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-1-高中数学必修4知识点第一章三角函数正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、象限的角:在直角坐标系内,顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,角的终边落在第几象限,就是第几象限的角;角的终边落在坐标轴上,这个角不属于任何象限,叫做轴线角。第一象限角的集合为36036090,kkk第二象限角的集合为36090360180,kkk第三象限角的集合为360180360270,kkk第四象限角的集合为360270360360,kkk终边在x轴上的角的集合为180,kk终边在y轴上的角的集合为18090,kk终边在坐标轴上的角的集合为90,kk3、与角终边相同的角,连同角在内,都可以表示为集合{Zkk,360|}4、弧度制:(1)定义:等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用弧度做单位叫弧度制。半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l,则角的弧度数的绝对值是lr.(2)度数与弧度数的换算:2360o,180rad,1rad'185730.57)180(注:角度与弧度的相互转化:设一个角的角度为on,弧度为;①角度化为弧度:180180nnnooo,②弧度化为角度:oo180180(3)若扇形的圆心角为(是角的弧度数),半径为r,则:弧长公式:,180(用度表示的)nl(用弧度表示的)rl||;扇形面积:)(3602用度表示的扇rnslrrS21||212扇(用弧度表示的)-2-5、三角函数:(1)定义①:设是一个任意大小的角,的终边上任意一点的坐标是,xy,它与原点的距离是220rOPrxy,则sinyr,cosxr,tan0yxx定义②:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么v叫做α的正弦,记作sinα,即sinαy;u叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x;当α的终边不在y轴上时,xy叫做α的正切,记作tanα,即tanα=xy.(2)三角函数值在各象限的符号:口诀:全正,S正,T正,C正。口诀:第一象限全为正;二正三切四余弦.(3)特殊角的三角函数值的角度030456090120135150180的弧度06432324365sin021222312322210cos123222102122231tan03313不存在31330的角度210225240270300315330360的弧度6745342335476112sin21222312322210cos23222102122231tan3313不存在31330P(x,y)yxosinxy++__Oxy++__cosOtanxy++__OP(x,y)yxo-3-(4)三角函数线:如下图(5)同角三角函数基本关系式(1)平方关系:1cossin22(2)商数关系:cossintan6、三角函数的诱导公式:1sin2sink,cos2cosk,tan2tankk.口诀:终边相同的角的同一三角函数值相等.2sinsin,coscos,tantan.3sinsin,coscos,tantan.4sinsin,coscos,tantan.5sin2sin,cos2cos,tan2tan.口诀:函数名称不变,正负看象限.6sincos2,cossin2,tancot2.7sincos2,cossin2,tancot2.口诀:正弦与余弦互换,正负看象限.诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”。即将括号里面的角拆成2k的形式。-4-7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:函数sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2xxkk值域值域:1,1当22xkk时,max1y;当22xkk时,min1y.值域:1,1当2xkk时,max1y;当2xkk时,min1y.值域:R既无最大值也无最小值周期性sinyx是周期函数;周期为2,TkkZ且0k;最小正周期为2cosyx是周期函数;周期为2,TkkZ且0k;最小正周期为2tanyx是周期函数;周期为,TkkZ且0k;最小正周期为奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kkk上是增函数;在32,222kkk上是减函数.在2,2kkk上是增函数;在2,2kkk上是减函数.在,22kkk上是增函数.对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴xkk对称中心,02kk无对称轴-5-8、(1)sinyxb的图象与xysin图像的关系:①振幅变换:xysinxAysin②周期变换:xysinxysin③相位变换:xysin)sin(xy④平移变换:)sin(xAysinyxb注:函数xysin的图象怎样变换得到函数sinyAxB的图象:(两种方法)①先平移后伸缩:sinyx平移||个单位sinyx(左加右减)纵坐标不变)sin(xy横坐标变为原来的1||倍横坐标不变sinyAx纵坐标变为原来的A倍平移||B个单位sinyAxB(上加下减)②先伸缩后平移:sinyx纵坐标不变xysin横坐标变为原来的1||倍平移个单位)sin(xy(左加右减)横坐标不变sinyAx纵坐标变为原来的A倍平移||B个单位sinyAxB图象整体向左(0)或向右(0)平移个单位图象上每个点的横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍图象上每个点的横坐标变为原来的1倍,纵坐标不变图象整体向上(0b)或向下(0b)平移b个单位-6-(上加下减)(2)函数)0,0()sin(AbxAy的性质:①振幅:;②周期:2;③频率:12f;④相位:x;⑤初相:.定义域:R值域:,AbAb当22xkk时,maxyAb;当22xkk时,minyAb.周期性:函数)0,0()sin(AbxAy是周期函数;周期为2T单调性:x在2,222kkk上时是增函数;x在32,222kkk上时是减函数.对称性:对称中心为,0kk;对称轴为x2kk第二章平面向量1、向量定义:既有大小又有方向的量叫做向量,向量都可用同一平面内的有向线段表示.2、零向量:长度为0的向量叫零向量,记作0;零向量的方向是任意的.3、单位向量:长度等于1个单位长度的向量叫单位向量;与向量a平行的单位向量:||aae.4、平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量,记作ba//;规定0与任何向量平行.5、相等向量:长度相同且方向相同的向量叫相等向量,零向量与零向量相等.注意:任意两个相等的非零向量,都可以用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关。6、向量加法运算:⑴三角形法则的特点:首尾相接⑵平行四边形法则的特点:起点相同baCabCC-7-⑶运算性质:①交换律:abba;②结合律:abcabc;③00aaa.⑷坐标运算:设11,axy,22,bxy,则1212,abxxyy.7、向量减法运算:⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.⑵坐标运算:设11,axy,22,bxy,则1212,abxxyy.设、两点的坐标分别为11,xy,22,xy,则2121,xxyy.8、向量数乘运算:⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a.①aa;②当0时,a的方向与a的方向相同;当0时,a的方向与a的方向相反;当0时,0a.⑵运算律:①aa;②aaa;③abab.⑶坐标运算:设,axy,则,,axyxy.9、向量共线定理:向量0aa与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使ba.设11,axy,22,bxy,其中0b,则当且仅当12210xyxy时,向量a、0bb共线.10、平面向量基本定理:如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1、2,使1122aee.(不共线的向量1e、2e作为这一平面内所有向量的一组基底)11、分点坐标公式:设点是线段12上的一点,1、2的坐标分别是11,xy,22,xy,当12时,点的坐标是1212,11xxyy.12、平面向量的数量积:-8-⑴定义:cos0,0,0180ababab.零向量与任一向量的数量积为0.⑵性质:设a和b都是非零向量,则①0abab.②当a与b同向时,abab;当a与b反向时,abab;22aaaa或aaa.③abab.⑶运算律:①abba;②ababab;③abcacbc.⑷坐标运算:设两个非零向量11,axy,22,bxy,则1212abxxyy.若,axy,则222axy,或22axy.设11,axy,22,bxy,则12120abxxyy.设a、b都是非零向量,11,axy,22,bxy,是a与b的夹角,则121222221122cosxxyyababxyxy.第三章三角恒等变形1、同角三角函数基本关系式(1)平方关系:1cossin22(2)商数关系:cossintan(3)倒数关系:1cottan222tan1tansin;22tan11cos注意:tan,cos,sin按照以上公式可以“知一求二”2、两角和与差的正弦、余弦、正切)(S:sincoscossin)sin()(S:sincoscossin)sin()(C:sinsincoscos)cos(a)(C:sinsincoscos)cos(a)(T:tantan1tantan)tan(
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