误差理论与数据处理6版(第3章误差的合成与分配1),机械

第3章误差的合成与分配第一节函数误差任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量过程中各个环节一系列误差因素共同作用的结果。如何正确地分析和综合这些误差因素，并正确地表述这些误差的综合影响，这就是误差合成要研究的基本内容。前面所讨论的主要是直接测量的误差计算，但在有些情况下，由于被测对象的特点，不能进行直接测量，或者直接测量难以保证测量精度，需要采用间接测量。间接测量通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量。函数误差间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数，故称这种误差为函数误差。研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递问题，而对于这种具有确定关系的误差计算，也有称之为误差合成。一、函数系统误差计算第一节函数误差间接测量的数学模型12(,,...,)nyfxxx与被测量有函数关系的各个直接测量值y间接测量值12,,,nxxx求上述函数y的全微分，其表达式为：nndxxfdxxfdxxfdy2211若已知各个直接测量值的系统误差Δx1,Δx2,…,Δxn,由于这些误差皆较小,可用来近似代替上式中相应微分量dx1,dx2,…,dxn,则有和的量纲或单位不相同，则起到误差单位换算的作用和的量纲或单位相同，则起到误差放大或缩小的作用由y的全微分，函数系统误差的计算公式y1212...nnfffyxxxxxx为各个直接测量值的误差传递系数,也称灵敏系数(1,2,,)ifxin12(,,,)nxxxixyifxixyifx第一节函数误差几种简单函数的系统误差1、线性函数1122...nnyaxaxax1122...nnyaxaxax12...nyxxx1ia2、三角函数形式12sin,,...,nfxxx11cosniiifxx12cos,,...,nfxxx11sinniiifxx系统误差公式当当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和第一节函数误差1212...nnfffyxxxxxx),,,(tan21nxxxfiniixxf12cos),,,(cot21nxxxfiniixxf12sin【例3-1】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高h=50mm，弦长l=500mm。已知，弓高的系统误差h=-0.1mm,弦长的系统误差l=1mm.试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果.【解】建立间接测量大工件直径的函数模型,用勾股定理有24lDhhD2lh不考虑测量值的系统误差，可求出在处的直径测量值50mmh500mml201300mm4lDhh第一节函数误差直径的系统误差:7.4mmffDlhlh50052250fllh222250011244450flhh修正后的测量结果:013007.41292.6mmDDD误差传递系数为:第一节函数误差24lDhh1212...nnfffyxxxxxx根据和求得已知h=-0.1mm,l=1mm,代入则得计算结果说明,l和h的对D的综合影响是使得间接测量的D值1300mm大于应有值,故消除l和h的影响二、函数随机误差计算第一节函数误差数学模型12(,,...,)nyfxxx变量中只有随机误差泰勒展开，并取其一阶项作为近似值函数的一般形式1122(,,,)nnyyfxxxxxx121212(,,...,)nnnfffyyfxxxxxxxxx得到1212nnfffyxxxxxx即：可得：第一节函数误差随机误差可用表征其取值分散程度的标准差来评定，对于函数的随机误差，也是用函数的标准差来进行评定。因此，函数随机误差计算，重点研究函数y的标准差与各直接测量值x1,x2,…,xn的标准差之间的关系。12(,,...,)nyfxxx函数的一般形式为求得函数的标准差公式，设对各个测量值皆进行了N次等精度测量，其相应的随机误差为将右侧方程组中的每个方程两边平方,可得第一节函数误差可得函数标准差将方程组两边相加可得将上式等号两边除以N,根据2222222121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx函数标准差计算公式或第i个直接测得量的标准差xiix第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数ij第i个测量值和第j个测量值之间的协方差第i个直接测得量xi的误差传递系数ifx第一节函数误差2222222121122nyxxxnijijnijfffffDxxxxxKijxjxiijNmjmimijNxxK1NxxKNmjmimij122222221212yxxxnnfffxxx2222221212yxxxnnfffxxx或0ijijD相互独立的函数标准差计算若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项iifax令2222221122yxxnxnaaa第一节函数误差则当各个测量值的随机误差都为正态分布时,标准差用极限误差代替(不至于混淆时,用δ代替δlim),可得函数的极限误差公式第i个直接测得量的极限误差xiixKij2222221122yxxnxnaaa=±三角形式的函数随机误差公式2222222121cos1xnnxxxfxfxf2222222121sin1xnnxxxfxfxf1）正弦函数形式为:函数随机误差公式为：第一节函数误差nxxxf,,,sin212）余弦函数形式为:函数随机误差公式为：nxxxf,,,cos21三角函数标准差计算3）正切函数形式为:函数随机误差公式为：nxxxf,,,tan2122222221212cosxnnxxxfxfxf4）余弦函数形式为:函数随机误差公式为：nxxxf,,,cot2122222221212sinxnnxxxfxfxf2222221212yxxxnnfffxxx第一节函数误差例3-2对例3-1用弓高弦长法间接测量大直径D若已知根据前面推导,求得直径的极限误差为则所求直径D的最后结果为+相关系数对函数误差的影响2222222121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx反映了各随机误差分量(直接测量值)相互间的线性关联对函数总误差的影响,-1≤ρij≤12222221122yxxnxnaaa1122yxxnxnaaa0ij1ij函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系函数随机误差公式ij当相关系数时(误差分量间线性无关)当相关系数时(误差分量间完全正相关)2、相关系数估计第一节函数误差Kij相关系数的确定可判断的情形0ij断定两分量之间没有相互依赖关系的影响当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈无规律正负交替变化，反之亦然两分量属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不计的弱相关1、直接判断法第一节函数误差可判断或的情形两分量间近似呈现正的线性关系或负的线性关系当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小，反之亦然两分量属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺，则各米分量间完全正相关1ij1ij第一节函数误差2、试样观察法和简略计算法（1）观察法用多组测量的两误差对应值(ξi,ηi)作图，将它与标准图形相比，看它与哪一图形相近，从而确定相关系数的近似值。第一节函数误差（2）简单计算法将多组测量的对应值(ξi,ηi)在坐标上作图，然后作平行于纵轴的直线A将点阵左右均分，再作平行于横轴的直线B将点阵上下均分，于是将点阵分为四部分，设各部分的点数分别为n1,n2,n3,n4,则可证明相关系数为n2n3n4n10nnn31cos其中，4321nnnnn（3）直接计算法按相关系数定义（4）理论计算法有些误差间的相关系数，可根据概率论和最小二乘法直接求出。第二节随机误差的合成任何测量结果中包含的测量误差都是测量过程中各个环节一系列误差因素作用的结果.误差合成就是在正确地分析和综合这些误差因素的基础上,正确地表述这些误差的综合影响。标准差合成极限误差合成随机误差具有随机性,用标准差或极限误差表征其取值的分散程度。解决随机误差的合成问题一般基于标准差方和根合成的方法，其中还要考虑到误差传播系数以及各个误差之间的相关性影响。随机误差的合成形式包括：一、标准差合成合成标准差表达式:211()2qqiiijijijiijaaaq个单项随机误差，标准差12,,,q误差传递系数12,,,qaaa由间接测量的显函数模型求得根据实际经验给出知道影响测量结果的误差因素而不知道每个和iiiyaiaiiiafx第二节随机误差的合成当误差传播系数、且各相关系数均可视为0的情形第二节随机误差的合成若各个误差互不相关，即相关系数21()qiiia21qii0ij1ia则合成标准差用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，均可计算出总的标准差视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲的分量二、极限误差合成单项极限误差:σi单项随机误差的标准差ti单项极限误差的置信系数合成极限误差:σ合成标准差t合成极限误差的置信系数第二节随机误差的合成合成极限误差计算公式qitxiiii,2,1limt211()2qqiiijijijiijaaa根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成各个置信系数ti、t不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同第二节随机误差的合成ij为第i个和第j个误差项之间的相关系数，可根据前一节的方法确定。应用极限误差合成公式时，应注意：0ij1ia当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项误差的数目q较多、各项误差大小相近时，此时合成的总误差接近于正态分布合成极限误差：若和各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，所以上式