高中文科数学直线和圆部分知识整理

高中文科数学直线和圆部分知识整理一．直线的倾斜角：1．定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0；2．倾斜角的范围,0。【例题】过点),0(),1,3(mQP的直线的倾斜角的范围m那么],32,3[值的范围是______（答：42mm或）二．直线的斜率：1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k＝tan(≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；2．斜率公式：经过两点111(,)Pxy、222(,)Pxy的直线的斜率为212121xxxxyyk；【例题】实数,xy满足3250xy(31x)，则xy的最大值、最小值分别为______（答：2,13）三．直线的方程：1．点斜式：已知直线过点00(,)xy斜率为k，则直线方程为00()yykxx,它不包括垂直于x轴的直线。2．斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为ykxb,它不包括垂直于x轴的直线。3．两点式：已知直线经过111(,)Pxy、222(,)Pxy两点，则直线方程为121121xxxxyyyy，它不包括垂直于坐标轴的直线。4．截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为,ab,则直线方程为1byax，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。5．一般式：任何直线均可写成0AxByC(A,B不同时为0)的形式。【例题】（1）经过点（2，1）且方向向量为v=(－1,3)的直线的点斜式方程是___________（答：13(2)yx）；（2）直线(2)(21)(34)0mxmym，不管m怎样变化恒过点______（答：(1,2)）；（3）若曲线||yax与(0)yxaa有两个公共点，则a的取值范围是_______（答：1a）四．设直线方程的一些常用技巧：1．知直线纵截距b，常设其方程为ykxb；2．知直线横截距0x，常设其方程为0xmyx(它不适用于斜率为0的直线)；3．知直线过点00(,)xy，当斜率k存在时，常设其方程为00()ykxxy，当斜率k不存在时，则其方程为0xx；4．与直线:0lAxByC平行的直线可表示为10AxByC；5．与直线:0lAxByC垂直的直线可表示为10BxAyC.五．点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1）点00(,)Pxy到直线0AxByC的距离0022AxByCdAB；（2）两平行线1122:0,:0lAxByClAxByC间的距离为1222CCdAB。六．直线1111:0lAxByC与直线2222:0lAxByC的位置关系：1．平行12210ABAB（斜率）且12210BCBC（在y轴上截距）；2．相交12210ABAB；3．重合12210ABAB且12210BCBC。*直线1111:0lAxByC与直线2222:0lAxByC垂直12120AABB。【例题】（1）设直线1:60lxmy和2:(2)320lmxym，当m＝_______时1l∥2l；当m＝________时1l2l；当m_________时1l与2l相交；当m＝_________时1l与2l重合（答：－1；12；31且mm；3）；（2）已知直线l的方程为34120xy，则与l平行，且过点（—1，3）的直线方程是______（答：3490xy）；（3）两条直线40axy与20xy相交于第一象限，则实数a的取值范围是____（答：12a）；（4）直线l过点（１，０），且被两平行直线360xy和330xy所截得的线段长为9，则直线l的方程是________（答：43401xyx和）七．对称（中心对称和轴对称）问题——代入法：如（1）已知点(,)Mab与点N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线0xy对称，则点Q的坐标为_______（答：(,)ba）（2）点Ａ（４，５）关于直线l的对称点为Ｂ(－2,7)，则l的方程是_________（答：3y=3x＋）；（3）已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线l:3x－4y+4=0反射。如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________（答：18x510y＋）；十．圆的方程：1．圆的标准方程：222xaybr。2．圆的一般方程：22220(DE4F0)＋－xyDxEyF，特别提醒：只有当22DE4F0＋－时，方程220xyDxEyF才表示圆心为(,)22DE，半径为22142DEF的圆。二元二次方程220AxBxyCyDxEyF表示圆的充要条件是0,AC且0B且2240DEAF。3．1122A,,,xyBxy为直径端点的圆方程12120xxxxyyyy【例题】（1）圆C与圆22(1)1xy关于直线yx对称，则圆C的方程为____________（答：22(1)1xy）；（2）圆心在直线32yx上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________（答：9)3()3(22yx或1)1()1(22yx）；（3）方程x2+y２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____（答：21k）；十一．点与圆的位置关系：已知点00M,xy及圆222C0：x-aybrr，（1）点M在圆C外22200CMrxaybr；（2）点M在圆C内22200CMrxaybr；（3）点M在圆C上20CMrxa220ybr。十二。直线与圆的位置关系：直线:0lAxByC和圆222C：xaybr0r有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0相交；0相离；0相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d，则dr相交；dr相离；dr相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。【例题】（1）若直线30axby与圆22410xyx切于点(1,2)P，则ab的值____（答：2）；（2）直线20xy被曲线2262xyxy150所截得的弦长等于（答：45）；（3）一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是（答：4）；十三．圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为12OO，，半径分别为12,rr，则（1）当1212|OOrr时，两圆外离；（2）当1212|OOrr时，两圆外切；（3）当121212|OOrrrr时，两圆相交；（4）当1212|OO|rr时，两圆内切；（5）当12120|OO|rr时，两圆内含。