精密机械随机控制

第五章精密機械隨機控制§5.1機器隨機動態§5.2線上狀態估測§5.3精準機電控制§5.4精準控制模擬R.J.ChangDepartmentofMechanicalEngineeringNCKU§5.1機器隨機動態(1)線性動態方程隨機響應：隨機響應分析包括時域與頻域法；頻域法僅適用於穩態程序，故輸入程序必須為穩態，例如白噪音。而時域法可用於非穩態之輸入程序，例如擴延白噪音(Extendedwhitenoise)。擴延白噪音—噪音瞬間強度即為白噪音之強度，然其強度會隨時間而改變，而其頻譜不存在。頻域法1.SISO動態方程w(t)為穩態隨機程序，則0()()()()()()()txthtwdhtwdhwtdh(t)w(t)x(t)§5.1機器隨機動態(2)2.SISO穩態響應若x(t)為弱穩態程序，則x(t)之自相關函數為121212()[()()]()()()(){()}()1()()2xxwwjxxxxxxjxxxxRExtxthhRddSRRedRSed由功率頻譜密度函數和自相關函數關係得F§5.1機器隨機動態(3)則22()()1[()()]2()()1[()]2()()()()jxxxxjjwwjxxxxjjxxxxxxwwSRedeSHeddSRedSededSSSH由以上二式之得而輸出狀態之均方221(0)[()]()()2xxwwRExtSHd值為§5.1機器隨機動態(4)例：已知w(t)為高斯白噪音，求以下輸出之頻譜及自相關函數。222-1-1-1-12()()()11()(1)11(){()}10.50.5(){}{}{}111()0.5yywwyyyyyyyyyySSHSjRSRjjRe解：輸出之頻譜－由得輸出之自相關函數－由得故FFFFw(t)Rww()()y(t)11s§5.1機器隨機動態(5)3.MIMO穩態響應若系統為二階動態方程組如下H()w(t),xx高斯白噪音21*2(),[()]0,[()()]()()[]()()()[](),[](),[]()TTjkjkjkjkjkjkMxCxKxwtEwtEwtwsQtsHjMjCKHQHExxdExxjdExxd其中則輸出狀態之頻譜為輸出狀態之協方差為§5.1機器隨機動態(6)時域法1.MIMO動態方程1101212121()()()()()(0){(),(),...,()}()[()]0[()()]()()nnnnssnTxtFtxtGtntxxxxtxtxtntEntEntntQttt其中，且：擴延高斯白噪音程序具有特性§5.1機器隨機動態(7)2.MIMO系統之時域解0000000()(,)(,)()(),()(,)(,)()(,)(,)()()()()ttxxxxtttxtGdtdndttttttFtttttIxttPt其中稱為擴延維納程序為基本解矩陣滿足下式單位矩陣為高斯分佈，故其解可由平均值與協方差完全確定。§5.1機器隨機動態(8)3.平均值之進展方程00000000[()](,)[()]()(,)()()(,)()()(,)()()()()()()()(0)xxxxxxxExtttExtttttttttFtttttFttxtFtxtx即微分表示即平均值隨時間進展之關係式，即為原狀態方程不受零均值隨機作用之確定狀態方程的時間響應。狀態方程與起始條件()()()(0)xxxtFtt§5.1機器隨機動態(9)4.協方差之進展方程0000()[(()())(()())]()()()(,)()(,)(,)()()()(,)()(TxxxxxTxxxxtTTtxxPtExttxttxttPtttPttttGQtGtdLeibnitzPt由之解及之進展式使用萊布尼茲法則，對上式微分並合併各項可得)()()()()()()()TTxxxxFtPtPtFtGtQtGt§5.1機器隨機動態(10)5.隨機響應之進展方程協方差隨時間之關係式與平均值之進展方程獨立，故可以分開求解再疊加，此為線性方程之必然結果。x(tf)x(tf)p(tf)ttx(t)tPxx(t)x(t)titfx(ti)p(ti)x(ti)titftitf§5.1機器隨機動態(11)0001121002()()(0),(0),(0)()[()()]()()(),(),01xxxxxxxxxwtxtPPPwtEwtwsQttsxtxtxxxxxx例：為高斯分佈具協方差及零均值，為高斯擴延白噪音具；求之輸出響應。解：以狀態方程表示系統，設1200000()1020010()0221xxxxxxxxxxxxxwtxPPPPQtPP由時域法得()故輸出為高斯密度函數，其均值響應可由線性方程式解出本例為零均值而協方差可由上式解出。§5.1機器隨機動態(12)擴延非白噪音之建模：若線性系統包含動態方程與量測方程，當系統輸入為擴延非白噪音程序時，如何求解系統輸出。狀態方程具有擴延非白噪音輸入整形濾波器高斯白噪音程序線性系統非白噪音程序需經設計之濾波器()()()()()()()()()()()xtFtxtGtntztHtxtvtntvt：高斯擴延非白噪音：高斯擴延白噪音§5.1機器隨機動態(13)設計整形濾波器擴充狀態方程擴充輸出方程()()()()()()()()()ffffffxtFtxtGtwtntHtxtwt：高斯擴延白噪音()()()()()0()()0()()()fffffxtFtGtHtxtwtxtFtxtGt()()()0()()fxtztHtvtxt§5.1機器隨機動態(14)量測方程具有擴延非白噪音輸入設計整形濾波器擴充狀態方程整形濾波器之設計一般以頻譜因子分解法(Spectralfactorization)設計得穩定極小相位之線性濾波器。()()()()()()()()()(),xtFtxtGtwtztHtxtntvtn其中是高斯擴延非白噪音()()0()()0()()0()()0()()()()()()()()fffffffxtFtxtGtwtxtFtxtGtwtxtztHtHtvtxt()()()()()()()()fffffffxtFtxtGtwtntHtxt§5.1機器隨機動態(15)例：設計以下之整形濾波器2222()()()2(){()}(){}1()2()()(1)22()()()(1)(1)2()1zzwwwwwwwzzzzwwwwwwSSHSRQSeSHSQQQHjHjspectralfactorizationjjQHss解：由和則即故為穩定且極小相位之濾波器FFH(s)高斯白噪音高斯非白噪音Rww()Qw()Rzz()e||§5.1機器隨機動態(16)連續系統之離散表示及狀態進展：系統離散化1.連續系統12211221()()()()()()()()()()()[()]0,[()()]()()[()]0,[()()]()()TTxtFtxtBtutGtwtztHtxtvtEwtEwtwtQtttEvtEvtvtRttt其中§5.1機器隨機動態(17)2.離散系統1111111111111111()(,)()()()()()()()()()[()]0,[()()]()()[()]0,[()()]()()iiiiiiidiidiidiTdidididiTdidididixtttxttuttwtztHtxtvtEwtEwtwtQttEvtEvtvtRtt其中連續系統D/AD/AA/DA/DD/Au(t)z(t)x(t)z(ti)u(ti)x(ti)w(ti)v(ti)v(t)w(t)§5.1機器隨機動態(18)離散系統參數1.非時變系統參數12202011111()...2!1...2!1...2!()()()()()iiFttFtFtFFtdiitdiieIFtFteBdIBtFBteGdIGtFGtQteQtedRtRt§5.1機器隨機動態(19)2.一階近似參數當系統之暫態變化，或者系統之緩慢時變遠小於取樣時間t時，離散系統之參數可以下式近似計算。1111111111(,)()()()()()()()()()iiiiiiidiidiittIFtttBtttGttQtQttRtRt§5.1機器隨機動態(20)離散系統狀態之進展1.平均值進展方程2.協方差進展方程以上之平均值與協方差進展方程無任何相關；只要分別給定起始狀態之統計訊息即可個別或同時求解。111111()(,)()(,)()()()TTxxiiixxiiiidiiPtttPttttQtt111()(,)()()()xiiixiiitttttut§5.1機器隨機動態(21)非線性動態方程隨機響應：非線性動態之隨機響應問題，本質上為一非封閉性(Non-closure)型之問題，即必須藉助物理或數學近似方能求解。以近似求解之結果，常遭遇的兩個問題為：1.輸出響應解的精確性。2.系統強健穩定響應解之參數空間。常用解法－高斯封閉法(GaussianClosureMethod)非高斯封閉法(Non-GaussianClosureMethod)統計線性化法(StatisticalLinearizationMethod)最大熵法(MaximumEntropyMethod)資訊封閉法(InformationClosureMethod)§5.2線上狀態估測(1)濾波問題與歷史背景：歷史背景卡曼濾波器之連續動態表示稱為卡曼-比西(Kalman-Bucy)濾波器。高斯靜態數據最小方差處理維納濾波器穩態連續程序信號估測線性SISO模型卡曼濾波器非穩態離散數據動態方程之狀態估測線性MIMO狀態空間擴展卡曼濾波器非線性系統19491960197018th§5.2線上狀態估測(2)濾波問題如何設計一濾波器可以使信號與雜訊分離？維納的貢獻維納將濾波問題視為統計信號估測問題，推導出一積分方程稱為維納-霍夫(Wiener-Hopf)方程，可解出穩態連續線性非時變濾波器。信號雜訊功率頻譜密度§5.2線上狀態估測(3)統計信號處理：一般問題敘述問題類型ˆ(1),(2),...,();(|(1),(2),...,())zzzkxjzzzk已知求時序信號z(k)估測ˆ()xjkj1.預測問題(外插)時序信號z(k)估測ˆ()xjkj2.濾波問題時序時序信號z(k)估測ˆ()xjkj3.勻滑化問題(內插)時序時序§5.2線上狀態估測(4)濾波問題之數