值域-求值域的方法大全及习题加详解

求值域方法函数值域的求法方法有好多,要是题目同,或者说稍微有一个数出现题,对们来说,解题的思路能就会出现非常大的区别.这里要弄几个出来,大家一起看一.函数的值域取决于定域和对应法则求函数的值域要注意优先考虑定域
常用求值域方法令直接察法利用已有的基本函数的值域察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数如比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,值域通过察直接得到例令求函数1,[1,2]yxx=∈的值域例以求函数x3y−=的值域答案值域是]3,[−∞同练令函数221xy+=的值域.解}210{≤yy2配方法二次函数或转形如cxbfxfaxF++=)()]([)(2类的函数的值域题均用配方法而后一情况要注意)(xf的范围配方法是求二次函数值域最基本的方法之一例令求函数225,yxxxR=−+∈的值域例以求函数]2,1[x,5x2xy2−∈+−=的值域解将函数配方得4)1x(y2+−=]2,1[x−∈由二次函数的性质知当x称令时4ymin=当1x−=时8ymax=故函数的值域是与巧8成例左求()()22log26log62log222222−+=++=xxxy配方法换元法解………所当41=x时y有最小值-2故所求函数值域[-2+∞例巧设02x求函数1()4321xxfx+=−+
的值域解12()4321(23)8xxxfx+=−+=−−
02x24x1当23x=时函数取得最小值8−当21x=时函数取得最大值4−函数的值域[84]−−评注配方法需结合函数图象求值域例5求函数13432−+−=xxy的值域配方法换元法解()()[]713421342113426421+−+−=−+−=xxxxy称()31134212++−x所27≥y故所求函数值域与7以+∞成例6求函数xxy422+−−=的值域配方法][2,0∈y同练以令求二次函数242yxx=−+−[]1,4x∈的值域.以求函数342−+−=xxey的值域.左求函数421,[3,2]xxyx−−=−+∈−的最大值最小值.巧求函数])8,1[(4log2log22∈⋅=xxxy的最大值和最小值.5已知[]0,2x∈求函数12()4325xxfx−=−⋅+的值域.6若,42=+yx0,0yx,试求yxlglg+的最大值最大值2lg左换元法角换元法有时候了沟通已知未知的联系们常常引进一个几个新的来替原来的实行这种变换暴露已知未知之间被表面形式掩盖着的实质发现解题方向这就是换元法在求值域时们通过换元将所给函数值域容易确定的另一函数而求得原函数的值域例令求()1fxxx=+−的值域解10xt−=则21(0)xtt=−222155()(1)1244fxftttt=−=−+=−+所函数值域5−∞巧评注利用引入的新变t使原函数消去了根号转了关于t的一元二次函数使题得解决用换元法求函数值域时必须确定新变的取值范围它是新函数的定域小结同练左求函数xxy21−−=的值域解由021≥−x得21≤x()021≥=−ttx得212tx−=于是()11212122++−=−−=ttty因0≥t所21≤y故所求函数值域与-∞令以成例以求函数221xxxy+−=的值域解设≤=2sinπααx则()−+=−+=+=42sin22212cos1212sin21sincossin2πααααααy所221221+≤≤−y故所求函数值域+−221221，同练巧求函数2x54xy−++=的值域解由0x52≥−得5|x|≤故],0[,cos5xπ∈ββ=4)4sin(10sin54cos5y+π+β=β++β=π≤β≤04544π≤π+β≤π∴当4/π=β时104ymax+=当π=β时54ymin−=故所求函数的值域]104,54[+−小结同练5令求函数xxy21−+=的值域.以求函数2)1x(12xy+−++=的值域解因0)1x(12≥+−即1)1x(2≤+故],0[,cos1xπ∈ββ=+1cossincos11cosy2+β+β=β−++β=1)4sin(2+π+β=π≤π+β≤π≤β≤4540,0211)4sin(201)4sin(22+≤+π+β≤∴≤π+β≤−∴故所求函数的值域]21,0[+左已知函数)(xf的值域95,83求函数)(21)(xfxfy−+=的值域.巧函数有界性法方程法直接求函数的值域困难时利用已学过函数的有界性来确定函数的值域们所说的单调性最常用的就是角函数的单调性例1求函数3sin3sin+−=xxy的值域解因03sin≠+x所3sin3sin−=+xyxy则()yyx−+=113sin由于1sin≤x所()1113≤−+yy解得212−≤≤−y故所函数的值域与-以-令以成求函数1122+−=xxy的值域110112≤−∴≥−+=yyyxQ[)11−∴原函数的值域例以求函数3cos21sin3+−=xxy的值域解因03cos2≠+x所1sin33cos2−=+xyxy即13cos2sin3+=−yxyx所9413cos942sin943222++=+−+yyxyyxy943cos2+=yϕ942sin2+=yyϕ得()9413sin2++=−yyxϕ由194132≤++yy解得542≤≤−y故所函数的值域与-以巧5成同练6求函数11xxeye−=+2sin11sinyθθ−=+2sin11cosyθθ−=+的值域.222110112sin11|sin|||1,1sin22sin12sin1(1cos)1cos2sincos114sin()1,sin()41sin()114即又由知解等式求出就是要求的答案xxxeyyeyeyyyyyyyyyxyxyyxyyθθθθθθθθθθθθ−+=⇒=−+−+=⇒=≤+−−=⇒−=++−=++++=++=+++≤≤+5数形结合法函数的图对于一些函数如二次函数段函数等的求值域题们借形象直的函数图象来察函数值的变情况再有的放矢地通过函数解析式求函数最值确定函数值域用数形结合法使算过程大大简题型是函数解析式有明显的某种几何意如两点的距离公式直线斜率等等这类题目若用数形结合法会更加简单一目了然赏心悦目例令求函数2223(20)()23(03)xxxfxxxx+−−=−−的值域析求段函数的值域作出它的图象则函数值的整体变情况就一目了然了而快速地求出值域解作图象如图所示(1)(1)4ff−==−(2)3f−=−(3)0f=(0)3f=−函数的最大值最小值别0和4−即函数的值域[40]−例以求函数22)8x()2x(y++−=的值域.解原函数简得|8x||2x|y++−=式看数轴点Px到定点致以)8(B−间的距离之和由图知当点P在线段致B时10|AB||8x||2x|y==++−=当点P在线段致B的延长线或反向延长线时10|AB||8x||2x|y=++−=故所求函数的值域],10[+∞例左求函数5x4x13x6xy22++++−=的值域.解原函数变形2222)10()2x()20()3x(y++++−+−=式看x轴的点)0,x(P到两定点)1,2(B),2,3(A−−的距离之和由图知当点P线段x轴的交点时43)12()23(|AB|y22min=+++==故所求函数的值域],43[+∞例巧求函数5x4x13x6xy22++−+−=的值域.解将函数变形2222)10()2x()20()3x(y−++−−+−=式看定点致左以到点Px代的距离定点)1,2(B−到点)0,x(P的距离之差即|BP||AP|y−=由图知令当点P在x轴且是直线致Bx轴的交点时如点'P则构'ABP∆根据角形两边之差小于第边有26)12()23(|AB|||'BP||'AP||22=−++=−即26y26−以当点P恰好直线致Bx轴的交点时有26|AB|||BP||AP||==−综所述知函数的值域]26,26(−注由例令7令8知求两距离之和时要将函数式变形使致B两点在x轴的两侧而求两距离之差时则要使致B两点在x轴的同侧如例令7的致B两点坐标别左以)1,2(−−在x轴的同侧例令8的致B两点坐标别左以)1,2(−在x轴的同侧同练7令求函数13yxx=−+−的值域.以求函数31yxx=−−+的值域.左求函数224548yxxxx=+++−+的值域.巧求函数()225222++−++=xxxxxf的最大值.6均值等式法利用基本关系,0)]([2≥xf两个数的均值等式abba2≥+在应用时要注意一二定相等利用基本等式abc3cba,ab2ba3≥++≥+)Rc,b,a(+∈求函数的最值题型特解析式是和式时要求定值解析式是时要求和定值过有时需要用到拆项添项和两边方等技例令求函数)1(1222−+++=xxxxy的值域解原函数)1(211111)1(2−≥+++=+++=xxxxxyQ当且仅当0=x时取等号故值域[)∞+,2例左求函数4)xcos1x(cos)xsin1x(siny22−+++=的值域.解原函数变形52xcotxtan3xcotxtan3xsecxces1xcos1xsin1)xcosx(siny22322222222=+≥++=++=+++=当且仅当xcotxtan=即当4kxπ±π=时)zk(∈等号立故原函数的值域),5[+∞7根判别式法对于形如21112222axbxcyaxbxc++=++1a2a同时0的函数常采用法就是把函数转关于x的一元二次方程二次项系数0时通过方程有实数根而根的判别式大于等于零求得原函数的值域对二次函数或者式函数子或母中有一个是二次都通用但这类题型有时用他方法进行简如闭.112..以以以以以以以以bay型直接用等式性质k+xbxb.y型,先简再用均值等式xmxnx令例y令+xx+xxmxn化y型通常用判别式xmxnxmxn北.y型xn法一用判别式法二用换元法把母替换掉xx令x+令x+令+令令例yx+令令以令令x令x令x令==++==≤′′++=++++=+++−===+−≥−=+++例令求函数2211xxyx++=+的值域解原函数关于x的一元二次方程2(1)10yxxy−−+−=令当1y≠时x∈R2(1)4(1)(1)0yy∆=−−−−解得1322y以当1y=时0x=而13122∈故函数的值域1322评注在解类题的过程中要注意讨论二次项系数是零使用法须在x∈R或仅有个别值个别值是指使母0的值处理方法将它们入方程求出相应的y值若在求出的值域中则应除去y值能取的情况则能使用如求函数2211xxyx++=+(23)x∈的值域则能使用方法例以求函数)x2(xxy−+=的值域.解两边方整理得0yx)1y(2x222=++−令Rx∈0y8)1y(42≥−+=∆解得21y21+≤≤−但时的函数的定域由0)x2(x≥−得2x0≤≤由0≥∆仅保证关于x的方程0yx)1y(2x222=++−在实数集R有实根而能确保实根在区间与代以成即能确保方程令有实根由0≥∆求出的范围能比y的实范围大故能确定函数的值域23,21采取如方法进一确定原函数的值域2x0≤≤0)x2(xxy≥−+=∴21y,0ymin+==∴入方程令解得]2,0[22222x41∈−+=即当22222x41−+=时原函数的值域]21,0[+注由判别式法来判断函数的值域时若原函数的定域是实数集时应综合函数的定域将扩大的部剔除同练8令求函数225851xxyx++=+的值域.以求函数2212+++=xxxy的值域.左函数22813()logaxxbxfx+++=的定域(,)−∞+∞值域[0,2]求,ab的值.巧设函数()22axbyfxx+==+的值域[]51,−求a,b.5已知函数y称f(x)称()01222+++bxcbxx的值域与令,左成,求实数b,化的值.8离常数法对于子母同次的式形式的函数求值域题因子母都有变利用函数单调性确定值域较困难因们采用凑配子的方法