二次函数根与系数关系专题

二次函数根与系数关系【知识归纳】1.一元二次方程的两根与系数之间的关系为：，.2.利用跟与系数的关系与方程的两根相关的问题转化为与系数相关的方程或不等式.3.求出参数的值后，一定要检查其合理性，即是否满足且.4.构建二次项系数为1的一元二次方程的基本方法为：①以，为根的一元二次方程为：；②如果，，那么以a,b为根的方程为.类型一、求对称式的值例1、已知是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）（2）（3）（4）类型二、已知根求方程中的参数例1、若方程的一个根为，求方程的另一根和c的值.练1、已知关于x的方程的两根a,b满足条件，求k的值．类型三、根系关系+根的定义例1、已知a,b是方程的两个实数根，的值为例2、已知，是方程的两根，求的值.练1、已知a、b是一元二次方程的两个实根，求的值.练2、已知，是方程的两根，求的值.类型四、根系关系中的隐含条件例1、已知a,b是方程的两根，则=___________练1、已知a,b是方程的两根，求的值.ax2+bx+c=0x1+x2=-bax1x2=caa¹0∆³0x1x2x2-(x1+x2)x+x1x2=0a+b=mab=nx2-mx+n=0x1,x22x2-3x-5=0(x1-x2)2x1-x2x12-x22(x1-2)(x2-2)x2-4x+c=02+3x2-13x+k=0a-3b=1x2+2x-5=0a2+ab+2ax1x2x2+3x+1=0x13+8x2+20x2-2x-1=0x13+2x22+x2-3x1x2x2+x-3=0x13-4x22+19x2+3x+1=0aba+babx2+5x+2=0ba+ab类型五、根系关系求参数例1、已知关于x的方程有两个实数根，且，求k值.练1、设是方程的两个不同的实根，，求k值.练2、已知关于x的方程有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m的值.类型六、根系关系解决根的分布例1、已知是方程的两根，且,求a的取值范围.练1、若关于x的一元二次方程的一个根大于3，一个根小于3，求k的取值范围.类型七、条件中含绝对值的处理例1、已知是一元二次方程的两个实数根，且，则m=__________练1、已知关于x的方程的两个实根满足，求k的值.类型八、利用根系关系构造新方程例1、若，且有及，则，练1、已知，且，求的值.类型九、根系关系与判别式的结合求最值例1、设，是方程的两个实根，当m为何值时，有最小值，并求出这个最小值.练1、若关于x的二次方程（m为实数）的两实根的倒数和为S，求S的取值范围.x2+(2k-3)x+k2-3=0x1,x2x1+x2=1x1+1x2x1,x2x2-2(k+1)+k2+2=0(x1+1)(x2+1)=8x2+2(m+2)x+m2-5=0x1,x2ax2+(a+2)x+9a=0x11x2x2-(2k-3)x+(2k-4)=0x1,x24x2-(3m-5)x-6m2=0x1x2=32x2-(k+2)x+14k2+1=0x1,x2(x1x2)x1+x2=3ab¹15a2+2001a+9=09b2+2011b+5=0ab=a+1b=2m2-5m-1=01n2+5n-2=0m¹n1m+1nx1x22x2-4mx+2m2+3m-2=0x12+x22(m2-4)x2+(2m-1)x+1=0【知识总结】思想：转化思想，分了思想，方程思想，整体思想.方法：1.利用跟与系数的关系将于一元二次方程的根有关的问题转化为与系数相关的式子，结合二次项系数和判别式求值或求取值范围2.由方程的两根，构建二次项系数为1的一元二次方程.3.与根的符号相关的问题，一般先转化为+和的符号问题，列不等式求解.a¹0∆³0x1x2x2-(x1+x2)x+x1x2=0x1x2x1x2