函数的概念及其表示

第4讲PART04函数的概念及其表示课前双基巩固│课堂考点探究│高考易失分练│教师备用例题第4讲考试说明1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．知识聚焦课前双基巩固1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个__________设A，B是两个__________对应关系f：A→B按照某个对应关系f，对于集合A中的_________一个数x，在集合B中都存在_________的数f(x)与之对应按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的_________一个元素x，在集合B中都有_________的元素y与之对应名称称_________为从集合A到集合B的一个函数称对应_________为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B非空数集任意非空集合唯一确定任意唯一确定f：A→Bf：A→B课前双基巩固2.函数的三要素函数由__________、__________和对应关系三个要素构成．在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的__________.与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的________3．函数的表示法函数的常用表示方法：________、_________、________．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的__________，这样的函数通常叫作分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．定义域值域值域定义域解析法图像法列表法对应关系课前双基巩固5．常见函数的定义域(1)分式函数中分母________．(2)偶次根式函数的被开方式______________．(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y＝ax(a0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.(5)y＝tanx的定义域为____________________．(6)函数f(x)＝xa(a0)的定义域为________．不等于零{x|x∈R且x≠0}大于或等于0xx∈R且x≠kπ＋，k∈Z课前双基巩固6．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是________．(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a0时，值域为________；当a0时，值域为________．(3)y＝kx(k≠0)的值域是________．(4)y＝ax(a0且a≠1)的值域是________．(5)y＝logax(a0且a≠1)的值域是________．R{y|y≠0}(0，＋∞)R对点演练课前双基巩固[答案](1)×(2)√(3)×(4)√[解析](1)函数是从非空数集到非空数集的映射．(3)若先化简再求函数的定义域，要注意化简的等价性，本题在x≠0的情况下才相等．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从非空集合A到非空集合B的映射即为从A到B的函数．()(2)函数y＝f(x)的图像与直线x＝a最多有1个交点．()(3)函数f(x)＝11＋1x与g(x)＝x1＋x的定义域相同．()(4)若函数f(x)＝log4x（x0），3x（x≤0），则其定义域、值域均为R.()课前双基巩固2．[教材改编]函数f(x)＝x－4|x|－5的定义域是_____________．[解析]要使函数有意义，则有解得x≥4且x≠5.[答案][4，5)∪(5，＋∞)课前双基巩固3．[教材改编]若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(x)＝________．[答案]x2－4x＋3[解析]由题意得解得∴f(x)＝x2－4x＋3.课前双基巩固4．[教材改编]图2­4­1中的图像所表示的函数的解析式为__________________．图2­4­1[答案]y＝[解析]由待定系数法设函数的解析式为y＝ax＋b，当0≤x≤1时，由解得当1x≤2时，由解得故函数的解析式为y＝课前双基巩固5．已知函数f(x)＝x2＋6x＋a，x0，10x，x≥0，若f(0)＋f(－1)＝3，则实数a的值等于()A．7B．9C.2910D．8[答案]A[解析]由f(0)＝1，f(－1)＝a－5，依题意得1＋a－5＝3，解得a＝7.考点一函数的定义域课堂考点探究例1(1)[2016·全国卷Ⅱ]下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是()A．y＝xB．y＝lgxC．y＝2xD．y＝1x(2)函数f(x)＝1（log2x）2－1的定义域为()A.0，12B．(2，＋∞)C.0，12∪(2，＋∞)D.0，12∪[2，＋∞)[思路点拨](1)先求出已知函数的定义域和值域，再对比选项；(2)复合函数有意义要使分母不为零、二次根式的被开方式大于等于零、真数大于零的条件同时成立．考向一求给定函数解析式的定义域课堂考点探究[答案](1)D(2)C[解析](1)y＝10lgx＝x，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有选项D满足题意．(2)根据题意得解得故选C.课堂考点探究[总结反思]求给定函数解析式的定义域，其实就是以函数解析式所含意义(分母不为零、偶次根式的被开方式大于或等于零、真数大于零)为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．课堂考点探究变式题[2016·江苏卷]函数y＝3－2x－x2的定义域是________．[答案][－3，1][解析]令3－2x－x2≥0可得x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，故所求函数的定义域为[－3，1]．课堂考点探究例2已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为()A．(－1，1)B.－1，－12C．(－1，0)D.12，1[思路点拨]令－12x＋10，求出x的取值范围即可．考向二求抽象函数的定义域课堂考点探究[答案]B[解析]因为函数f(x)的定义域为(－1，0)，所以－12x＋10，解得－1x－12，故选B.课堂考点探究[总结反思]已知f(x)的定义域是[a，b]，求y＝f[g(x)]的定义域，指的是满足a≤g(x)≤b时x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]．课堂考点探究变式题若函数y＝f(x)的定义域为[0，2]，则函数g(x)＝f（2x）x－1的定义域是()A．[0，1]B．[0，1)C．[0，1)∪(1，4]D．(0，1)[答案]B[解析]依题意得解得0≤x1，所以定义域为[0，1)．课堂考点探究例3若函数f(x)＝2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为________．[思路点拨]因为f(x)的定义域为R，所以问题可转化为二次函数的最小值大于等于零来解决．考向三已知定义域求参数范围课堂考点探究[答案][－1，0][解析]因为函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥20，即x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.课堂考点探究[总结反思]根据所给定义域，将问题转化为含参数的不等式(组)，进而求得参数的取值范围．课堂考点探究变式题若函数f(x)＝log2(ax2－ax＋1)的定义域为R，则a的取值范围为________．[答案][0，4)[解析]当a＝0时，ax2－ax＋1＝10，符合题意；当a0时，Δ＝a2－4a0，解之得0a4；当a0时，不符合题意．综上可得0≤a4.考点二函数的解析式课堂考点探究例4(1)已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)满足2f(x)＋f1x＝3x，求f(x)；(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．[思路点拨](1)利用换元思想将x＋1看成一个整体代入即可；(2)题目条件中涉及f(x)，f1x两个未知量，借助于方程组思想解决即可；(3)求二次函数的解析式主要利用待定系数法．课堂考点探究解：(1)方法一(换元法)：设x＋1＝t，则x＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，即f(t)＝t2＋2t－2，∴所求函数为f(x)＝x2＋2x－2.方法二(配凑法)：f(x＋1)＝x2＋4x＋1＝(x＋1)2＋2(x＋1)－2，∴所求函数为f(x)＝x2＋2x－2.(2)2f(x)＋f1x＝3x，①将①中的x换成1x，得2f1x＋f(x)＝3x，②①×2－②得3f(x)＝6x－3x，∴f(x)＝2x－1x.课堂考点探究(3)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，∴f(x)＝ax2＋bx.又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，∴解得a＝b＝12.故f(x)＝12x2＋12x.课堂考点探究[总结反思]求函数解析式的常用方法：(1)配凑法：由已知条件f[g(x)]＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后用x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)方程思想：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，组成方程组，通过解方程组求出f(x)．课堂考点探究变式题[2017·甘肃平凉测试]已知f(x)是－次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)，f(x＋1)的解析式．解：由题意设f(x)＝ax＋b(a≠0)．∵f(x)满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，化简得ax＋(5a＋b)＝2x＋17，∴a＝2，5a＋b＝17，解得故f(x)＝2x＋7，则f(x＋1)＝2(x＋1)＋7＝2x＋9.考点三函数的表示方法(解析式、图像、列表)课堂考点探究例5如图2­4­2所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD中，图2­4­2底边BC的长为7cm，腰长为22cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图像．课堂考点探究解：过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝22cm，所以BG＝AG＝DH＝HC＝2cm.又BC＝7cm，所以AD＝GH＝3cm.①当点F在BG上，即x∈[0，2]时，y＝12x2；②当点F在GH上，即x∈(2，5]时，y＝x＋（x－2）2×2＝2x－2；课堂考点探究③当点F在HC上，即x∈(5，7]时，y＝12×(7＋3)×2－12(7－x)2＝－12(x－7)2＋10.综合可知，函数解析式为y＝函数的图像如图所示．课堂考点探究[总结反思]把函数的图像与解析式两种表示方法有机结合起来，对解决相关函数的问题往往会起到事半功倍的效果．课堂考点探究变式题某城市的出租车起步价为10元，最长可租乘3km(含3km)，以后每1km增加1.6元(不足1km，按1km计费)，若出租车行驶在不需等待的公路上，则出租车的费用y(元)与行驶的路程x(km)之间的函数图像大致为()图2­4­3[答案]C[解析]由题意知，当0＜x≤3时，y＝10；当3＜x≤4时，y＝11.6；当4＜x≤5时，y＝13.2；…；当n－1＜x≤n(n∈N＋)时，y＝10＋(n－3)×1.6.故选C.考点四分段函数课堂考点探究例6(1)[2