数列高考复习专题

高考数学复习专题数列2018-3-L数列1.知识2.问题3.方法2一、数列基础知识一般数列：一般数列}{na前n项和nS与通项na关系：)2......()1......(11nSSnSannn注：①注意分类考虑，当111San时，，而当12nnnSSan时，时，归纳通项)(Nnan时，要看1a能否统一到一般式1nnnSSa中；②关系式)2(1nSSannn的正用与逆用，途径一：作差法，消去和项)(1nnSS或转化为通项na（逆用）；途径二：代入法，消去通项na转化为和项)(1nnSS或（正用）。特殊数列：等差数列①dnaan)1(1，)(Nn，dmnaamn)()(Nnmnmaadnm、②dnnnadnnnaaanSnnn2)1(2)1(2)(11③bdnan，ndandSn)2(212hndnSn2特殊数列：等差数列性质足码和特征、和项特征、奇偶项和特征特殊数列：等比数列特殊数列：等比数列性质足码和特征、和项特征、奇偶项和特征(1)基本关系：qaann1，nnnnaaaa11；mnmnnqaqaa11，mnmnaaq（2）若)(Ntsnmtsnm、、、，则tsnmaaaa；特别的,当)(2Nknmknm、、时,得2knmaaa注：...23121nnnaaaaaa二、数列基本问题Ⅰ.选择填空题问题类型1、数列递推问题：通项与前n项和问题2、等差数列、等比数列3、等差数列、等比数列性质应用4、数列中最值问题5、非常规数列问题6、新定义问题Ⅱ.解答题问题类型1、求通项或数列中的某项2、求数列前项和或数列中若干项和3、含参数数列问题，求参数值或取值范围4、证明问题：证明数列为等差或等比数列；证明数列具有特殊特征性；证明关于通项或和项的等式成立；★证明不等式成立5、数列递推问题：两项、三项或若干项递推、或连续项递推6、探索性问题：二、数列基本方法1、方程（组）思想、函数思想2、代入法，因式分解降次法3、待定系数法4、分类讨论思想5、化归转换思想★6、不等式放缩应用数列问题探究-典型例举1、一般数列求通项的分类讨论【题例】（2015-山东）已知数列}{na的前n项和为nS，且332nnS（1）求}{na的通项公式（2）若数列}{nb满足nnnaba3log，求}{nb的前n项和3,111San当113,2nnnnSSan当令1111133,1ann{1,32,31nnnna数列问题探究-典型例举3,111San当113,2nnnnSSan当令1111133,1ann{1,32,31nnnna数列问题：2、一般数列通项递推的应用（关于Sn--an）已知na是各项都为正数的数列，其前n项和为nS，且nS为na与na1的等差中项（1）求证，数列}{2nS为等差数列；（2）设nnnab)1(，求}{nb的前n项和nT递推式运用原则：减元原则、降次原则、目标趋近原则知识拓展与方法应用：公式变式\性质应用题例（2013课标卷Ⅰ-理）（方程（组）思想应用，公式应用，变式与拓展）7、设等差数列}{na的前n项和为nS，21mS，0mS，31mS，则m()A、3B.4C、5D、6（2009-理）（16）等差数列{na}前n项和为nS；已知1ma+1ma-2ma=0，21mS=38,则m=_______【题例】已知等差数列}{na的前n项和为nS，若12142nnaann，则nnSS2的值为A.2B.3C.4D.8基本关系式应用：正用代入--逆用作差一般数列通项递推的应用)2......()1......(11nSSnSannn（2015-Ⅱ理）16．设nS是数列na的前n项和，且11a，11nnnaSS，则nS____．（2013课标卷Ⅰ-理）14、若数列}{na的前n项和为3132nnaS，则数列na的通项公式是na=__.数列求和：数列递推问题：数列与不等式问题：数列与函数：探索性问题：成立与存在性问题预测方向数列递推问题（1）提示性递推问题已知数列}{na，11a，且满足：nnnaa221，(Ⅰ)求证：数列nna2是等差数列，并求数列}{na的通项公式；(Ⅱ)若数列}{nb满足：nnanbbb22，对一切Nn都成立，求数列}{nb的通项公式。数列递推问题（2）降次转化型（齐二次特征）递推问题（二次式因式分解-降次转换型），递推关系为：02121nnnnCaaBaAa【题例】（二次式型递推关系，降次转化型）已知数列}{na满足21a，Nn，0na，且0)1(2112nnnnnaaaan，则数列}{na的通项公式是na_____。数列递推问题---化归转换为运用待定系数法、累加或累乘型（3）倒数转化型（分式特征）递推问题1111nnnnnammakamlaa型。（倒数转化型）考虑函数倒数关系有)11(111makann，即kmakann11111，令nnaC1，则}{nC可化归为：bkCCnn1型。（待定系数法转换）数列递推问题---化归转换为运用待定系数法、累加或累乘型【题例】（化归转化-倒数转化、待定系数法）数列}{na中，nnnaaaaa12,11，写出这个数列的前4项，并求该数列的一个通项公式。【变式训练1】（化归转化-倒数转化、待定系数法）数列}{na中，)2(31,1111naaaannn，则数列}{na的通项公式是：（）A．231nB．231nC．321nD．321n【变式训练2】（化归转化-倒数转化、待定系数法）数列na满足31a，nnnnaaaa44311，求na的通项公式。数列与不等式问题：不等式放缩、函数性质或导数应用【题例】（数列递推-前n项和与通项关系，数列不等式，裂项相消法求和，部分分式变形）已知数列}{na的前n项和为nS，且,...2,1),1(,2121nnnanSann（1）证明：数列}1{nSnn是等差数列，并求nS（2）设nnSbnn32，求证125...21nbbb分析：（1）提示性递推；（2）前n项和探究(2))3111(21)3)(1(1323nnnnnnSbnn)3111211...614151314121(21nnnnbn=125)31213121(21nn数列与不等式问题：放缩途径与方法【题例】（通项递推、等比数列求和、数列不等式、不等式放缩、化归转化法思想）已知数列}{na的前n项和nS满足：na-12nS（1）求数列的通项公式；（2）设1111nnnnnaaaab，且数列}{nb的前n项和为nT，求证：31nTnnnnnnb3132313131113111特殊放缩：不等式性质与等式变形（2014-全国课标卷-Ⅱ-理）（17）（本小题满分12分）（通项关联递推问题，等比数列特征，不等式放缩变形）已知数列}{na满足11a，131nnaa.（Ⅰ）证明}21{na是等比数列，并求}{na的通项公式；（Ⅱ）证明：231...1121naaa.（转化等比数列前n项和）注：提示性递推；放缩方法当1n时，11313321321nnnnna不等式放缩方法与常见放缩不等式不等式放缩目标方法：（1）拆项相消原则；特征：可化为部分分式（2）化归转化：化等比；特征：含关于n指数形式（3）记住常见的放缩不等式数列与函数问题：化归思想，函数与方程思想【题例】（抽象函数赋值问题，归纳递进，复合数列求和-错位相减，数列不等式问题-放缩法应用，）已知函数)()()(yfxfyxf且21)1(f（1）当Nn时，求)(nf的表达式；（2）设)(),(Nnnfnan，求证2...21naaa（3）设Nnnfnfnbn,)()1()9(，nS为数列}{nb的前n项和，当nS最大时，求n的值【解析要点】抽象函数问题常用方法：赋值法（1）由)()()(yfxfyxf，及21)1(f，可得nfff）（21)1()1()2(Nnfnfnfn,21)1()1()(）（（2）)(,2)21()(Nnnnnfnannn，运用错位相减示，可求2)211(2nna（3）Nnnbn),9(21当0,90,80,9nnnbnbnbn时；当时；当时；所以当98或n时，nS最大另：)17(412nnbSnn，令18,918,898SnSn；；所以当98或n时，nS最大4、探索性问题：【题例】（2014-浙江）（不等式恒成立探究问题、等比、等差数列、化归转化、函数与方程思想、一般与特殊思想）已知数列}{na和}{nb满足)(,)2(321Nnaaaanbn，若}{na为等比数列，且2316,2bba（1）求}{na和}{nb（2）设)(11Nnbacnnn，记数列}{nc的前项和为nS①求nS，②求正整数k，使得对任意Nn，均有nkSS恒成立问题：论证推理探索性问题--恒成立问题（2）-②考虑数列}{nc的项的取值变化情况：01c，02c，03c，04c，而05c，下面证明当5n时，0nc令nnnnnnnF22)1()(2，所以，,2ln212)(nnnF而4ln16112ln3211)5(F，由1ln4lne，0)5(,164ln16F又，22ln22)(）（nnF当2)4(ln2)2(ln2)2(ln222,5232525nnn，所以，02ln22)(2）（nnF所以当5n时，,2ln212)(nnnF为减函数，所以0)5()(FnF所以当5n时，)(nF为减函数，所以03230)5()(FnF所以当5n时，0)1(12121)1(12)1(nncnnnnnnnn综上，对任意Nn，均有nSS4，故4k恒成立问题：论证推理（分项奇偶特征性数列、方程思想、化归转化，分类讨论，一般与特殊思想，特值代入法，数学语言应用）已知数列}{na满足2,121aa且)(,3)1)(cos2(2Nnanann，（1）求}{na的通项na（2）设}{na的前项和为nS，问：是否存在正整数nm,，使得122nnmSS？探索性问题--存在性问题（1）)(,3)1)(cos2(2Nnanann当n为奇数时，)(,23)1)(cos2(2Nnaaannn（Nkkn,12）此时数列}{na的奇数项成等差数列，首项为11a，公差为21d，所以ndnaan11)121(当n为偶数时，)(,33)1)(2cos2(2Nnaakannn（Nkkn,2）此时数列}{na的偶数项成等比数列，首项为22a，公比为31q，所以12121232nnnqaa从而，数列}{na的通项为：为偶数为奇数nnnann,32,12高考数学问题探究第1页共1页（2）数列具有奇偶分项特征性，如何求}{na的前项和为nS，1232nna，1322nnnSnnnnnnnSmmaaSmSmSS22222122)1()(即：132nm)13)(1(2