第三节刚度矩阵

1第三节刚度矩阵——节点载荷与节点位移之间的关系一、单元刚度矩阵1.单元刚度矩阵xiRyiRxjRyjRxmRymRijmxy单元e是在节点力作用下处于平衡。节点i的节点力为TixiyiRRR（i,j,m轮换）则单元e的节点力列阵为TeTTTmijTxmymxiyixjyjRRRRRRRRRR单元应力列阵为Texyxy2假定弹性体的所有节点都产生一虚位移，单元e的三个节点的虚位移为*******eTmmiijjuvuvuv单元虚应变列阵为****Txyxy参照式（3-7），则单元虚应变为**eeB作用在弹性体上的外力在虚位移上所做的功为：*eTeR单元内的应力在虚应变上所做的功为：*Tetdxdy根据虚位移原理，可得单元的虚功方程**eTTeeRtdxdy或**eTTTeeBRtdxdy3故有eTBRtdxdy将式（3-10）代入，的eeeTTDBDBRBBtdxdytdxdy（3-27）简记为eeekR（3-29）--------上式表征单元节点力与节点位移之间的关系，称为单元刚度方程（单元平衡方程）其中TeDBBktdxdy（3-28）ek称之为单元刚度矩阵（简称为单刚），是66矩阵。如果单元的材料是均质的，矩阵D中的元素也是常量，且在三角形常应变的情况下，矩阵B中的元素也是常4数，当单元的厚度也是常数时，注意到dxdy，于是单元刚度矩阵可简化为TeBDBtk（3-30）将单元刚度矩阵按节点号写成分块矩阵形式：66eiiijimjijjjmmmmimjkkkkkkkkkk（3-31）其中任一子块rsk(r，s=i，j，m）是一个2×2子矩阵，为TrsrskBDBt(r，s=i，j，m）（1）对于平面应力问题将B和平面应力问题的弹性矩阵D代入，得TrsrskBDBt21122114122rsrsrsrsrsrsrsrsbbccbccbEtcbbcccbb(r，s=i，j，m）（3-32）5（2）对于平面应变问题将B和平面应变问题的弹性矩阵D代入，得12122112114112121212121erskbbccbccbrsrsrsrsEtcbbcccbbrsrsrsrs(r,s=i，j，m）（3-33）（注：是将式（3-32）中的,E分别换成21E和1）2.单元刚度矩阵的性质（1）ek的物理意义式（3-29）可完整写为131415161112212223242526333435363132434445464142555152535456616263646iijjmmeUkkkkkkVkkkkkkkkkkUkkkkkkkkVkkkkkkUkkkkkV566iijjmmeuvuvukv可见每个节点在x和y方向上有二个平衡方程，3个节点共有六个平衡方程。单元刚度矩阵ek中的任一元素称为刚度系数，其物理意义为：6ijk-----当单元的第j个节点有单位位移，而其它节点位移为零时，需在单元第i个节点位移方向上施加的节点力的大小。例如，23k表示是第3个节点有水平（x）方向单位位移（即31u）时，而其它节点位移分量均为零时，在第2个节点所引起的铅垂（y）方向的节点力。（2）单元刚度矩阵只取决于单元形状，大小，方向和弹性常数，而与单元的位置无关。即ek不随单元坐标平移而改变，这叫单元刚度的平移原理。aaaijmijmijmijm123456①②③④例如图示结构，有(1)(3)kk另外，可以证明(1)(2)BB则有(1)(2)kk即单元旋转180后，单元刚度矩阵相等。这是单元刚度旋转原理。（3）单元刚度矩阵是对称矩阵。因为TekBDBt所以有7TTeTtkBDBTTTTBDBtTBDBtek（4）单元刚度矩阵是奇异矩阵。即0ek因为eeeRk当节点位移已知时，节点力是唯一确定的，而eR已知时，e不能唯一确定，因为单元没有支承，可以产生任意的刚体位移。根据上述性质：对于上图结构，在节点力为零时，单元仍可产生刚体位移，即0111213141516Ukukvkukvkukviiijjmm此时0uuuuijm，0vvvvijm，单元产生刚体位移0u，0v为任意的。故有011131501214160kkkukkkv由于,00uv的任意性，则0111315kkk，0121416kkk从而得80111315121416kkkkkk同理可得：单元刚度矩阵任意一行（列）元素之和为零。（5）单元刚度矩阵主对角线上的元素恒为正。即0(1,2,,6)iiki9二、整体分析假设弹性体被分成m个单元和n个节点，对每一个单元进行前面的运算，则得到m组型如eeekR的方程。把这些方程集合起来，便可得到表征整体弹性体平衡的刚度方程：212122nnnnkR（3-37）式中1.21n-------整体结构的节点位移列阵，是由各节点位移按节点号码从小到大顺序排列组成的，即12TTTTn其中Tiiiuv（i=1,2，…，n）101234xy①②ijmijmP2P3P例如图示结构有123411223344TTTTTTuvuvuvuv2.21nR-------整体结构的节点载荷列阵，是由各节点载荷按节点号码从小到大顺序排列组成的，即12TTTTnRRRR其中TiixiyRRR（i=1,2，…，n）例如图示结构有1111443124032TxyxyTTTTPPRRPRRRRRRR2.22nnk-------整体结构的刚度矩阵（总刚）（1）22nnk的组集（“对号入座”法）22mennekk例图示结构有单元1222421(1)424441121411iiijimjijjjmmmmimjkkkkkkkkkkkkkkkkkkk单元2444243(2)242223343233iiijimjijjjmmmmimjkkkkkkkkkkkkkkkkkkk注：在单元刚度矩阵中，各子块的下标表示该子块在总刚中的位置。12则总刚为(1)(1)(1)111214(1)(1)(2)(2)(1)(2)212222232424(2)(2)(2)323334(1)(1)(2)(2)(1)(2)4142424344448800kkkkkkkkkkkkkkkkkkk（2）总刚的性质ⅰ.整体刚度矩阵的物理意义K中每一列元素的物理意义为：欲使弹性体的某一个节点在坐标轴方向发生单位位移，而其它节点都保持为零状态，在各节点上所需要加施加的节点力。由式可以看出，令节点1在坐标轴x方向有单位位移，即11u，而其余的节点位移为零时，即v1=u2=v2=u3=v3=······=u2n=v2n=0，这样就可得到节点载荷列阵等于总刚k的第一列元素组成的列阵，即…………112211213141(21)1(2)1TnxnyxyxyTnnRRRRRRKKKKKKⅱ.总刚k是对称矩阵ⅲ.总刚k是奇异矩阵13ⅳ.总刚k主对角线上的元素恒为正，即0(1,2,,2)iikinⅴ.总刚k是一个稀疏矩阵。若遵守一定的节点编号规则，则非零元素集中在主对角线附近呈带状分布。单元越多，总刚k越稀疏。0,0/rsrsrsk同属于一个单元的两个节点号码非零元素集中在主对角线两侧，在包括对角线元素在内的半个带形区域中，具有最多元素的数目称为最大半带宽（半带宽），用B表示：2n2nBB=（max{单元节点号码的最大差值}+1）×节点自由度数14半带宽取决于节点号码的最大差值。半带宽越窄，计算机的存储量就越少。所以，在划分有限元网格进行节点编号时，要采用合理的编码方式，使同一单元中两节点的号码差尽可能地小，以便使半带宽小，节省存储空间，提高计算效率。而且还可以大幅度减少求解方程所需的运算次数，其效果对大型结构显得尤为突出。1012345678912345678910（a）（b）对于图（a）B=[(7-1)+1]×2=14对于图（b）B=[(4-1)+1]×2=8ⅳ.总刚k的存储方式通常的有限元程序，一般都利用总刚的对称性和稀疏性的特点，在计算时采用：半带宽存储-------------只存储上半带的元素一维变带宽存储分块一维变带宽存储