实际问题中的解三角形问题-高三数学一轮复习热点难点突破

考纲要求:1.能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．2.研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．常见的命题角度有：(1)两点都不可到达；(2)两点不相通的距离；(3)两点间可视但有一点不可到达．基础知识回顾:1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图(a))．图(a)图(b)2．方位角：从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图(b))．3．方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．4.asinA＝bsinB＝csinC＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.5．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．变形：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.6.在△ABC中，已知a，b和A解三角形时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解7.三角形常用的面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA＝abc4R.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．应用举例:类型一、测量高度问题【例1】【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试】如图，一山顶有一信号塔CD（CD所在的直线与地平面垂直），在山脚A处测得塔尖C的仰角为，沿倾斜角为的山坡向上前进l米后到达B处，测得C的仰角为.（1）求BC的长；（2）若24l，45，75，30，求信号塔CD的高度.【答案】(1)sinsinBCl；(2)2483.【例2】要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求电视塔的高度．【答案】106【解析】如图，设电视塔AB高为xm，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，则BD＝3x.在△BDC中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，所以电视塔高为40m.点评：求解高度问题应注意的3个问题类型二、测量距离问题研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．常见的命题角度有：(1)两点都不可到达；(2)两点不相通的距离；(3)两点间可视但有一点不可到达．【例3】【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试】如图，三个警亭有直道相通，已知在的正北方向6千米处，在的正东方向千米处.（1）警员甲从出发，沿行至点处，此时，求的距离；（2）警员甲从出发沿前往，警员乙从出发沿前往，两人同时出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度为6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系，乙到达后原地等待，直到甲到达时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过9千米，试问两人通过对讲机能保持联系的总时长？【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）在中，，，，然后由正弦定理可得BP，（2）甲从C到A，需要4小时，乙从A到B需要1小时．设甲、乙之间的距离为，要保持通话则需要．当时，当时，分别求得对应的时长在求和即得到结论.解：（1）在中，，，由正弦定理，，即，故的距离是9－3千米．，即，解得，又所以，时长为3小时．3＋＝（小时）．答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是小时．点睛：考查正弦定理解三角形的应用以及对实际应用的分析问题和解决的能力，属于中档题.【例4】【上海市2018年5月高考模练习（一）】钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图:点分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点在点的北偏东方向，点在点的南偏西方向，点在点的南偏东方向，且两点的距离约为3海里.(1)求两点间的距离；(精确到0.01)(2)某一时刻，我国一渔船在点处因故障抛锚发出求教信号.一艘国舰艇正从点正东10海里的点处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为(直线行进)，而我东海某渔政船正位于点南偏西方向20海里的点处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点处，再折向点直线航行，航速为22海里/小时.渔政船能否先于国舰艇赶到进行救助?说明理由.【答案】（1）14.25（2）渔政船能先于国舰艇赶到进行救助.【例5】如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出AB的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC＝60m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________m.【答案】2007m.点评：求距离问题的2个注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．类型三、测量角度问题【例6】【河北省邯郸市2017-2018学年高二下学期期末考试】如图,某军舰艇位于岛的的正西方处,且与岛的相距12海里.经过侦察发现,国际海盗船以10海里/小时的速度从岛屿出发沿北偏东30°方向逃窜,同时,该军舰艇从处出发沿北偏东的方向匀速追赶国际海盗船,恰好用2小时追上.（1）求该军舰艇的速度.（2）求的值.【答案】（1）14海里/小时；（2）.点睛：与解三角形相关的实际问题中，我们常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它们的差别.另外，把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定理去解决.【例7】如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．【答案】2114.点评：解决测量角度问题的3个注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．方法、规律归纳:1.三角形中常见的结论(1)A＋B＋C＝π.(2)在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB⇔cosA＜cosB.(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)三角形内的诱导公式：sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sinA＋B2＝cosC2；cosA＋B2＝sinC2.(6)在△ABC中，A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°.(7)△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列．2.判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．（2）利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．3.三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．实战演练:1．【东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学2017届高三下学期第四次联合模拟考试】如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东001515BAC方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东060方向上，此时测得山顶P的仰角060，若山高为23千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？【答案】（1）航行速度是每小时631千米.（2）山顶位于D处南偏东0135.所以231AB，船的航行速度是每小时631千米.（2）在BCD中，由余弦定理得：6CD，在BCD中，由正弦定理得：2sinsinsin2CDBCDBDBCCDB,所以，山顶位于D处南偏东0135.2．【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末考试】我校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S（平方米）的AMPN矩形健身场地，如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知60ACB，30AC米，AMx米，10,20x.设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为37kS元，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为12kS元（k为正常数）（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）求总造价T关于面积S的函数TfS;（3）如何选取AM，使总造价T最低（不要求求出最低造价）【答案】(1)20032253S(2)选取AM的长为12米或18米时总造价T最低137TkS，又ABC的面积为4503,即草坪造价2124503kTSS，写出总造价即可；（3）根据均值不等式21631263SS即可求出造价的最小值.（2）矩形AMPN健身场地造价137TkS又ABC的面积为4503,即草坪造价2124503kTSS,由总造价122163,25,20032253TTTTkSSS(3)21631263SS当且仅当2163SS即2163S时等号成立，此时，3302163xx解得12x或18x答：选取AM的长为12米或18米时总造价T最低.3．【江西省南昌市2018届高三第一轮复习训练题数学（四）】（Ⅰ）利用正余弦函数的定义和向量知识证明：coscoscossinsin；（Ⅱ）如下三图，四边形ABCD是由两个斜边长为x的直角三角形拼成，其面积为1，89,31.BADBACTUV是斜边长为x的直角三角形，63,.TUVTVy四边形PQRS是平行四边形，其中,,,PQyPSxQPSa其面积为2，求a的值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)89或91.(Ⅱ)在图1中可得cos31,sin31,sin32,cos32.ABxBCxADxCDx再由四边形的面积为1，2221141sin62sin6444cos26cos28xxx由coscoscossinsincoscoscossinsin得1coscoscoscos22000042coscos2coscos,22cos26cos28cos1cos27ABABx002cos1cos27x.在图2中得2cos27cos1y在图3中得22sinsinsinsin89sin91cos1xyaaa又8991.a或4．在一水域上建一个演艺广场.演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成（如图）.看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面