湖北省黄冈中学2019年春预录模拟考试数学试题

2019年春预录模拟考试（联考）数学试题（分值：120分时间：120分钟）一、选择题(每小题3分，共42分)1.设zyx6323，且x、y、z为有理数.则xyz=().A.43B.65C.127D.18132.设二次函数f(x)=ax2+ax+1的图像开口向下，且满足f(f(1))=f(3).则2a的值为().A.-3B.-5C.-7D.-93.方程|xy|+|x+y|=1的整数解的组数为().A.2B.4C.6D.84.a、b是方程x2+(m-5)x+7=0的两个根.则(a2+ma+7)(b2+mb+7)=().A.365B.245C.210D.175[]5.如图，Rt△ABC的斜边BC=4，∠ABC=30°，以AB、AC为直径分别作圆.则这两圆的公共部分面积为()A.2332B.33265C.365D.3326.从1，2，…，13中取出k个不同的数，使这k个数中任两个数之差既不等于5，也不等于8.则k的最大值为().A.5B.6C.7D.87.在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图1所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图2所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为()A.121B.61[C.31D.418.将一副三角尺（在Rt△ACB中，∠ACB=900，∠B=600；在Rt△EDF中，∠EDF=900，∠E=450）如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C.将△EDF绕点D顺时针方向旋转角α(00＜α＜600)，DE＇交AC于点M，DF＇交BC于点N，则CNPM的值为()A.3B.23C.33D.21[]二、填空题(每小题3分，共24分)9.若整系数一元二次方程x2+(a+3)x+2a+3=0有一正根x1和一负根x2，且|x1|＜|x2|，则a=.10.当x=2329时，代数式x4+5x3-3x2-8x+9的值是.11.给定两组数，A组为:1，2，…，100;B组为:12，22，…，1002.对于A组中的数x，若有B组中的数y，使x+y也是B组中的数，则称x为“关联数”.那么，A组中这样的关联数有个.12.已知△ABC的三边长分别为AB=2576a2，BC=62514aa2，AC=62514a-a2，其中a＞7，则△ABC的面积为.13.梯形ABCD中，BC∥AD，BC＝1000，AD＝2010，∠A＝53°，∠D＝37°，M是BC的中点，N是AD的中点，则线段MN的长为.第13题图第14题图第16题图14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿QC翻折，点P的对应点为点P′,设点Q运动的时间为t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为.15.若函数221(100196|100196|)2yxxxx，则当自变量x取1、2、3、…、100这100个自然数时，函数值的和是.16.如图，已知点M是锐角△AOB的边AB上任意一点，OM=2，∠AOB=45°，在OA边上作一点P，在OB边上作一点Q，使得△PMQ的周长最小，则此时△PMQ的周长为.三、解答题（共72分）17.(6分)已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数．求整数n的值．18.(6分)当-1≤x≤2时，函数y=2x2-4ax+a2+2a+2有最小值2．求a所有可能取的值．19.(8分)如图1是安装在斜屋面上的太阳能热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．已知，斜屋面的倾角为25°，长为2.1米的真空管AB与水平线AD的夹角为40°，安装热水器的铁架水平横管BC长0.2米，求铁架垂直管CE的长（结果精确到0.01米）．（说明：sin40°≈0.645，cos40°≈0.766，sin25°≈0.423，cos25°≈0.906,tan25°≈0.466）20.(10分)如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心，12AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连结AE、AD、DC．（1）求证：D是弧AE的中点；（2）求证：∠DAO=∠B+∠BAD；（3）若12CEFOCDSS，且AC=4，求CF的长.21.(10分)如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，AC与EF交于点O,分别连结AF和CE．在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．C北乙甲B2B1A2A115°120°105°22.(10分)在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即sinsinsinabcABC.利用上述结论可以求解如下题目.如：在△ABC中，若∠A=450,∠B=300，a=6，求b.解：在△ABC中，∵BbAasinsin,∴b=232221645sin30sin6sinsin00ABa.问题解决：如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西1050方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达2A处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处，此时两船相距102海里.(1)判断122AAB的形状，并给出证明.(2)乙船每小时航行多少海里？23.(10分)如图，四边形ABCD中，∠ACB=∠ADB=90°，自对角线AC、BD的交点N作NM⊥AB于点M，线段AC、MD交于点E，BD、MC交于点F，P是线段EF上的任意一点.证明:点P到线段CD的距离等于点P到线段MC、MD的距离之和.24.(12分)在如图平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为(4，2)，OA、OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线.将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数(0)kyxx的图象经过点F，交AB于点G．（1）求k的值和点G的坐标；（2）连接FG，则图中是否存在与△BFG相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由；（3）在线段OA上存在这样的点P，使得△PFG是等腰三角形．请直接写出点P的坐标．xyOBACDEFG数学参考答案1.A2.B3.C4.D5.C6.B7.C8.C9.-210.3229711.7312.16813.50514.215.39016.17.18.解：y=2x2-4ax+a2+2a+2图象的对称轴为：x=a，①当-1≤a≤2时，函数在x=a处取得最小值2，故-a2+2a+2=2，即a2-2a=0，解得：a=0或2，②当a＜-1时，函数在x=-1处取得最小值2，代入函数式得2+4a+a2+2a+2=2，即：a2-6a+2=0，解得：a=-3±7，取a=-3-7，③当a＞2时，函数在x=2处取得最小值2，代入函数式得：8-8a+a2+2a+2=2，即a2-6a+8=0，解得：a=2或4，取a=4．故a所有可能的值为：-3-7，0，2，4.19.解：如图：过B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，∵sin∠BAF=ABBF，∴BF=ABsin∠BAF=2.1sin40°≈1.350．∴真空管上端B到AD的距离约为1.35米.在Rt△ABF中，∵cos∠BAF=ABAF，∴AF=ABcos∠BAF=2.1cos40°≈1.609．∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，∴四边形BFDC是矩形．∴BF=CD，BC=FD．在Rt△EAD中，∵tan∠EAD=ADED，∴ED=ADtan∠EAD=1.809tan25°≈0.844．∴CE=CD-ED=1.350-0.844=0.506≈0.51∴安装铁架上垂直管CE的长约为0.51米．20.证明：（1）∵AC是⊙O的直径，∴AE⊥BC，∵OD∥BC，∴AE⊥OD，∴D是弧AE的中点.（2）方法一：如图，延长OD交AB于G，则OG∥BC，∴∠AGD=∠B，∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO，∵∠ADO=∠BAD+∠AGD，∴∠DAO=∠B+∠BAD.方法二：如图，延长AD交BC于H，∵OD∥BC，∴∠ADO=∠AHC，∵∠AHC=∠B+∠BAD，∴∠ADO=∠B+∠BAD，又∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∴∠DAO=∠B+∠BAD.（3）∵AO=OC，∴12OCDACDSS，∵12CEFOCDSS，∴14CEFACDSS，∵∠ACD=∠FCE，∠ADC=∠FEC=90°，∴△ACD∽△FCE，∴2()CEFACDSCFSAC，即:21()44CF，∴CF=2.21.过E作EPAD交AC于P，则P就是所求的点．当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，OAOC，90AOECOF,在平行四边形ABCD中，ADBC∥，EAOFCO，∴△AOE≌△COF,∴OE=OF.四边形AFCE是菱形．∴90AOE，又EAOEAP，由作法得90AEP，AOEAEP△∽△，AEAOAPAE，则AE2=A0·AP，四边形AFCE是菱形，12AOAC，∴AE2=12AC·AP,∴2AE2=AC·AP.22.解：（1）答：122AAB是等边三角形.证明：如图，由已知22102AB，122030210260AA，1221AAAB，又12218012060AAB∠，122AAB△是等边三角形.[（2）122AAB△是等边三角形，1212102ABAA，由已知1118010575CBA∠，211751560BBA∠.1121056045BAB又∠，在121ABB△中，由正弦定理得：1212sin45sin60BBAB,12121022203sin45sin602332ABBB,因此，乙船的速度的大小为20360203320（海里/小时）．答：乙船每小时航行203海里23.解:如图,易知A、B、C、D四点共圆,B、C、N、M四点共圆,因此,∠ACD=∠ABD=∠MCN.故AC平分∠DCM.同理,BD平分∠CDM.如图,设PH⊥MC于点H,PG⊥MD于点G,PT⊥CD于点T;过点P作XY∥MC,交MD于点X,交AC于点Y;过点Y作YZ∥CD,交MD于点Z,交PT于点R;再作YH1⊥MC于点H1,YT1⊥CD于点T1.由平行线及角平分线的性质得PH=YH1=YT1=RT.为证PT=PG+PH,只须证PR=PG.由平行线的比例性质得EP／EF=EY／EC=EZ／ED.因此,ZP∥DF.由于△XYZ与△MCD的对应边分别平行,且DF平分∠MDC,故ZP是∠XZY的平分线.从而,PR=PG.因此,所证结论成立.24.解：（1）∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为(4，2)，∴∠OCB=∠OAB=∠ABC=90°，OC=AB=2，OA=BC=4.∵△ODE是△OAB旋转得到的，∴△ODE≌△OAB.∴∠COF=∠AOB.∴△COF∽△AOB.∴CFOCABOA.∴224CF.∴CF=1.∴点F的坐标为(1，2).∵(0)kyxx的图象经过点F，∴21k，得k=2.∵点G在AB上，∴点G的横坐标为4，对于2yx，当x=4，得y=12,∴点G的坐标为（4，12）；（2）△COF∽△BFG；△AOB∽△BFG；△ODE∽△BFG；△CBO∽△BFG.[下面对△OAB∽△BFG进行证明：∵点G的坐标为（4，12），∴AG=12,∵BC=OA=4，CF=1，AB=2，∴BF=BC－CF=3，BG=AB－AG=32.∴43AOBF，24332ABBG.∴AOABBFBG.∵∠OAB=∠FBG=90°，∴△OAB∽△BFG.