勾股定理经典例题

勾股定理1a2+b2=c2cba勾股定理2知识要点：1.勾股定理：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有2.勾股定理逆定理：直角三角形的判定：如果三角形的三边长a、b、c有关系：，那么这个三角形是直角三角形。a2+b2=c2a2+b2=c2cbaABC蚂蚁从A点经B到C点的最少要爬了多少厘米？GE34512513（小方格的边长为1厘米）练习1:６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2+b2=c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25;等③用含字母的代数式表示组勾股数：（n为正整数）；（n为正整数）；（n为正整数）；练习2:221,2,1nnn2221,22,221nnnnn2222,2,mnmnmn题型一：直接考查勾股定理ABC90C6AC8BCAB17AB15ACBC222abc例一.在中，⑴已知，．求⑵已知，，求分析：直接应用勾股定理的长的长利用对角对边，分清直角边，斜边练习3:2210ABACBC228BCABAC解：⑴⑵代王中学教学课件例题2如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？题型二：利用勾股定理测量长度分析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！解：根据勾股定理AC2+BC2=AB2,即AC2+92=152,所以AC2=144,所以AC=12练习4:例题3．如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？A小汽车小汽车BC观测点例题4．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过24km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？例题5如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.练习5:解：如图2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2设水深AC=x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+1.52=（x+0.5）2解之得x=2.故水深为2米.代王中学教学课件例题6、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：（3x）2+（4x）2＝202化简得x2＝16；∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x2＝96总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。例题7、一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?练习6:代王中学教学课件【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ，与地面交于H．解：OC＝1米(大门宽度一半)，OD＝0.8米（卡车宽度一半）在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD＝＝０.６米，CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．=（一）用勾股定理求两点之间的距离问题例题8、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。（1）求A、C两点之间的距离。（2）确定目的地C在营地A的什么方向。类型三：勾股定理的实际应用练习7:解析：（1）过B点作BE//AD∴∠DAB=∠ABE=60°∵30°+∠CBA+∠ABE=180°∴∠CBA=90°即△ABC为直角三角形由已知可得：BC=500m，AB=由勾股定理可得：所以（2）在Rt△ABC中，∵BC=500m，AC=1000m∴∠CAB=30°∵∠DAB=60°∴∠DAC=30°即点C在点A的北偏东30°的方向代王中学教学课件（二）用勾股定理求最短问题例题9如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．练习8:解：如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm，根据勾股定理得∴AC＝＝＝≈１０．７７（cm）（勾股定理）．答：最短路程约为１０．７７cm．代王中学教学课件利用勾股定理作长为的线段练习9:例、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。思路点拨：要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题练习10:解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。∵(a-3)2≥0,(b-4)2≥0,(c-5)2≥0。∴a=3，b=4，c=5。∵32+42=52,∴a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。代王中学教学课件【变式】在数轴上表示的点。看作是直角三角形的斜边，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。解析：可以把练习11:四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。练习12:【答案】：连结AC∵∠B=90°，AB=3，BC=4∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）∴AC=5∵AC2+CD2=169，AD2=169∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？练习13:思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解析：作AB⊥MN，垂足为B。在RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°，AP＝160，∴AB＝AP＝80。（在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）∵点A到直线MN的距离小于100m,∴这所中学会受到噪声的影响。同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100(m)，BD＝60(m),∴CD＝120(m)。拖拉机行驶的速度为:18km/h＝5m/st＝120m÷5m/s＝24s。答：拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100(m)，由勾股定理得：BC2＝1002-802＝3600,∴BC＝60。如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD．练习14:解：连接AD．因为∠BAC=90°，AB=AC．又因为AD为△ABC的中线，所以AD=DC=DB．AD⊥BC．且∠BAD=∠C=45°．因为∠EDA+∠ADF=90°．又因为∠CDF+∠ADF=90°．所以∠EDA=∠CDF．所以△AED≌△CFD（ASA）．所以AE=FC=5．同理：AF=BE=12．在Rt△AEF中，根据勾股定理得：，所以EF=13。如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。练习15:16、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为________A6cm2B8cm2C10cm2D12cm2ABEFDC练习16:Sd22dSd2dSd222dSd22dSd17、直角三角形的面积为，斜边上的中线长为，则这个三角形周长为（）（B）（C）（D）（A）c练习18:解：设两直角边长为X和Y因斜边上的中位线为d则斜边长为2d则X²+Y²＝（2d）²＝4d²因三角形的面积为S则XY/2＝SXY＝2S则（X+Y）²＝X²+Y²+2XY＝4d²+4S＝4（d²+S）X+Y＝2√（d²+S）则三角形的周长＝X+Y+2d＝2√（d²+S）+2d代王中学教学课件ABCD∠A=600,∠B=∠D=900,AB=4,CD=2,求S四边形ABCD.练习19:ABCDE（小方格的边长为1厘米）练习17:代王中学教学课件已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。求：四边形ABCD的面积。练习20:RtABC90,,45BACACABDAE3BD4CEDE如图所示，在中,,且,,求的长.练习21: