高中数学必修2直线与圆的方程

1直线与圆的方程【基础知识归纳】1．直线方程(略)4.圆的方程(2)圆的方程标准式？？？一般式：220xyDxEyF（2240DEF）.其中圆心为,22DE，半径为22142DEF参数方程:cossinxryr，cos(sinxarybr是参数）.5.点与圆的位置关系判断点(,)Pxy与圆2()xa22()ybr的位置关系代入方程看符号.6.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有：相离、相切和相交.有两种判断方法：（1）代数法：（判别式法）0,0,0时分别相离、相交、相切.（2）几何法：圆心到直线的距离,,drdrdr时相离、相交、相切.7．弦长求法（1）几何法：弦心距d，圆半径r，弦长l，则2222ldr．（2）解析法：用韦达定理，弦长公式.8．圆与圆的位置关系看|O1O2|与22rr和|22rr|的大小关系.【典型例题解析】题型2：直线的斜率【例2】（安徽卷）若过点(4,0)A的直线l与曲线22(2)1xy有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A．[3,3]B．(3,3)C．33,33D．33,33【答案】C题型3直线的方程【例3】（浙江）直线210xy关于直线1x对称的直线方程是（）Ａ．210xyＢ．210xyＣ．230xyＤ．230xy【答案】D题型4：直线方程的综合题【例4】（江苏）在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0)，点P（0，p）在线段AO上（异于端点），设a,b,c,p均为非零实数，直线BP,CP分别交AC,AB于点E,F，一同学已正确算的OE的方程：11110xybcpa，请你求OF的方程：___________________.【答案】11110xycbpa【解析】直线AB的方程为1aybx①直线CP的方程为1pycx②②-①得11110xycbpa，直线AB与CF的交点F坐标满足此方程，原点O的坐标也满足此方程，所以OF的方程为11110xycbpa.若敢于类比猜想，交换x的系数中b、c的位置，便很快可得结果.题型5：直线与直线的位置关系【例5】（福建）已知两条直线2yax和(2)1yax互相垂直，则a等于()A．2B．1C．0D．1【答案】D题型6：点与直线的位置关系【例6】（湖南）圆224xyx4100y上的点到直线014yx的最大距离与最小距离的差是()yxOBAFEPC2A．36B.18C.26D.25【答案】C题型7：平行线间的距离【例7】（四川）如图，1l、2l、3l是同一平面内的三条平行直线，1l与2l间的距离是1，2l与3l间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在1l、2l、3l上，则△ABC的边长是()A．23B．364C．3174D．2213【答案】D【解析】过点Ｃ作2l的垂线4l，以2l、4l为x轴、y轴建立平面直角坐标系．设(,1)Aa、(,0)Bb、(0,2)C，由ABBCAC知222()149abba边长2，检验A：222()14912abba，无解；检验B：22()14abb23293a，无解；检验D：22()14abb22893a，正确.题型8：动点的轨迹方程【例8】（四川）已知O的方程是2220xy，'O的方程是22xy8100x，由动点P向O和'O所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是_________________【答案】32x【解析】O：圆心(0,0)O，半径2r；'O：圆心'(4,0)O，半径'6r．设(,)Pxy，由切线长相等得222xy2238102xyxx．【例9】（上海）如图9-1-4，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点．若点()Pxy，、点()Pxy，满足xx≤且yy≥，则称P优于P．如果中的点Q满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧()Ａ．弧ABB．弧BCC．弧CDD．弧DA【答案】D【解析】分别在弧AB、弧BC、弧CD、弧DA上任意取一点Q，只有在弧DA上的点Q满足不存在中的其它点优于Q，故选D．【例10】（北京）平面的斜线AB交于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交于点C，则动点C的轨迹是()A．一条直线B．一个圆C．一个椭圆D．双曲线的一支【答案】A【解析】如图9-1-5所示，因为过定点A的动直线l与AB垂直，直线l绕定点A旋转形成一个平面，这个平面与平面相交，有一条交线，点C在这条交线上，所以点C的轨迹是这条交线．故选A．题型9：圆的方程【例11】(重庆)以点（2，－1）为圆心且与直线3450xy相切的圆的方程为（）A．22(2)(1)3xyB．22(2)(1)3xyC．22(2)(1)9xyD．22(2)(1)3xy【答案】C【例12】（福建)若直线3x+4y+m=0与圆sin2cos1yx（为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是.题型10：直线与圆的位置关系【例13】（辽宁）已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为（）A.22(1)(1)2xyB.22(1)(1)2xyC.22(1)(1)2xyD.22(1)(1)2xy【答案】B题型11：圆与圆的位置关系【例14】（山东）与直线xy20和曲线221212540xyxy都相切的半径最小的圆的标准方程是_____ABCDOxyCBA3【答案】22(2)(2)2xy【解析】曲线化为22(6)(6)18xy，其圆心到直线20xy的距离为66252.2d所求的最小圆的圆心在直线yx上，其到直线的距离为2，圆心坐标为(2,2).标准方程为22(2)(2)2xy.【重点方法提炼】（1）在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾角的范围．（2）在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况.如题目条件中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m倍（m＞0）”等时，采用截距式就会出现“零截距”，从而丢解.此时最好采用点斜式或斜截式求解．（3）在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止由于“无斜率”，从而造成丢解.如在求过圆外一点的圆的切线方程时或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，或讨论两直线的平行、垂直的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论．（4）有关圆的问题解答时，应注意利用圆的平面几何性质，如圆与直线相切、相交的性质，圆与圆相切的性质，这样可以使问题简化．（5）对本章中介绍的独特的数学方法——坐标法要引起足够重视．要注意学习如何借助于坐标系，用代数方法来研究几何问题，体会这种数形结合的思想．（6）首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终．【实战演习】一．选择题1．（湖南重点中学联考）过定点2,1P作直线l分别交x轴、y轴正向于A、B两点，若使△ABC（O为坐标原点）的面积最小，则l的方程是（）A.30xyB.350xyC.250xyD.240xy2．（湖北重点中学联考）若P（2，－1）为圆（x－1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A.x－y－3=0B.2x+y－3=0C.x+y－1=0D.2x－y－5=03.（陕西）过原点且倾斜角为60的直线被圆学2240xyy所截得的弦长为（）A.3B.2C.6D.234.（宁夏海南）已知圆1C：2(1)x+2(1)y=1，圆2C与圆1C关于直线10xy对称，则圆2C的方程为()A.2(2)x+2(2)y=1B.2(2)x+2(2)y=1C.2(2)x+2(2)y=1D.2(2)x+2(2)y=15.（重庆）直线1yx与圆221xy的位置关系为（）A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离6.（重庆）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．22(2)1xyB．22(2)1xyC．22(1)(3)1xyD．22(3)1xy7．（湖北）过点(11,2)A作圆22241640xyxy的弦，其中弦长为整数的共有（）A.16条B.17条C.32条D.34条8．（北京）过直线yx上的一点作圆22(5)(1)2xy的两条切线12ll，，当直线12ll，关于yx对称时，它们之间的夹角为（）A．30B．45C．60D．90二．填空题9．（上海）已知1:210lxmy与2:31lyx，若两直线平行，则m的值为____________.10.（天津）已知圆C的圆心与点(2,1)P关于直线1yx对称．直线34110xy与圆C相交于BA,两点，且6AB，则圆C的方程为____________．11.（四川）若⊙221:5Oxy与⊙222:()20()OxmymR相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是w.12.（全国）若直线m被两平行线12:10:30lxylxy与所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是:①15②30③45④60⑤75其中正确答案的序号是.（写出所有正确答案的序号）413.（天津）若圆224xy与圆22260xyay（a0）的公共弦的长为23，则a=___________.14．（辽宁）已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为_____________.三．解答题15．（广西重点中学第一次联考）设直线l过点A（2，4），它被平行线x–y+1=0与x-y-l=0所截得的线段的中点在直线x+2y-3=0上，求直线l的方程.16．（北京）已知菱形ABCD的顶点AC，在椭圆2234xy上，对角线BD所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD过点(01)，时，求直线AC的方程；（Ⅱ）当60ABC时，求菱形ABCD面积的最大值．17．（江苏）设平面直角坐标系xoy中，设二次函数22fxxxbxR的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：（Ⅰ）求实数b的取值范围；（Ⅱ）求圆C的方程；（Ⅲ）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论．18．(海淀一模)在平面直角坐标系中，N为圆A：16)1(22yx上的一动点，点B（1，0），点M是BN中点，点P在线段AN上，且.0BNMP（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）试判断以PB为直径的圆与圆22yx=4的位置关系，并说明理由.19．（西城一模）在面积为9的ABC中，4tan3BAC，且DBCD2.现建立以A点为坐标原点，以BAC的平分线所在直线为x轴的平面直角坐标系，如图所示.（Ⅰ）求AB、AC所在的直线方程；(Ⅱ)求以AB、AC所在的直线为渐近线且过点D的双曲线的方程；(Ⅲ)过D分别作AB、AC所在直线的垂线DF、DE（E、F为垂足），求DEDF的值.20.（朝阳一模）已知点,AB分别是射线1:0lyxx，2:lyx0x上的动点，O为坐标原点，且OAB的面