2010年数学建模A题

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名)：1.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2010年9月13日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：1题目储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文分别建立了小椭圆型储油罐及实际储油罐的变位识别模型。针对小椭圆型储油罐的变位识别问题，采用积分方法，给出无变位时储油量与油位高度的计算公式并得到正常的罐容表标定。对于小椭圆型储油罐纵向倾斜变位问题，讨论了其截面是三角形和梯形两种情况，利用积分法给出了纵向倾斜变位问题的计算公式，给出了修正后的罐容表标定值，并与正常标定值进行比较。针对实际大储油罐的变位识别问题，给出无变位时储油量与油位高度的计算公式，根据计算公式得到正常罐容表标定值。对于倾斜变位问题，用积分方法在不同油高下分别计算出球冠部分和中间圆柱体部分的油量，并求和给出大储油罐纵向倾斜变位后的修正公式。然后对储油罐横向偏转角度进行分析，给出横向偏转后实际油面高度与正常时油面高度的关系式。最后结合纵向倾斜角度及横向偏转角度参数公式推导得到罐内储油量与油位高度及两个变位参数间的函数式。结合附件二中所给数据，利用非线性最小二乘法通过遍历搜索算法求出纵向倾斜角度及横向偏转角度值，最后利用附件二中的数据对模型的可靠性进行了检验，检验结果表明模型较为合理。关键词：积分，数值积分，复化梯度法，非线性最小二乘法，罐容表，标定2一、问题的重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，我们可以采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。然而许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。我们采用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题，并解决以下两个问题。（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。(b)小椭圆油罐截面示意图α油油浮子出油管油位探针注油口水平线2.05m17cmcm0.4m1.2m1.2m1.78m(a)小椭圆油罐正面示意图图4小椭圆型油罐形状及尺寸示意图油油浮子出油管油位探测装置注油口检查口地平线2m6m1m1m3m油位高度图1储油罐正面示意图油位探针3二、问题的假设（1）向罐内注入的油量数都是通过流量计来完成，是准确的；（2）罐内的储油量只有通过加油机加油流出，并且加油机的计量误差在允许的范围内；（3）不计外部环境的变化对内部油量所产生的影响。（4）浮标的大小相对于溶剂来说可以忽略。（5）储油罐中油的密度是均匀的，不考虑水汽、重油等因素的影响。（6）储油罐的厚度可以忽略。（7）设注油期间油量无损耗。（8忽略出油管、检查口、注油口以及油位探针对油位高度的影响。部分假设在题中给予说明三、问题的分析问题一是利用小椭圆型储油罐模型研究变位对罐容表的影响。在无变位的情况下，储油罐的储油量就是对小椭圆型储油罐进行积分；在变为后，要分三步计算油的体积，第一步，在油平面未到达右端底部时，可以沿垂直于油面和地面的方向截得三角形切面，以油面到椭圆原点的距离为L，求出三角形面积，然后再积分；第二步，当油平面到达右端底部之后，可以用先前的结果减去虚拟部分的结果；第三步，当油平面上升到左端的上沿后，储油量为总体积减去上部空余部分的体积，空余部分的体积和第一步的算法相同。问题二是一个求实际储油罐变位参数的问题，由于平位时储油罐内液体的体积是一个比较规则的立体图形，因此可以用三重积分的方法求出平位时不同高度时液体体积的理论值，即罐容表的理论值，然后再利用积分的方法求出罐内液体体积与纵向偏移角度、横向偏移角度的关系,建立一个体积与变位参数的关系模型，用这个关系模型求出的相关数据和题中给出的数据进行对比，利用最小二乘法实际的变位参数。四、符号说明符号表示含义单位h油位高度m0V油位高度为h的两端冠球体储油量总和3m1V油位高度为h时圆柱体的储油量3mV油位高度为h时的储油总量3mL贮油罐中间圆柱形的长度m剩余的符号在解题的过程中说明五、模型的建立与求解第（1）题（一）首先建立罐体未变位时罐容表标定值模型设油位高度为h，截面作对应的面积为S，对应的罐容表的标定值为V4图1-1储油罐横截面坐标系图1-2整个储存罐的坐标表示正常时高度是已知的，只需求出截面的储油面积：2222222222arcsin2222arcsin2224hbbVSLaLbydybhbaLybybybbbaLhbbhbbbhhb0.89,0.6,2.45ambmLm带入得到体积V的公式：249*0.860.60.6*(*1.20.18sin()0.09)620.6hhVhha根据此函数可以得到理论值，与数据中的值在同一图中用MATLAB进行拟合，可以得到图1-3所示图形：020040060080010001200050010001500200025003000350040004500高度/mm容积/L无变位时理论值与数据值的对比理论值数据值图1-3无变位是理论值与数据值的对比（二）建立罐体变位时罐容表标定值模型5见如图1-4图1-4变位时的储存罐的坐标表示L表示油平面到椭圆的中心o的距离，L可以为负数；a为长半轴，b为短半轴；为倾斜角（4.1o）；先表示出投影三角形的面积，然后再对Y轴积分；22222222222222021,tan11()2tan2tan1()2tan1()tan0.89,0.6,2.45,4.1MATLABvpaV6.9754(0.2136925L1.06ABCabLbobABayLBCACabSABayLabdVayLdyabVayLdyaabL则有：将代入并用积分得到公式，将其用语句化为小数可得：322222228Larcsin(0.3333925L)0.007911(925L)0.5933925L0.5933925L)LLL6图1-5V与外部虚拟部分的关系图1-6标高h与L的关系下面分别计算三种情况下的V函数，即V关于h的数学模型模型：为方便输入，一些复杂的表达式由字母代替①0h0.1469326.9753[0.21361.068sin(0.333)0.007911]Vmnamm②0.1469h1.17322232226.97530.21361.068sin0.33330.0079110.59336.97530.21361.068sin0.33330.0079110.5933Vmnammmnnnpqapppqqq③1.17h1.23226.97530.21361.068sin0.33330.0079110.59332VabLrsarrrs其中2229250.60.4tan9250.62.05tan9251.22.05tanmnnhpqqhrssh7把求得的102个值与进油时的数据在同一图中比较，发现吻合的非常好，说明我们的模型是可行的。如图1-7020040060080010001200050010001500200025003000350040004500高度/mm容积/L变位后理论值与数据的对比理论值数据值图1-7变位后理论值与数据的对比罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值如表1。表1：变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值高度/m容积/L高度/m容积/L高度/m容积/L高度/m容积/L0.013.53800.31630.15500.611841.88200.913112.46000.026.27100.32665.58500.621885.13300.923151.40200.039.98200.33701.53200.631928.72400.933190.33300.0414.76400.34737.98000.641972.56600.943229.12000.0520.70800.35774.96200.652015.45600.953266.92300.0627.86100.36812.35400.662058.76000.963304.63200.0736.32500.37849.97000.672102.19400.973342.03100.0846.15400.38888.24600.682145.71600.983378.72400.0957.40700.39926.84200.692190.06500.993415.00800.1070.14300.40965.66600.702232.51201.003451.21400.1184.43500.411004.95800.712275.68701.013486.43200.12100.26600.421044.76200.722319.13501.023521.22500.13117.76000.431084.85000.732362.34101.033555.44400.14136.93200.441124.97200.742405.40201.043589.12900.15157.83200.451165.49100.752448.43601.053622.25500.16180.26800.461206.36200.762491.38501.063654.50600.17204.34100.471247.23000.772534.13801.073686.21400.18228.91800.481288.56400.782576.72201.083717.012080.19254.88800.491330.12200.792619.25601.093747.48200.20281.86500.501371.88800.802661.53801.103776.82500.21309.76300.511413.68200.812704.15201.113805.50800.22338.54200.521456.21300.822745.62101.123833.32900.23368.14900.531498.14500.83