高三导数及其应用测试题及答案解析

数学章末综合测试题导数及其应用1．曲线y＝13x3＋x在点1，43处的切线与坐标轴围成的三角面积为()A.19B.29C.13D.232．函数y＝4x2＋1x的单调增区间为()A．(0，＋∞)B.12，＋∞C．(－∞，－1)D.－∞，－123．若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝π2处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于()A．－2B．－1C．1D．24．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为()A．4B．－14C．2D．－125．已知f(x)＝x3－ax在(－∞，－1]上递增，则a的取值范围是()A．a＞3B．a≥3C．a＜3D．a≤36．设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y＝xf′(x)的图像的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是()A．f(1)与f(－1)B．f(－1)与f(1)C．f(2)与f(－2)D．f(－2)与f(2)7．若函数f(x)＝13x3＋12f′(1)x2－f′(2)x＋3，则f(x)在点(0，f(0))处切线的倾斜角为()A.π4B.π3C.2π3D.3π48．下图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图像，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图像可能是()9．若函数f(x)在R上满足f(x)＝ex＋x2－x＋sinx，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是()A．y＝2x－1B．y＝3x－2C．y＝x＋1D．y＝－2x＋310．如图，函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图像，则下面判断正确的是()A．在(－2,1)内f(x)是增函数B．在(1,3)内f(x)是减函数新课标第一网m]C．在(4,5)内f(x)是增函数D．在x＝2时，f(x)取到极小值11．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴相切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()A.427、0B．0、427C．－427、0D．0、－42712．若函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程为x－y＋2＝0，则f(1)＋f′(1)＝()．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．设P为曲线C：y＝x2－x＋1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P纵坐标的取值范围是__________．14．已知函数f(x)＝lnx＋2x，g(x)＝a(x2＋x)，若f(x)≤g(x)恒成立，则实数a的取值范围是__________．15．设函数y＝ax2＋bx＋k(k＞0)在x＝0处取得极值，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线x＋2y＋1＝0，则a＋b的值为__________．16．已知函数f(x)的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是__________．①函数f(x)在区间(－3,1)内单调递减；②函数f(x)在区间(1,7)内单调递减；③当x＝－3时，函数f(x)有极大值；④当x＝7时，函数f(x)有极小值．三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(10分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2(a，b∈R)．(1)若函数f(x)在x＝1处有极值为10，求b的值；(2)若对任意a∈[－4，＋∞)，f(x)在x∈[0,2]上单调递增，求b的最小值．18．(12分)已知函数f(x)＝x3－12x2＋bx＋c.(1)若f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，求b的取值范围；](2)若f(x)在x＝1处取得极值，且x∈[－1,2]时，f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围．]19．(12分)已知函数f(x)＝2mx－m2＋1x2＋1(x∈R)．(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)当m＞0时，求函数f(x)的单调区间与极值．20．(12分)已知函数f(x)＝(a－12)x2＋lnx(a∈R)．(1)当a＝1时，求f(x)在区间[1，e]上的最大值和最小值；(2)若在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图像恒在直线y＝2ax下方，求a的取值范围．21．(12分)设函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax＋bx，函数f(x)的图像与x轴的交点也在函数g(x)的图像上，且在此点有公共切线．(1)求a，b的值；(2)对任意x＞0，试比较f(x)与g(x)的大小．22．(12分)设函数f(x)＝ax3－2bx2＋cx＋4d(a，b，c，d∈R)的图像关于原点对称，且x＝1时，f(x)取极小值－23.(1)求a，b，c，d的值；(2)当x∈[－1,1]时，图像上是否存在两点，使得过两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；(3)若x1，x2∈[－1,1]，求证：|f(x1)－f(x2)|≤43.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．曲线y＝13x3＋x在点1，43处的切线与坐标轴围成的三角面积为()A.19B.29C.13D.23解析：y′＝x2＋1，当x＝1时，k＝y′|x＝1＝2，∴切线方程为y－43＝2(x－1)．当x＝0时，y＝－23，当y＝0时，x＝13.∴三角形的面积S＝12×|－23|×13＝19.答案：A2．函数y＝4x2＋1x的单调增区间为()A．(0，＋∞)B.12，＋∞C．(－∞，－1)D.－∞，－12解析：由y＝4x2＋1x，得y′＝8x－1x2.令y′＞0，即8x－1x2＞0，解得x＞12，∴函数y＝4x2＋1x在12，＋∞上递增.答案：B3．若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝π2处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于()A．－2B．－1C．1D．2解析：据已知可得f′(x)＝sinx＋xcosx，故f′π2＝1.由两直线的位置关系可得－a2×1＝－1，解得a＝2.答案：D4．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为()A．4B．－14C．2D．－12解析：∵f(x)＝g(x)＋x2，∴f′(x)＝g′(x)＋2x，Xkb1.com]f′(1)＝g′(1)＋2＝2＋2＝4.答案：A5．已知f(x)＝x3－ax在(－∞，－1]上递增，则a的取值范围是()A．a＞3B．a≥3C．a＜3D．a≤3解析：由f(x)＝x3－ax，得f′(x)＝3x2－a，由3x2－a≥0对于一切x∈(－∞，－1]恒成立，3x2≥a，∴a≤3.若a＜3，则f′(x)＞0对于一切x∈(－∞，－1]恒成立．若a＝3，x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0恒成立．x＝－1时，f′(－1)＝0，∴a≤3.答案：D6．设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y＝xf′(x)的图像的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是()A．f(1)与f(－1)B．f(－1)与f(1)C．f(2)与f(－2)D．f(－2)与f(2)解析：由y＝xf′(x)的图像知±2是y＝f′(x)的两个零点，设f′(x)＝a(x－2)(x＋2)．当x＞2时，xf′(x)＝ax(x－2)(x＋2)＞0，∴a＞0.由f′(x)＝a(x－2)(x＋2)知，f(－2)是极大值，f(2)是极小值，故选D.答案：D7．若函数f(x)＝13x3＋12f′(1)x2－f′(2)x＋3，则f(x)在点(0，f(0))处切线的倾斜角为()A.π4B.π3C.2π3D.3π4解析：由题意，得f′(x)＝x2＋f′(1)x－f′(2)，令x＝0，得f′(0)＝－f′(2)，令x＝1，得f′(1)＝1＋f′(1)－f′(2)，∴f′(2)＝1，∴f′(0)＝－1，即f(x)在点(0，f(0))处切线的斜率为－1，∴倾斜角为3π4.答案：D8．下图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图像，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图像可能是()解析：由y＝f′(x)的图像知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)图像上任意一点切线的斜率在(0，＋∞)也单调递减，故可排除A，C.又由图像知，y＝f′(x)与y＝g′(x)的图像在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图像在x＝x0处的切线斜率相同，故可排除B.故选D.答案：D9．若函数f(x)在R上满足f(x)＝ex＋x2－x＋sinx，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是()A．y＝2x－1B．y＝3x－2C．y＝x＋1D．y＝－2x＋3解析：令x＝0，解得f(0)＝1.对f(x)求导，得f′(x)＝ex＋2x－1＋cosx，令x＝0，解得f′(0)＝1，故切线方程为y＝x＋1.答案：C10．如图，函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图像，则下面判断正确的是()A．在(－2,1)内f(x)是增函数B．在(1,3)内f(x)是减函数新课标第一网m]C．在(4,5)内f(x)是增函数D．在x＝2时，f(x)取到极小值解析：在(－2,1)上，导函数的符号有正有负，所以函数f(x)在这个区间上不是单调函数；同理，函数f(x)在(1,3)上也不是单调函数，在x＝2的左侧，函数f(x)在－32，2上是增函数．在x＝2的右侧，函数f(x)在(2,4)上是减函数，所以在x＝2时，f(x)取到极大值；在(4,5)上导函数的符号为正，所以函数f(x)在这个区间上为增函数.答案：C11．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴相切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()A.427、0B．0、427C．－427、0D．0、－427解析：f′(x)＝3x2－2px－q，由f′(1)＝0，f(1)＝0，得3－2p－q＝0，1－p－q＝0，解得p＝2，q＝－1.∴f(x)＝x3－2x2＋x.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，得x＝13，或x＝1.从而求得当x＝13时，f(x)取极大值427；当x＝1时，f(x)取极小值0.故选A.答案：A12．如右图，若函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程为x－y＋2＝0，则f(1)＋f′(1)＝()．1B．2C．3D．4解析：由图像知f(1)＝3，f′(1)＝1，故f(1)＋f′(1)＝3＋1＝4.答案：D第Ⅱ卷(非选择共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．设P为曲线C：y＝x2－x＋1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P纵坐标的取值范围是__________．解析：设P(a，a2－a＋1)，y′|x＝a＝2a－1∈[]－1，3，∴0≤a≤2.从而g(a)＝a2－a＋1＝a－122＋34.当a＝12时，g(a)min＝34；a＝2时，g(a)max＝3.故P点纵坐标范围是34，3.答案：34，314．已知函数f(x)＝lnx＋2x，g(x)＝a(x2＋x)，若f(x)≤g(x)恒成立，则实数a的取值范围是__________．解析：设F(x)＝f(x)－g(x)，其定义域为(0，＋∞)，则F′(x)＝1x＋2－2ax－a＝－(2x＋1)(ax－1)x，x∈(0，＋∞)．当a≤0时，F′(x)＞0，F(x)单调递增，F(x)≤0不可能恒成立．当a＞0时，令F′(x)＝0，得x＝1a，或x＝－12(舍去)．当0＜x＜1a时，F′(x)＞0；当x＞1a时，F′(x)＜0.故F(x)在(0，＋∞)上有最大值F1a，由题意F1a≤0恒成立，即ln1a＋1a－1≤0.令φ(a)＝ln1a＋1a－1，则φ(a)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，故ln1a＋1a－1≤0成立的充要条件是a≥1.答案：[1，＋∞)15．设函数y＝ax2＋bx＋k(k＞0)在x＝0处取得极值，且曲线y