复合函数的零点问题

复合函数的零点问题I．题源探究·黄金母题【例1】设函数1,0,()11,11xxaafxxaxa（a为常数且0,1a）．若0x是ffxx的零点但不是fxx的零点，则称0x为()fx的二阶周期点，求函数()fx的二阶周期点．【答案】函数()fx有且仅有两个二阶周期点，121axaa，2211xaa．【解析】2222221,0,1(),,(1)(())1(),1,(1)1(1),11.(1)xxaaaxaxaaaffxxaaxaaaxaaxaa当20xa时，由21xxa解得0x，由于00f，故0x不是fx的二阶周期点；当2axa时，由1()(1)axxaa解得21axaa2(,),aa因222211()1111aaafaaaaaaaaa，故21axaa是()fx的二阶周期点；当21axaa时，由21()(1)xaxa解得12xa2(,1)aaa，因精彩解读【试题来源】2013年高考江西卷改编．【母题评析】本题以新定义的形式考查复合函数、分段函数的零点，难度较大．新定义（信息题）是近几年来高考的一个热点．【思路方法】理解定义，写出复合函数的解析式，再利用函数与方程思想、分类分类讨论思想、数形结合思想解题．111112122faaaa故12xa不是()fx的二阶周期点；当211aax时，1(1)(1)xxaa解得211xaa2(1,1)aa，因22221111()(1)11111afaaaaaaaaa，故211xaa是()fx的二阶周期点．综上：函数()fx有且仅有两个二阶周期点，121axaa，2211xaa．II．考场精彩·真题回放【例2】【2017年高考江苏卷】设()fx是定义在R且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,xxDfxxxD其中集合1,*nDxxnnN，则方程()lg0fxx的解的个数是▲．【答案】8【解析】由于()[0,1)fx，则需考虑110x的情况在此范围内，xQ且xZ时，设*,,,2qxpqppN，且,pq互质若lgxQ，则由lg(0,1)x，可设*lg,,,2nxmnmmN，且,mn互质因此10nmqp，则10()nmqp，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lgxQ因此lgx不可能与每个周期内xD对应的部分相等，只需考虑lgx与每个周期xD的部分的交点，画出函数图象，【命题意图】本题主要考查复合函数的零点．本题能较好的考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，综合性强，难度大．【难点中心】解答此类问题，关键在于“抽茧剥丝”，把复合函数问题转化为单函数问题，准确作出函数图象，利用图象解决问题．图中交点除1,0外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期xD的部分，且1x处11lg1ln10ln10xx，则在1x附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8．【例3】【2015年高考天津】已知函数22,2,2,2,xxfxxx函数2gxbfx，其中bR，若函数yfxgx恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．7,4B．7,4C．70,4D．7,24【答案】D．【解析】由22,2,2,2,xxfxxx得222,0(2),0xxfxxx，222,0()(2)42,0222(2),2xxxyfxfxxxxxxx，即222,0()(2)2,0258,2xxxyfxfxxxxx()()()(2)yfxgxfxfxb，所以yfxgx恰有4个零点等价于方程()(2)0fxfxb有4个不同的解，即函数yb与函数()(2)yfxfx的图象的4个公共点，由图象可知724b．864224681510551015III．理论基础·解题原理1．复合函数定义：设yft，tgx，且函数gx的值域为ft定义域的子集，那么y通过t的联系而得到自变量x的函数，称y是x的复合函数，记为yfgx．2．复合函数函数值计算的步骤：求ygfx函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值．例如：已知22,xfxgxxx，计算2gf．【解析】2224f，2412gfg．3．已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x的值．例如：已知2xfx，22gxxx，若0gfx，求x．由上例可得，要想求出0gfx的根，则需要先将fx视为整体，先求出fx的值，再求对应x的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义．4．函数的零点：设fx的定义域为D，若存在0xD，使得00fx，则称0xx为fx的一个零点．5．复合函数零点问题的特点：考虑关于x的方程0gfx根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于fx的方程，观察有几个fx的值使得等式成立；第二层是结合着第一层fx的值求出每一个fx被几个x对应，将x的个数汇总后即为0gfx的根的个数．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般综合性强，难度大．【技能方法】求解复合函数ygfx零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出,fxgx的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于fx的方程0gfx中fx解的个数，再根据个数与fx的图像特点，分配每个函数值ifx被几个x所对应，从而确定ifx的取值范围，进而决定参数的范围．【易错指导】1．函数零点—忽视单调性的存在．例如：若函数f(x)在区间[－2，2]上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(－2，2)内有一个零点，则f(－2)·f（2）的值()A．大于0B．小于0C．等于0D．不能确定解答：若函数f(x)在(－2，2)内有一个零点，该零点可分两种情况：（1）该零点是变号零点，则f(－2)·f（2）0；（2）该零点是非变号零点，则f(－2)·f（2）0，因此选D．易错警示：警示1：错误认为该零点是变号零点；警示2：不知道非变号零点这种情况．方法剖析：方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处函数值的正负，作出正确判断．本题的解答错误在于没有正确理解函数零点的含义及存在性，事实上，当f(x)在(－2，2)内有一个零点时，f(－2)·f（2）的符号不能确定．2．要注意对于在区间[a，b]上的连续函数f(x)，若x0是f(x)的零点，却不一定有f(a)·f(b)0，即f(a)·f(b)0仅是f(x)在[a，b]上存在零点的充分条件，而不是必要条件．注意以下几点：①满足零点存在性定理的条件的零点可能不唯一；②不满足零点存在性定理条件时，也可能有零点．③由函数)(xfy在闭区间,ab上有零点不一定能推出)(af·)(bf0，如图所示．所以)(af·)(bf0是)(xfy在闭区间,ab上有零点的充分不必要条件．注意：①如果函数在区间,ab上的图象是连续不断的曲线，并且函数在区间,ab上是一个单调函数，那么当)(af·)(bf0时，函数在区间),(ba内有唯一的零点，即存在唯一的(,)cab，使0)(cf．②如果函数在区间,ab上的图象是连续不断的曲线，并且有)(af·)(bf0，那么，函数在区间),(ba内不一定没有零点．③如果函数在区间,ab上的图象是连续不断的曲线，那么当函数在区间),(ba内有零点时不fxfxfxfxfxfxfx一定有)(af·)(bf0，也可能有)(af·)(bf0．V．举一反三·触类旁通【例1】【2018四川绵阳一诊】函数满足，且当时，．若函数的图象与函数（，且）的图象有且仅有4个交点，则的取值集合为（）A．B．C．D．【答案】C【例2】【2018南宁高三毕业班摸底联考】设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得函数f(x)的对称轴为x=2，周期为T=4，原方程变形为，，所以只需画出，两个函数在区间(-2，6)的图像，根据图像求a的范围，图像如下，一定过（-1，0）点，当时，显然只有一个交点，所以，只需要对数从点B，点C下面穿过就有4个零点，所以解得，选D．【点睛】对于求不同类的两个函数构成的方程，我们常把方程变形为f(x)=g(x)，然后根据y=f(x)与y=g(x)的两个图像交点个数来判断原方程根的个数．如本题把方程变形为，再画出两个函数的图像，根据两个图像有4个交点，求出参数a的范围．【例3】【2018河南天一大联考】已知函数若关于的方程有3个实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】作图如下：因此要使方程有3个，实数的取值范围是，选D．【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．【例4】【2018广西桂林柳州高三综合模拟】已知函数3log,03{4,3xxfxxx，若函数2hxfxmx有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．1,12B．1,1,2C．1,1,2D．1,12【答案】AA（0，﹣2），B（3，1），C（4，0），则g（x）的图象介于直线AB和AC之间，介于kAB＜m＜kAC，可得12＜m＜1．故答案为：（12，1）．点睛:函数h（x）=f（x）﹣mx+2有三个不同的零点，即为f（x）﹣mx+2=0有三个不同的实根，可令y=f（x），y=g（x）=mx﹣2，分别画出y=f（x）和y=g（x）的图象，通过图象观察，结合斜率公式，即可得到m的范围．【例5】【2018广东珠海一中等六校第一次联考】已知函数222,12{log1,1xxfxxx，则函数322Fxffxfx的零点个数是（）A．4B．5C．6D．7【答案】A【解析】解：令t=f（x），F（x）=0，则f（t）﹣2t﹣32=0，【名师点睛】本题关键是找出内外层函数的对应关系，找准一个t对应几个x．【例6】【2018安徽阜阳临泉一中上学期二模】已知，若关于的方程恰好有个不相等的实数根，则实数的取值范围是______________．【答案】【解析】∵，∴，∴∴当或时，，当时，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增可作出大致函数图象如图所示：令，则当时，方程有一解；当时，方程有两解