长安大学大学物理课ch7机械波

第7章机械波本章内容：7.1机械波的产生和传播7.2平面简谐波7.3波的能量7.4惠更斯原理7.5波的干涉7.6驻波7.7多普勒效应Chang’anUniversity分类波的分类机械波：机械振动在弹性媒质中由近及远的传播。例如：绳波、声波、水面波、地震波等。两个条件：波源、弹性媒质。｛波:振动以一定速度由近及远地传播出去，就形成波。电磁波：变化的电场和变化的磁场在空间的传播。例如：电磁波、光波、X射线。虽然两种波有各自的特性，但都有波的共性，能产生反射、折射、干涉、衍射等现象，有相似的数学表达形式。本部分主要讨论机械波的基本规律。Chang’anUniversity7.1机械波的产生和传播7.1.1机械波的产生条件波源：作机械振动的物体｛机械波:机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播出去，就形成机械波。弹性介质：承担传播振动的物质7.1.2横波和纵波介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波；如柔绳上传播的波。介质质点的振动方向和波传播方向相互平行的波；如空气中传播的声波。横波：纵波：Chang’anUniversity4Tt2TtTt43TtTt45Tt230t123456789101112714151617180t4Tt2TtTt43TtTt4512345678910111271415161718横波纵波结论(看动画)(1)波动中各质点并不随波前进(2)各个质点的相位依次落后,波动是相位的传播x2Chang’anUniversityu7.1.3波面和波线沿波的传播方向作的有方向的线。波线(波线)在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位相同的点联结成的面。波面波前在某一时刻，波传播到的最前面的波面。球面波柱面波波面波线波面波线xyz（平面波）（波面）说明在各向同性均匀媒质中，波线⊥波面。Chang’anUniversity同一波线上相位差为2的质点之间的距离；即波源作一次完全振动，波前进的距离。7.1.4波长周期频率和波速波前进一个波长距离所需的时间。周期表征了波的时间周期性。单位时间内，波前进距离中完整波的数目。频率与周期的关系为T1振动状态在媒质中的传播速度。:）波长（:）周期（T:）频率（:）波速（u波长反映了波的空间周期性。波速与波长、周期和频率的关系为uuT1Chang’anUniversity(1)波的周期和频率与媒质的性质无关；一般情况下，与波源振动的周期和频率相同。Yula.拉紧的绳子或弦线中横波的波速为：Tutb.均匀细棒中，纵波的波速为：(2)波速实质上是相位传播的速度，故称为相速度；其大小主要决定于媒质的性质，与波的频率无关。说明T—张力—线密度Y—固体棒的杨氏模量—固体棒的密度例如：Chang’anUniversityBuld.液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出c.固体媒质中传播的横波速率由下式给出：Gut—固体的切变弹性模量G—固体密度—流体的容变弹性模量B—流体的密度e.稀薄大气中的纵波波速为pMRTul—气体摩尔热容比M—气体摩尔质量R—气体摩尔常数Chang’anUniversity7.2平面简谐波波面为平面的简谐波。简谐波波所到之处，介质中各质点匀作同频率的谐振动。平面简谐波7.2.1平面简谐波的波函数),(txfy)cos(0tAyo平面波函数yxxuPO简谐振动显然,P点t时刻的振动状态是O点uxt简谐振动)cos(tAy平面简谐波的波函数时刻的状态;若])(cos[),(0uxtAtxyP),(txy(P点处质点振动相位较O点处质点相位落后)uxxx2π2Chang’anUniversity])(π2cos[),(0xutAtxy])(π2cos[),(0xtAtxy])(π2cos[),(0xTtAtxy其它形式若波沿轴负向传播时，用同样的方法可得波函数yxxuPO)cos(0tAyo若])(cos[),(0uxtAtxy其它形式])(π2cos[),(0xutAtxy])(π2cos[),(0xtAtxy])(π2cos[),(0xTtAtxyChang’anUniversity如图，在下列情况下试求波函数：)]81(π4cos[tAyA(3)若u沿x轴负向，以上两种情况又如何？例(1)以A为原点；(2)以B为原点；BA1xx已知A点的振动方程为：u(1)在x轴上任取一点P，该点振动方程为：)]81(π4cos[uxtAyp)]81(π4cos[),(uxtAtxy波函数为：解P1xBAxuChang’anUniversity(2)以B为原点；uP1xBAxB点振动方程为：)]81(π4cos[)(1uxtAtyB波函数为:)]81(π4cos[),(1uxuxtAtxy)]81(π4cos[tAyA)]81(π4cos[1uxxtA)]81(π4cos[),(1uxxtAtxy)]81(π4cos[),(uxtAtxy(3)以A为原点：以B为原点：Chang’anUniversity波函数的物理意义])(π2cos[),(0xTtAtxy(2)波形传播的时间周期性(1)振动状态的空间周期性),(),(txytxy说明波线上振动状态的空间周期性),,(),(txyTtxy说明波形传播的时间周期性t1时刻的波形Oyxuxx1(4)t给定，y=y(x)表示t时刻的波形图(5)x和t都在变化，表明各质点在不同时刻的位移分布。(3)x给定，y=y(t)是x处振动方程t1+Δt时刻的波形x1xutChang’anUniversity一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其波函数为m)10.050(cos04.0xty)210.0250(π2cos04.0xtym04.0As04.0502Tm2010.02m/s500Tua.比较法(与标准形式比较）])(π2cos[),(0xTtAtxy标准形式波函数为比较可得例解(1)波的振幅、波长、周期及波速；(2)质点振动的最大速度。求(1)Chang’anUniversityπ2)10.050(π)10.050(π12xtxts04.012ttTπ2)10.050(π)10.050(π21xtxtm2012xxb.分析法（由各量物理意义，分析相位关系）m.yA040max振幅波长周期波速m/s500Tu)10.050(πsinπ5004.0xttyvm/smax28.65004.0v(2)uChang’anUniversity7.2.2平面波的波动微分方程)])(cos[),(0uxtAtxy])(cos[0222uxtAty])(cos[02222uxtuAxy222221tyuxy由得(2)不仅适用于机械波，也适用于电磁波、热传导、化学中的扩散等过程；(1)上式是一切平面波所满足的微分方程（正、反传播）；(3)若物理量是在三维空间中以波的形式传播，波动方程为2222222221tuzyx说明Chang’anUniversity7.3波的能量7.3.1波的能量和能量密度(以绳索上传播的简谐波为例）：xm)(xlTWpOxy2211()22kyWmxtv线元的动能为线元的势能（平衡位置为势能零点）为①设波沿x方向传播，取线元T2T1△l△y△xu22)()(yxl其中2/12])(1[xyx])(211[2xyx2)(21xyxTWp②Chang’anUniversity])([sin210222uxtxA])([sin210222uxtxA2)(21tyxWk2)(21xyxTWp])(cos[0uxtAy将代入①、②、③2uT线元的机械能为和③pkWWW])([sin0222uxtxAWWWpk机械能能量密度（绳子的横截面为S，体密度为ρ）),(])([sin0222txuxtAxSWww平均能量密度TtT0d1ww2221AChang’anUniversity(1)在波的传播过程中，媒质中任一质元的动能和势能是同步变化的，即Wk=Wp，与简谐弹簧振子的振动能量变化规律是不同的.讨论xyuOAB也最小最小xy,v也最大最大xy,v(2)质元机械能随时空周期性变化，表明质元在波传播过程中不断吸收和放出能量；因此，波动过程是能量的传播过程Chang’anUniversity7.3.2能流密度在一个周期中的平均能流为usu△tttSuPwuSwuStPTPTw0d1能流密度：通过垂直于波线截面单位面积上的能流。uSPJwdd大小：方向：波的传播方向uJw矢量表示式：能流：单位时间内通过某一截面的波动能量为通过该面的能流JuSChang’anUniversity波的强度：一个周期内能流密度大小的平均值。wwutTutJTJITT00dd1uA22212A7.3.3平面波和球面波的振幅平面波1S2Su（介质不吸收能量）21PP21AA由得uSAuSSIP221111121wuSAuSSIP222222221w这表明平面波在媒质不吸收的情况下,振幅不变。Chang’anUniversity球面波222212212121uSAuSA由1S2S1r2r22222121π4π4rArA2211rArA0],)(cos[),(0000rurrtrrAtry令得球面波的振幅在媒质不吸收的情况下,随r增大而减小.则球面简谐波的波函数为00rAAr（A0为离原点（波源）r0距离处波的振幅）Chang’anUniversity7.3.4波的吸收0IxIxOdx波在吸收媒质中传播时,实验表明IdIxdxeII0为介质吸收系数，与介质的性质、温度及波的频率有关。IxI0I0xOIxIIxII0dd0应用：增加吸收...减少吸收...Chang’anUniversity(1)已知某一时刻的波前，可用几何方法决定下一时刻波面；说明R1R2S1S2O1S2Sttttur7.4惠更斯原理惠更斯原理：行进中的波面上任意一点都可看作是新的子波源；各个子波所形成的包络所有子波源各自向外发出许多子波；面，就是原波面在一定时间内所传播到的新波面。Chang’anUniversityBCiADEFu1u2u2△t···a折射现象衍射现象(2)亦适用于电磁波，非均匀和各向异性媒质；(3)解释反射、折射、衍射现象；2121sinsinuututui由几何关系知：(4)不足之处（未涉及振幅，相位等的分布规律）。Chang’anUniversity7.5波的干涉叠加原理(1)波传播的独立性(2)叠加原理当几列波在传播过程中在某一区域相遇后再行分开，各波的传播情况与未相遇一样，仍保持它们各自的频率、波长、振动方向等特性继续沿原来的传播方向前进。在波相遇区域内，任一质点的振动，为各波单独存在时所引起的振动的合振动。v1v221yyy注意:波的叠加原理仅适用于线性波的问题Chang’anUniversity相干波与相干条件干涉现象:当两列（或多列）波叠加时，其合振动的振幅A和合强度I将在空间形成一种稳定的分布，即某些点上的振动始终加强，某些点上的振动始终减弱的现象。相干波相干条件