必修一函数的定义域、值域、解析式方法分析

抽象函数的定义域1.已知)(xf的定义域，求复合函数][xgf的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(xf的定义域为bax,，求出)]([xgf中bxga)(的解x的范围，即为)]([xgf的定义域。2.已知复合函数][xgf的定义域，求)(xf的定义域方法是：若][xgf的定义域为bax,，则由bxa确定)(xg的范围即为)(xf的定义域。3.已知复合函数[()]fgx的定义域，求[()]fhx的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由][xgf定义域求得xf的定义域，再由xf的定义域求得][xhf的定义域。4.已知()fx的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。例1已知函数()fx的定义域为15，，求(35)fx的定义域．分析：若()fx的定义域为axb≤≤，则在()fgx中，()agxb≤≤，从中解得x的取值范围即为()fgx的定义域．本题该函数是由35ux和()fu构成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量，由于()fx与()fu是同一个函数，因此这里是已知15u≤≤，即1355x≤≤，求x的取值范围．解：()fx的定义域为15，，1355x≤≤，41033x≤≤．故函数(35)fx的定义域为41033，．例2已知函数2(22)fxx的定义域为03，，求函数()fx的定义域．分析：若()fgx的定义域为mxn≤≤，则由mxn≤≤确定的()gx的范围即为()fx的定义域．这种情况下，()fx的定义域即为复合函数()fgx的内函数的值域。本题中令222uxx，则2(22)()fxxfu，由于()fu与()fx是同一函数，因此u的取值范围即为()fx的定义域．解：由03x≤≤，得21225xx≤≤．令222uxx，则2(22)()fxxfu，15u≤≤．故()fx的定义域为15，例3.函数定义域是，则的定义域是（）A.B.C.D.分析：已知的定义域，求的定义域，可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域解：先求的定义域的定义域是，即的定义域是，再求的定义域的定义域是，故应选A变式训练：已知函数f(2x）的定义域是［-1，1］，求f(log2x)的定义域.分析：先求2x的值域为M则log2x的值域也是M，再根据log2x的值域求定义域。解∵y=f(2x)的定义域是［-1，1］，即-1≤x≤1,∴21≤2x≤2.∴函数y=f(log2x)中21≤log2x≤2.即log22≤log2x≤log24,∴2≤x≤4.故函数f(log2x)的定义域为［2，4］例4若()fx的定义域为35，，求()()(25)xfxfx的定义域．分析：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．解：由()fx的定义域为35，，则()x必有353255xx，，≤≤≤≤解得40x≤≤．所以函数()x的定义域为40，．变式训练：已知函数的定义域是，求的定义域。分析：分别求f(x+a)与f(x-a)的定义域，再取交集。解：由已知，有，即函数的定义域由确定函数的定义域是例5若函数f(x+1)的定义域为[－21，2]，求f(x2)的定义域．分析：已知f(x+1)的定义域为[－21，2]，x满足－21≤x≤2，于是21＜x＋1＜3，得到f(x)的定义域，然后f(x2)的定义域由f(x)的定义域可得．解：先求f(x)的定义域：由题意知－21≤x≤2，则21＜x＋1＜3，即f(x)的定义域为[21，3]，再求f[h(x)]的定义域：∴21＜x2＜3，解得－3＜x＜－22或22＜x＜3．∴f(x2)的定义域是{x|－3＜x＜－22或22＜x＜3}．的定义域由f(x)的定义域可得．解：先求f(x)的定义域：由题意知－21≤x≤2，则21＜x＋1＜3，即f(x)的定义域为[21，3]，再求f[h(x)]的定义域：∴21＜x2＜3，解得－3＜x＜－22或22＜x＜3．∴f(x2)的定义域是{x|－3＜x＜－22或22＜x＜3}．求函数值域常用的方法1、直接法——从自变量x的范围出发，推出y＝f(x)的取值范围；2、二次函数法(配方法)——配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。3、分离常数法——形如)0(abaxdcxy的函数，求出y的取值范围；4、换元法——形如dcxbaxy的函数点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值,确定原函数的值域，要注意换元后自变量的取值范围。5、反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。点拨：先求出原函数的反6、判别式法。判别式法是求二次分式函数的基本方法之一，即先去分母，把函数转化成关于x的二次方程f(x，y)＝0，因为方程有实根，所以判别式△≥0，通过解不等式求得原函数的值域。需注意的是判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内。7、不等式法。不等式法是利用基本不等式：a＋b≥2(a、b∈R＋)，是在指定区间上求二次分式函数的基本方法之一，当二次分式函数在指定区间上求值域时可考虑用不等式法。用不等式法求值域，要注意均值不等式的使用条件：“一正、二定、三相等”。8、单调性法。单调性法是通过确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域的方法。类型一：一次分式型1.y=(a0)型例１求函数y=的值域。解法一：分离常数法。将y=转化为y=（k1,k2为常数），则yk1解：∵y==，∴y。解法二：反函数法。通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。解：反解y=得x=，对调y=(x)，∴函数y=的值域为y。类型二：二次分式型１.y=(a、d不同时为0)，x∈R型用判别式法：先去分母，得到含参数y的二次方程f(x)=0,根据判别式≥0（=f(y)）,即可求出值域。例2求函数y=的值域。解：由y＝得yx2－3x＋4y＝0。当y＝0时，x＝0，当y≠0时，由△≥0得-≤y≤。∵函数定义域为R，∴函数y＝的值域为[-，]。说明：判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内，但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域，否则就会放大值域。2.y=(a、d不同时为0)，指定的区间上求值域型。例５求（x）的值域。分析：因为x，所以若用判别式法，可能会放大其值域。可以考虑使用均值定理解题。解：∵x，∴5-4x0,0。∴=1-4x+=[(5-4x)+]-4≥2-4=-2，∴原函数的值域为。例６求的值域。错解：=≥2。分析：在使用均值定理时一定要注意使用条件“一定、二正、三相等”，显然上述解法中和不能相等，“相等”条件不能成立。所以不能使用均值定理。但若用判别式法又无法解决根式问题，此时可考虑借函数的单调性求值域。解：用单调性法=，令=t，显然t≥2，则y=t+(t≥2)，任取2≤t1≤t2,则f(t1)=t1+,f(t2)=t2+，f(t1)-f(t2)=(t1+)-(t2+)=(t1-t2)(1-)，∵2≤t1≤t2∴t1-t20,t1·t2≥4,1-0，∴f(t1)-f(t2)=(t1-t2)(1-)0。∴f(t1)f(t2)，即函数y=t+在t≥2上单调递增。∴当t=2、即=2、x=0时，ymin=，∴原函数的值域为。三．解析式的求法1.配凑法例1.已知：23)1(2xxxf，求f(x)；解因为15)1(23)1(22xxxxxf65)(6)1(5)1(22xxxf，xx所以例2、已知：221)1(xxxxf，求)(xf。解：2)1(1)1(222xxxxxxf∴)22(2)(2xxxxf或2.换元法例1.已知：xxxf2)1(，求f(x);解令2)1(,1,1txttx即则则1)1(2)1()(22ttttf所以)1(1)(2xxxf例2、已知：11)11(2xxf，求)(xf。解：设xt11，则1t，11tx，代入已知得tttttf21)1(1111)(222∴)1(2)(2xxxxf注意：使用换元法要注意t的范围限制，这是一个极易忽略的地方。3待定系数法例1.已知：f(x)是二次函数，且f(2)=-3,f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)。解（1）设则)0(,)(2acbxaxxf∵3)0(,7)2(,3)2(fff∴3724324ccbacba解理3121cba∴321)(2xxxf4.赋值（式）法例1、已知函数)(xf对于一切实数yx,都有xyxyfyxf)12()()(成立，且0)1(f。(1)求)0(f的值；(2)求)(xf的解析式。解：（1）取0,1yx，则有1)101()0()01(ff2202)1()0(ff（2）取0y，则有xxfxf)10()0()0(.整理得：2)(2xxxf5、方程法例1、已知：)0(,31)(2xxxfxf，求)(xf。解：已知：,31)(2xxfxf①用x1去代换①中的x得:xxfxf3)()1(2②由①×2－②得：)0(12)(xxxxf.