2019年高考数学试题分类汇编-数列

十、数列1．（天津理4）已知na为等差数列，其公差为-2，且7a是3a与9a的等比中项，nS为na的前n项和，*nN，则10S的值为A．-110B．-90C．90D．110【答案】D2．（四川理8）数列na的首项为3，nb为等差数列且1(*)nnnbaanN．若则32b，1012b，则8aA．0B．3C．8D．11【答案】B【解析】由已知知128,28,nnnbnaan由叠加法21328781()()()642024603aaaaaaaa3．（四川理11）已知定义在0,上的函数()fx满足()3(2)fxfx，当0,2x时，2()2fxxx．设()fx在22,2nn上的最大值为(*)nanN，且na的前n项和为nS，则limnnSA．3B．52C．2D．32【答案】D【解析】由题意1(2)()3fxfx,在[22,2]nn上，2111()111331,()1,2,(),3,()()()lim1333213nnnnnnfxnfxnfxaSS4．（上海理18）设{}na是各项为正数的无穷数列，iA是边长为1,iiaa的矩形面积（1,2,i），则{}nA为等比数列的充要条件为A．{}na是等比数列。B．1321,,,,naaa或242,,,,naaa是等比数列。C．1321,,,,naaa和242,,,,naaa均是等比数列。D．1321,,,,naaa和242,,,,naaa均是等比数列，且公比相同。【答案】D5．（全国大纲理4）设nS为等差数列na的前n项和，若11a，公差2d，224kkSS，则kA．8B．7C．6D．5【答案】D6．（江西理5）已知数列{na}的前n项和nS满足：nmnmSSS，且1a=1．那么10a=A．1B．9C．10D．55【答案】A7．（福建理10）已知函数f（x）=e+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C，给出以下判断：①△ABC一定是钝角三角形②△ABC可能是直角三角形③△ABC可能是等腰三角形④△ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】B二、填空题8．（湖南理12）设nS是等差数列{}na()nN，的前n项和，且141,7aa，则9S=．【答案】259．（重庆理11）在等差数列{}na中，3737aa，则2468aaaa__________【答案】7410．（北京理11）在等比数列{an}中，a1=12，a4=-4，则公比q=______________；12...naaa____________。—2【答案】2121n11．（安徽理14）已知ABC的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为_______________.【答案】31512．（湖北理13）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升。【答案】676613．（广东理11）等差数列na前9项的和等于前4项的和．若141,0kaaa，则k=____________．【答案】1014．（江苏13）设7211aaa，其中7531,,,aaaa成公比为q的等比数列，642,,aaa成公差为1的等差数列，则q的最小值是________【答案】33三、解答题15．（江苏20）设Ｍ部分为正整数组成的集合，数列1}{1aan的首项，前n项和为nS，已知对任意整数kM，当整数)(2,knknknSSSSkn时都成立（1）设52,2},1{aaM求的值；（2）设}{},4,3{naM求数列的通项公式本小题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力，满分16分。解：（1）由题设知，当1112,2()nnnnSSSS时，即111()()2nnnnSSSSS，从而112222,2,2,2(2)22.nnnaaaanaann又故当时所以5a的值为8。（2）由题设知，当{3,4},22nknknkkMnkSSS且时,S11122nknknkSSSS且，两式相减得11111112,nknknnknknnkaaaaaaa即所以当63368,,,,,nnnnnnaaaaa时成等差数列，且6226,,,nnnnaaaa也成等差数列从而当8n时，33662.nnnnnaaaaa（*）且662222,8,2nnnnnnnaaaanaaa所以当时，即223113.9,,,,nnnnnnnnaaaanaaaa于是当时成等差数列，从而3311nnnnaaaa，故由（*）式知11112,.nnnnnnnaaaaaaa即当9n时，设1.nndaa当28,68mm时，从而由（*）式知6122mmmaaa故71132.mmmaaa从而76113122()()mmmmmmaaaaaa，于是12.mmaaddd因此，1nnaad对任意2n都成立，又由22({3,4})nknkkkSSSSk可知34()()2,92162nknnnkkSSSSSdSdS故且，解得42173,,.222dadada从而因此，数列{}na为等差数列，由112.ad知所以数列{}na的通项公式为21.nan16．（安徽理18）在数1和100之间插入n个实数，使得这2n个数构成递增的等比数列，将这2n个数的乘积记作nT，再令,lgnnaT1n≥.（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）设1tantan,nnnbaa求数列{}nb的前n项和nS.本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.解：（I）设221,,,nlll构成等比数列，其中,100,121ntt则,2121nnnttttT①,1221ttttTnnn②①×②并利用得),21(1022131nittttnin.1,2lg,10)()()()()2(2122112212nnTattttttttTnnnnnnnn（II）由题意和（I）中计算结果，知.1),3tan()2tan(nnnbn另一方面，利用,tan)1tan(1tan)1tan())1tan((1tankkkkkk得.11tantan)1tan(tan)1tan(kkkk所以231tan)1tan(nknkknkkbS.1tan3tan)3tan()11tantan)1tan((23nnkknk17．（北京理20）若数列12,,...,(2)nnAaaan满足111(1,2,...,1)naakn，数列nA为E数列，记()nSA=12...naaa．（Ⅰ）写出一个满足10saa，且()sSA〉0的E数列nA；（Ⅱ）若112a，n=2000，证明：E数列nA是递增数列的充要条件是na=2019；（Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列nA，使得nSA=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列nA；如果不存在，说明理由。解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，所以)1999,,2,1(11kaakk.所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.所以a2000=12+（2000—1）×1=2019.充分性，由于a2000—a1000≤1，a2000—a1000≤1……a2—a1≤1所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999.又因为a1=12，a2000=2019,所以a2000=a1+1999.故nnnAkaa即),1999,,2,1(011是递增数列.综上，结论得证。（Ⅲ）令.1),1,,2,1(011Akkkcnkaac则因为2111112ccaacaa……,1211nncccaa所以13211)3()2()1()(nnccncncnnaAS)].1()2)(1()1)(1[(2)1(121ncncncnn因为).1,,1(1,1nkcckk为偶数所以所以)1()2)(1()1)(1*21ncncnc为偶数,所以要使2)1(,0)(nnASn必须使为偶数,即4整除*)(144),1(Nmmnmnnn或亦即.当,1,0,*)(14241414kkknaaaAENmmn的项满足数列时14ka),,2,1(mk时，有;0)(,01nASa;0)(,0,0),,,2,1(11144nkkASaamka有时当nAENmmn数列时,*)(14的项满足，,1,0243314kkkaaa当)1(,)(3424mnNmmnmn时或不能被4整除，此时不存在E数列An，使得.0)(,01nASa18．（福建理16）已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=133。（I）求数列{an}的通项公式；（II）若函数()sin(2)(0,0)fxAxAp在6x处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，满分13分。解：（I）由313(13)13133,,3133aqS得解得11.3a所以12133.3nnna（II）由（I）可知233,3.nnaa所以因为函数()fx的最大值为3，所以A=3。因为当6x时()fx取得最大值，所以sin(2)1.6又0,.6故所以函数()fx的解析式为()3sin(2)6fxx19．（广东理20）设b0,数列na满足a1=b，11(2)22nnnnbaanan．（1）求数列na的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，111.2nnnba解：（1）由11111210,0,.22nnnnnnbannabaanabba知令11,nnnAAab，当1122,nnnAAbb时2112111222nnnnAbbbb21211222.nnnnbbbb①当2b时，12(1)2,2(2)1nnnnnbbbAbbb②当2,.2nnbA时(2),222,2nnnnnbbbabb（2）当2b时，（欲证1111(2)21,(1)2222nnnnnnnnnnnnbbbbbanbbb只需证）11111212(2)(2)(22)2nnnnnnnnnbbbbbb112222211122222nnnnnnnnnbbbbb21212222()222nnnnnnnnbbbbbbb