损耗性物料预期涨价模式EOQ之探讨

損耗性物料預期漲價模式EOQ之探討ADiscussionofModifiedEOQModelsforDeterioratingItemswithAnticipativeRiseinPrice賴尚憲Shang-HsienLai聖約翰科技大學工業工程與管理系DepartmentofIndustrialEngineeringandManagement,St.John’sUniversity摘要現實中，有許多物料隨著時間發生腐敗、毀損、揮發、變質或失效等損耗外，還會因原料、工資、資源等因素價格上漲的影響下，進而宣佈在某一時間調高物料之價格，所以本論文探討如何決定損耗性物料，在預期上漲之前的最佳訂購特別量的問題，並提供實例數據加以驗證。關鍵詞：損耗性物料、經濟訂購量、預期漲價ABSTRACTInreality,somesuppliedmaterialsoccurthecorruption,damage.evaporation,deteriorationorineffectivenessbytime.Moreover,duetothepricesofsomefactors,suchasrawmaterials,wageandresource,riseup,thepriceofsuppliedmaterialswouldalsobeannouncedtoincreasedanticipatively.Consequently,thisarticlefocusesontheissueofhowtodecidethebestquantityfortheordersbeforethepriceincreaseofsuppliedmaterialsandprovidessomenumericalexamplestoconfirmtheresultsofanovelmathematicalmodel.Keywords:DeterioratingItem,EconomicOrderQuantity,AnticipativeRiseinPrice聖約翰學報第二十五期損耗性物料預期漲價模式EOQ之探討163聖約翰學報第二十五期損耗性物料預期漲價模式EOQ之探討164壹、緒論現實生活中，大多數的存貨在庫存的過程中，會由於儲存時間的長久，而發生腐敗、毀損、揮發、變質或失效等現象，如酒精、汽油、血液、魚類、蔬果及放射性物質等存貨的價值與數量，因此而減低，此種具有損耗特性的物料，稱為損耗性物料。由於損耗性物料會產生額外的成本，如果探討的物料中有損耗品，在存貨模式的架構中卻未加入損耗性的因素，將很難獲得正確的存貨模式，導致做出錯誤的決策，造成更大的損失。最早大多數的存貨模式均不考慮損耗性因素，如Tersine【8】利用微分法探討EOQ，Martin【6】利用微分法探討暫時降價模式之EOQ，Weeetal.【10】利用代數法求暫時降價模式之EOQ，Cardenas-Barron【1】亦利用代數法求允許短缺的EOQ，上述學者均未考慮損耗性因素，首先考慮損耗性物料的學者是Hadley與Whitin【5】，至於損耗性存貨經濟訂購模式，最早由Ghare和Schrader【4】提出，他假設物料損耗服從時間的指數分配，Covert和Philip【3】提出韋伯分配的損耗率模式，Tadikamalla【7】提出不允許短缺且損耗率服從伽瑪分配之模式，Cohen【2】假設物料損耗率服從指數分配，並分別提出不允許短缺與允許短缺兩種存貨模式。Wee與Yu【9】探討暫時性價格折扣的損耗性存貨模式。本論文探討係依物料損耗率服從指數分配，與其他文獻不同點在於討論不同的模式圖形(圖3-1)、(圖3-2)及損耗成本不同的表示方式。同時，實際採購狀況中，供應商在某些因素，如石油、電力等資源價格、工資上漲、或原料成本增加的影響下，宣佈在某一個時間點，將要對其供應的物料價格調高，此時工廠將會採取對應之措施，即在價格上漲之前的最後一次，以原來的價格，採購較多的該項物料，期望減少之後以較高價格採購的損失，但隨之而來，持有成本將會提高，這也是必須慎重考慮的問題，因此如何決定損耗性物料在預期上漲之前的最佳訂購特別量，即為本論文探討的重點。貳、基本假設與符號說明一、模式假設說明EOQ模式係對外採購物料之最經濟的批次訂購量，可以獲得最小的存貨總成本與最大的經濟效益，今我們探討其模式係基於下列假設:1.不考慮前置時間2.討論單一物料在固定期間之存貨狀況3.需求率與損耗率為已知且為一常數4.無限補貨率5.不允許缺貨6.每次訂購之數量,資金與可以擺放的空間都不限制7.沒有數量折扣二、模式符號說明依上述的假設，探討EOQ模式所使用的數學符號說明如下:D=需求率Ck=每次物料之單價Cs=每次訂購成本B=每年每元之持有成本率d=漲價的差額K=損耗率Q=每批之訂購量Q'=以原價訂購之訂購特別量Q0=以原價訂購之最佳訂購量TC=總成本TC'=訂購特別量之總成本q=訂購時之存量t0=訂購時刻t1=漲價時刻G=成本節省值參、數理模式推導一、漲價前，在正規補貨時刻訂購:現在假設某物料之訂購單價Ck，在t1時將上漲為Ck+d，為了減少以較高價格訂購之損失，因此我們決定在t1之前t0（t0＜t1）訂購特別量Q'，為了簡單起見，t0落在正規補貨的時間上，但下一次的訂購時間t3須以Ck+d的價格訂購。本論文現在探討當t0時以Ck訂購Q'，與t0時以Ck訂購Q0一次，t2以後每次以Ck+d訂購Q0作比較，試求最佳訂購特別量Q'0。聖約翰學報第二十五期損耗性物料預期漲價模式EOQ之探討165(7）式中第一項為物項成本,第二項為訂購成本，第三項為持有成本，第四項為損耗成本。當t0時訂購Q0之存貨水準為,(8),t=0(9)從WeeandYu(1997)得知T0(10)如果在t0時，以Ck訂購Q0一次，t2以後每次以Ck+d訂購Q0，則在期間t0至t3的總成本為(11)(11）式中第一、二項為物項成本，第三、四項為訂購成本，第五、六項為持有成本，第七、八項為損耗成本。欲求未漲價時點之最佳訂購特別量，必需求TC與TC'兩者之差的最大值。令G(T')=TC-TC'(12)且(13)利用Maple數學軟體解（13）方程式之T'，然後將T'代入G（T'）即可得最大節省成本值，再將T'代入（6）式求Q'，即為未漲價時點之最佳訂購特別量Q'0。3-1漲價前,在正規補貨時刻訂購的情況上述之Q0為以原價Ck訂購之最佳訂購量，從WeeandYu(1997)得知為(1))(2KBCDCQKSO+=QoQ’存量時間OTtot1t2t3T’如圖3-1存貨水準之微分方程式的通式為(2)(3)方程式(2)與(3)之解為Q(t)=,(4)當t0時訂購特別量Q'之存貨水準為Q'(t)=,(5)Q'=,t=0(6)當在t0時（t0＜t1）以原價Ck訂購特別量Q'（Q'≥Q0），而在期間t0至t3之總成本為(7),0)()(=++DtKQdttdQTt≤≤0]1[)(−−tTKeKDTt≤≤0]1[)(−−tT’KeKD]1[−T’KeKDT’t≤≤0]1[)(−−tT0KeKD]1[−T0KeKD)(2KBDCCKS+≈0)(''=dTTdG00Tt≤≤聖約翰學報第二十五期損耗性物料預期漲價模式EOQ之探討1663-2漲價前,不在正規補貨時刻訂購的情況(18)(18）式中第一項為物項成本，第二項為訂購成本，第三項為持有成本，第四項為損耗成本。當t2時訂購Q0之存貨水準為(19)(20)從WeeandYu(1997)得知T0(21)在T'期間(t2以後每次以Ck+d訂購Q0)之總成本為(22)(22)式中第一、二項為物項成本，第三項為訂購成本，第四、五項為持有成本，第六、七項為損耗成本。欲求未漲價前之最佳訂購特別量，必需求TC與TC'兩者之差的最大值。令(23)二、漲價前，不在正規補貨時刻訂購:現在假設某物料之訂購單價Ck，但供應商因工資上漲或原料成本增加的影響之下，宣佈在t1時上漲為Ck+d，因此工廠為了減少以較高價格訂購之損失，決定在t1之前t0(t0＜t1)以單價Ck訂購特別量Q'(Q'Q0)，而且t0當時之存貨水準為q，但下次訂購的時間t2之後須以Ck+d的價格訂購。現在探討當t0時以Ck訂購Q'與t2以後每次以Ck+d訂購Q0分別的情況作比較，試求最佳訂購特別量Q'0。Qoq+Q’存量時間Totot1t2t3T’qQ’Tq當t0時訂購特別量Q'之存貨水準為(14)(15)(16)(17)當在t0時（t0＜t1）以原價Ck訂購Q'（當時之存貨水準為q），而在期間t0至t3之總成本為)('tQ=]1[)('−−tTKeKD,0Tt≤≤'q+'Q=]1['−KTeKD,t=0q(t)=]1[)(−−tTKqeKD,0Tt≤≤qq=]1[−qKTeKD,t=0OQ)(t=]1[)(0−−tTKeKD,00Tt≤≤OQ=]1[0−KTeKD,t=0)(2KBDCCKS+≈聖約翰學報第二十五期損耗性物料預期漲價模式EOQ之探討167表4-1玩具之銷售資料表5-1D之敏感度分析K六參數作敏感度分析，其方法係將此六參數各取七個固定變化值0%、±10%、±20%、±30%代入模式中，利用maple軟體分析其Q0、T'、Q'及的變化分別如表5-1、表5-2、表5-3、表5-4、表5-5及表5-6。圖5-1、圖5-2、圖5-3、圖5-4、圖5-5及圖5-6係分別表示D、Cs、Ck、B、d及K對G的敏感度分析圖，增進了解各參數對Q0、T'、Q'及G的影響。且(24)利用Maple數學軟體解（24）方程式之T'，然後將T'代入G（T'）即可得最大節省成本值，再將T'代入（15）式求Q'，即為未漲價時點之最佳訂購特別量Q'0。肆、實例驗證本節係以個案為範例，說明本論文所建立各種模型的應用情形，將所收集的數據，代入上述各種腐敗、毀損、揮發、變質或失效等模型的方程式，並利用Maple數學軟體進行求解，分析各種數學模式所求得的結果是否合理，並於下一節進行敏感度分析。位於台北的零售商販賣玩具，根據其以往銷售及供應商所提供的資料，可知每年該玩具的需求量約800個，玩具單價每個50元，每次訂購成本30元，損耗率為每年1％，每年持有成本率為0.2元，漲價的差額為1元，若不在正規補貨時刻訂購時之存量為30個，其相關資料如表4-1。今以Maple數學軟體分別計算(1)漲價前，在正規補貨時刻訂購(2)漲價前，不在正規補貨時刻訂購，各種case之Q0、T'、Q'及G如表5-1~表5-12。0)(''=dTTdG項目數據項目數據Ck50元/個B0.2Cs30元/次q30個D800個/年d1元K0.01----伍、敏感度分析一、漲價前，在正規補貨時刻訂購為瞭解不同參數對漲價前，在正規補貨時刻訂購之最佳解的影響，特別針對D、Cs、Ck、B、d及變化參數DQ0T'Q'G=TC-TC'+30%104077.090.1683175.212447.0978+20%96074.070.1713164.602143.3165+10%88070.910.1747153.864739.54270%80067.610.1786142.982435.7583-10%72064.140.1831131.932732.0329-20%64060.470.1884120.687028.2547-30%56056.570.1948109.207024.4798表5-2Cs之敏感度分析變化參數CsQ0T'Q'G=TC-TC'+30%3977.090.1902152.336235.2174+20%3674.070.1865149.351335.3994+10%3370.910.1826146.239435.05700%3067.610.1786142.982435.7583-10%2764.140.1743139.558235.9280-20%2460.470.1698135.937836.1975-30%2156.570.1650132.0831