC＝，弧AG＝弧BG，求DG的长．（1）解：连接OC．如图1所示：设⊙O的半径为R．∵CD⊥AB，∴DE＝EC＝4，在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，∴R2＝（R﹣2）2+42，解得：R＝5，即⊙O的半径为5；（2）证明：连接AD，如图2所示：∵弦CD⊥AB∴，∴∠ADC＝∠AGD，∵四边形ADCG是圆内接四边形，∴∠ADC＝∠FGC，∴∠FGC＝∠AGD；（3）解：如图2中，连接OG，作GH⊥DF于H．∵AB＝10，tan∠BAC＝＝，∴BC＝2，AC＝4，∵AB⊥CD，∴DE＝CE＝＝4，∴BE＝＝2，OE＝3，∵，∴OG⊥AB，∴∠GOE＝∠OEH＝∠GHE＝90°，∴四边形OEHG是矩形，GH＝OE＝3，OG＝EH＝5，DH＝9，在Rt△DGH中，DG＝＝＝3．8．（2019•定兴县一模）如图1，四边形ABCD是正方形，且AB＝8，点O与B重合，以O为圆心，作半径长为5的半圆O，交BC于点E，交AB于点F，交AB的延长线于点G．发现：M是半圆O上任意一点，连接AM，则AM的最大值为13；思考：如图2，将半圆O绕点F逆时针旋转，记旋转角为α（0°＜α＜180°）（1）当α＝90°时，求半圆O落在正方形内部的弧长；（2）在旋转过程中，若半圆O与正方形ABCD的边相切时，请直接写出此时点A到切点的距离．（注：sin37°＝，sin53°＝，tan37°＝）解：发现：当点M与点G重合时，AM有最大值，最大值＝AB+OG＝8+5＝13，故答案为：13；思考：（1）如图①，设半圆O交AD于点N，连接ON，过点O作OH⊥AD于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，∵半圆O绕点F逆时针旋转90°，∴∠OFA＝90°，∴四边形HAFO是矩形，∴AH＝OF＝5，OH＝AF＝AB﹣BF＝3，∴sin∠HNO＝＝．∴∠HNO＝37°，∵AH∥OF，∴∠NOF＝∠HNO＝37°，∴半圆O落在正方形内部的的长＝＝；（2）∵由（1）知，当α＝90°时，半圆O与AB相切，此时切点为点F，∴AF＝3；如图2，当半圆O与CD相切时，设切点为R，连接OR，AR，并延长RO交AB于点T，∴∠ORC＝90°．∵DC∥AB，∴∠OTF＝90°，∴四边形RCBT是矩形，∴RT＝CB＝8，∴OT＝8﹣5＝3，∴FT＝＝4，AT＝AB﹣BT＝AB﹣（BF﹣FT）＝7，∴AR＝；∴如图3，当半圆O与AD相切时，设切点为P，连接OP，过点F作FS⊥PO于点S，则四边形PAFS是矩形，∴PS＝AF＝3，AP＝SF，∴SO＝PO﹣PS＝5﹣3＝2，∴SF＝＝＝．∴AP＝SF＝．综上所述，点A到切点的距离为3或或．9．（2019春•江都区校级月考）如图，在直角坐标系中，⊙M的圆心M在y轴上，⊙M与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，过点A作⊙M的切线AP交y轴于点P，若点C的坐标为（0，﹣2），点A的坐标为（4，0），（1）求证：∠PAC＝∠CAO；（2）求直线PA的解析式；（3）若点Q为⊙M上任意一点，连接OQ、PQ，问的比值是否发生变化？若不变求出此值；若变化，说明变化规律．证明：（1）∵AM＝MC∴∠MAC＝∠MCA，∵AP是⊙M的切线∴∠PAM＝90°∴∠CAP+∠MAC＝90°，且∠MCA+∠CAO＝90°∴∠PAC＝∠CAO（2）∵点C的坐标为（0，﹣2），点A的坐标为（4，0），∴AO＝4，OC＝2在Rt△AMO中，AM2＝MO2+AO2，∴AM2＝（AM﹣2）2+16∴AM＝5∴MC＝5，MO＝3∴点M（0，3）∵∠POA＝∠PAM＝90°∴∠PAO+∠APM＝90°，∠APM+∠AMP＝90°∴∠PAO＝∠PMA，且∠AOM＝∠AOP＝90°∴△MOA∽△AOP∴∴∴OP＝∴点P坐标（0，）设直线PA的解析式为：y＝kx﹣，且过点A（4，0）∴0＝4k﹣∴k＝∴直线PA的解析式为：y＝x﹣（3）不变，理由如下：当点Q与点C重合时，＝＝，当点Q与点D重合时，＝＝，当点Q与点C、点D不重合，如图，∵∠AMP＝∠AMP，∠MAP＝∠MOA＝90°∴△MOA∽△MAP∴，且MQ＝MA∴，且∠QMP＝∠QMO∴△QMO∽△PMQ∴综上所述：的比值不变．10．（2019•红桥区一模）已知AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．（Ⅰ）如图①，若∠BDH＝65°，求∠ABH的大小；（Ⅱ）如图②，若C为弧BD的中点，求∠ABH的大小．解：（Ⅰ）如图1，连接OD．∵O为圆心，EF切⊙O于点D，∴OD⊥EF．又BH⊥EF，∴OD∥BH，∴∠ODB＝∠DBH，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠