一维导热方程-有限差分法-matlab实现

第五次作业（前三题写在作业纸上）一、用有限差分方法求解一维非定常热传导方程，初始条件和边界条件见说明.pdf文件，热扩散系数α=const，22TTtx1.用Tylaor展开法推导出FTCS格式的差分方程2.讨论该方程的相容性和稳定性，并说明稳定性要求对求解差分方程的影响。3.说明该方程的类型和定解条件，如何在程序中实现这些定解条件。4.编写M文件求解上述方程，并用适当的文字对程序做出说明。（部分由网络搜索得到，添加，修改后得到。）functionrechuandaopde%以下所用数据，除了t的范围我根据题目要求取到了20000，其余均从pdf中得来a=0.00001;%a的取值xspan=[01];%x的取值范围tspan=[020000];%t的取值范围ngrid=[10010];%分割的份数，前面的是t轴的，后面的是x轴的f=@(x)0;%初值g1=@(t)100;%边界条件一g2=@(t)100;%边界条件二[T,x,t]=pdesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid);%计算所调用的函数[x,t]=meshgrid(x,t);mesh(x,t,T);%画图，并且把坐标轴名称改为x，t，Txlabel('x')ylabel('t')zlabel('T')T%输出温度矩阵dt=tspan(2)/ngrid(1);%t步长h3000=3000/dt;h9000=9000/dt;h15000=15000/dt;%3000,9000,15000下，温度分别在T矩阵的哪些行T3000=T(h3000,:)T9000=T(h9000,:)T15000=T(h15000,:)%输出三个时间下的温度分布%不再对三个时间下的温度-长度曲线画图，其图像就是三维图的截面%稳定性讨论,傅里叶级数法dx=xspan(2)/ngrid(2);%x步长sta=4*a*dt/(dx^2)*(sin(pi/2))^2;ifsta0,sta2fprintf('\n%s\n','有稳定性')elsefprintf('\n%s\n','没有稳定性')errorend%真实值计算[xe,te,Te]=truesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid);[xe,te]=meshgrid(xe,te);mesh(xe,te,Te);%画图，并且把坐标轴名称改为xe，te，Texlabel('xe')ylabel('te')zlabel('Te')Te%输出温度矩阵%误差计算jmax=1/dx+1;%网格点数[rms]=wuchajisuan(T,Te,jmax)rms%输出误差function[rms]=wuchajisuan(T,Te,jmax)forj=1:jmaxrms=((T(j)-Te(j))^2/jmax)^(1/2)endfunction[Ue,xe,te]=truesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid)n=ngrid(1);%t份数m=ngrid(2);%x份数Ue=zeros(ngrid);xe=linspace(xspan(1),xspan(2),m);%画网格te=linspace(tspan(1),tspan(2),n);%画网格forj=2:nfori=2:m-1forg=1:m-1Ue(j,i)=100-(400/(2*g-1)/pi)*sin((2*g-1)*pi*xe(j))*exp(-a*(2*g-1)^2*pi^2*te(i))endendendfunction[U,x,t]=pdesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid)n=ngrid(1);%t份数m=ngrid(2);%x份数h=range(xspan)/(m-1);%x网格长度x=linspace(xspan(1),xspan(2),m);%画网格k=range(tspan)/(n-1);%t网格长度t=linspace(tspan(1),tspan(2),n);%画网格U=zeros(ngrid);U(:,1)=g1(t);%边界条件U(:,m)=g2(t);U(1,:)=f(x);%初值条件%差分计算forj=2:nfori=2:m-1U(j,i)=(1-2*a*k/h^2)*U(j-1,i)+a*k/h^2*U(j-1,i-1)+a*k/h^2*U(j-1,i+1);endend5.将温度随时间变化情况用曲线表示00.20.40.60.8100.511.52x104020406080100xtT6.给出3000、9000、15000三个时刻的温度分布情况，对温度随时间变化规律做说明。T3000=100.000063.436234.229915.80217.46417.464115.802134.229963.4362100.0000T9000=100.000081.693065.607653.683947.346647.346653.683965.607681.6930100.0000T15000=100.000089.941581.096274.531071.037871.037874.531081.096289.9415100.0000根据数据分析，在同一个x点上温度随时间的增加而增加，但增幅变小。x-T图形仍为抛物线，但随着时间的增加，极值变小，图像变得平缓。7.用计算数据说明，并结合差分方程余项，空间、时间间隔对求解精度影响。数据量较大，且原理相同，我取一个向量演示一下。保持空间间隔不变，修改时间间隔，时间间隔加大，得到的误差加大。保持时间间隔不变，修改空间间隔，空间间隔加大，得到的误差加大。修改空间间隔的误差在增量比修改时间间隔的大。从方差余项上来看，（没有公式编辑器。。。。只能从ppt里粘贴了）这个余项里的△t，△x都在分母上，所以与误差成正比，且△x的次数应该是比△t高，故影响较大。8.用计算数据说明，稳定性要求对求解精度的影响。修改稳定性，即修改x和t分的份数（ngrid），之后看误差。稳定性越高，解的精度越高。即在满足稳定性要求（a*△t/(△x^2)0.5）时，a*△t/(△x^2)越接近0，误差越小。从概念上理解，稳定性越好，对引入时间层误差的抑制能力越强。所以误差越小。二、调用MATLAB函数完成上述计算1.编写M文件求解上述方程，并用适当的文字对程序做出说明。functionpdepediaoyongm=0;x=linspace(0,1,11);%x的网格t=linspace(0,20000,101);%t的网格sol=pdepe(m,@pdefun,@icfun,@bcfun,x,t);%调用函数T=sol(:,:,1);%解figure;%画图surf(x,t,T)xlabel('x')ylabel('t')zlabel('T')dt=20000/100;%t步长h3000=3000/dt;h9000=9000/dt;h15000=15000/dt;%3000,9000,15000下，温度分别在T矩阵的哪些行T3000=T(h3000,:)T9000=T(h9000,:)T15000=T(h15000,:)%输出三个时间下的温度分布%不再对三个时间下的温度-长度曲线画图，其图像就是三维图的截面function[c,f,s]=pdefun(x,t,T,DuDx)%PDE方程函数c=100000;f=DuDx;s=0;functionu0=icfun(x)%初始条件函数u0=0;function[pl,ql,pr,qr]=bcfun(xl,Tl,xr,Tr,t)%边界条件函数pl=Tl-100;ql=0;pr=Tr-100;qr=0;2.将温度随时间变化情况用曲线表示。00.20.40.60.8100.511.52x1040204060801001203.给出3000、9000、15000三个时刻的温度分布情况。T3000=100.000067.105839.861121.197310.98857.827910.988521.197339.861167.1058100.0000T9000=100.000083.483968.603256.819149.270546.673249.270556.819168.603283.4839100.0000T15000=100.000090.831082.560175.997271.784570.333071.784575.997282.560190.8310100.0000根据数据分析，在同一个x点上温度随时间的增加而增加，但增幅变小。x-T图形仍为抛物线，但随着时间的增加，极值变小，图像变得平缓。4.用计算数据说明，空间、时间间隔对求解精度影响，并与有限差分法的计算结果做比较。调用前面做出来的真实值,跟pdepe做出来的值计算误差，再与有限差分法的误差比较。用pdepe函数求的误差远小于有限差分法，所以pdepe函数法更精确。5.用计算数据说明，有无稳定性要求，为什么？若有，如何对求解精度的影响。不知道这个pdepe函数的稳定性要用什么检验。傅里叶级数检验不适用。