牛顿运动定律的临界问题

牛顿第二定律的应用——临界问题临界状态：物体由某种物理状态变化为另一种物理状态时，中间发生质的飞跃的转折状态，通常称之为临界状态。临界问题：涉及临界状态的问题叫做临界问题。例题分析例1．在水平向右运动的小车上，有一倾角θ=370的光滑斜面，质量为m的小球被平行于斜面的细绳系住而静止于斜面上，如图所示。当小车以（1）a1=g,(2)a2=2g的加速度水平向右运动时，绳对小球的拉力及斜面对小球的弹力各为多大？θa解：GFNF当a=gcotθ=4g/3时，支持力FN=0小球即将脱离斜面则沿x轴方向Fcosθ-FNsinθ=ma沿y轴方向Fsinθ+FNcosθ=mgθ取小球为研究对象并受力分析建立正交坐标系将θ=370、a1=g、a2=2g分别代入得F1=1.4mgF2=2.2mgFN1=0.2mgFN2=-0.4mg当小车加速度a4g/3时，小球已飘离斜面，如图所示得F=mGFmaθa将a2=2g代入得F2=mg[小结]相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是相互作用的弹力为零。拓展：上述问题中，若小车向左匀加速运动时，试求加速度a3=g时的绳中张力。θaFNGF[小结]相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是相互作用的弹力为零。拓展：上述问题中，若小车向左匀加速运动时，试求加速度a3=g时的绳中张力。解：设绳中的拉力为零时，小车的加速度为a，此时小球的受力如图θaFNGma而a3=g，故绳已松弛，绳上拉力为零得a=gtanθ=3g/4解决临界问题的基本思路（1）认真审题，仔细分析研究对象所经历的变化的物理过程，找出临界状态。（2）寻找变化过程中相应物理量的变化规律，找出临界条件。（3）以临界条件为突破口，列临界方程，求解问题。[小结]绳子松弛的临界条件是：绳中拉力为零。练习1：A、B两个滑块靠在一起放在光滑水平面上，其质量分别为2m和m,从t=0时刻起，水平力F1和F2同时分别作用在滑块A和B上，如图所示。已知F1=（10+4t）N,F2=(40-4t)N,两力作用在同一直线上，求滑块开始滑动后，经过多长时间A、B发生分离？ABF2F1解：由题意分析可得两物体分离的临界条件是：两物体之间刚好无相互作用的弹力，且此时两物体仍具有相同的加速度。分别以A、B为研究对象，水平方向受力分析如图由牛顿第二定律得F1=maF2=2ma则F2=2F1即(40-4t)=2(10+4t）解得t=5/3(s)BBF1BAF2aa例2、有一质量M=2kg的小车置于光滑水平桌面上，在小车上放一质量m=4kg的木块，动摩擦因素µ=0.2,现木块施加F=30N,如图所示，则小车的加速度为多少？则两者保持相对静止的最大加速度为am=fm/M=6m/s2FmM解：当木块与小车之间的摩擦力达最大静摩擦力时，对小车水平方向受力分析如图Mfm再取整体为研究对象受力如图，mM而F=30NFm木块与小车保持相对静止Mf滑则得与两者保持相对静止对应的最大拉力Fm=(M+m)am=36N故系统的加速度a=F/(M+m)=5m/s2Fm[小结]存在静摩擦的连接系统，当系统外力大于最大静摩擦力时，物体间不一定有相对滑动；相对滑动与相对静止的临界条件是：静摩擦力达最大值解决临界问题的基本思路（1）认真审题，仔细分析研究对象所经历的变化的物理过程，找出临界状态。（2）寻找变化过程中相应物理量的变化规律，找出临界条件。（3）以临界条件为突破口，列临界方程，求解问题。三类临界问题的临界条件（1）相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是：相互作用的弹力为零。（2）绳子松弛的临界条件是：绳中拉力为零（3）存在静摩擦的连接系统，当系统外力大于最大静摩擦力时，物体间不一定有相对滑动，相对滑动与相对静止的临界条件是：静摩擦力达最大值练习：如图，在光滑的地面上有小车A，其质量为mA=2千克，小车上放一物体B，质量mB=1千克，A、B间有摩擦，若给B施加一水平推力F1（如图甲所示），当F1逐渐增大到稍大于3牛时B开始相对于A滑动；若撤去F1，对A施加一个水平推力F2（如图乙所示），要使B不相对于A滑动，F2的最大值是多少？F1BA甲F2BA乙例1.如图，质量分别为m、M的A、B两木块叠放在光滑的水平地面上，A与B之间的动摩擦因数为μ。若要保持A和B相对静止，则施于A的水平拉力F的最大值为多少？若要保持A和B相对静止，则施于B的水平拉力F的最大值为多少？若要把B从A下表面拉出，则施于B的水平拉力最小值为多少？mMBAm解：⑴设保持A、B相对静止施于A的最大拉力为FmA,此时A、B之间达到最大静摩擦力μmg，对于整体和物体B，分别应用牛顿第二定律aMmFmA)(①Mamg②联立①②两式解出MgMmmFmA)(FmAmMBAm量变积累到一定程度，发生质变，出现临界状态．⑵设保持A、B相对静止施于B的最大拉力为FmB,此时A、B之间达到最大静摩擦力μmg，对于整体和物体A，分别应用牛顿第二定律FmBmMBAmaMmFmB)(①mamg②联立①②两式解出gMmFmB)(⑶若要把B从A下表面拉出，则施于B的水平拉力的最小值跟保持A、B相对静止施于B的最大拉力为FmB物理意义相同．答案同⑵理解临界状态的“双重性”整体法和隔离法相结合例2.如图所示，mA=1kg,mB=2kg,A、B间的最大静摩擦力为5N,水平面光滑，用水平力F拉B，当拉力大小分别为F1=10N和F2=20N时，A、B的加速度各为多大？mABF解：假设拉力为F0时，A、B之间的静摩擦力达到5N，它们刚好保持相对静止．对于整体和物体A，分别应用牛顿第二定律ammFBA)(0①amfAm②联立①②两式解出NF150⑴当F=10N＜15N时,A、B一定相对静止，对于整体关键牛顿第二定律2/3.3smmmFaaBABA⑵当F=20N＞15N时,A、B一定相对滑动，对于A和B分别应用牛顿第二定律2/5smmfaAmA2/5.7smmfFaBmBA、B间的静摩擦力达到5N时，一方面它们刚好保持相对静止具有相同的加速度；另一方面它们刚好开始滑动，它们之间的摩擦力按滑动摩擦力求解．例3.如图,车厢中有一倾角为300的斜面,当火车以10m／s2的加速度沿水平方向向左运动时,斜面上的物体m与车厢相对静止,分析物体m所受摩擦力的方向．解1：m受三个力作用，重力mg、弹力N、静摩擦力f．f的方向难以确定．我们先假设这个力不存在，那么如图，mg与N只能在水平方向产生mgtgθ的合力，此合力只能产生tan300=g的加速度，小于题目给定的加速度，故斜面对m的静摩擦力沿斜面向下．33解2:假定m所受的静摩擦力沿斜面向上．将加速度a正交分解，沿斜面方向根据牛顿定律有mgsin300一f=macos300说明f的方向与假定的方向相反，应是沿斜面向下．0)31(5mf300例4.如图所示,把长方体切成质量分别为m和M的两部分，切面与底面的夹角为θ,长方体置于光滑的水平地面，设切面亦光滑，问至少用多大的水平推力推m，m才相对M滑动？FMmθMmθmgFθmaNFsin1②0cos1mgN③解:设水平推力为F时，m刚好相对M滑动．对整体和m分别根据牛顿第二定律amMF)(①联立①②③式解出使m相对M相对滑动的最小推力MmgmMFtan)(⑴整体法和隔离法相结合．⑵动态分析临界状态，从两个方面理解临界状态．例5.如图，一细线的一端固定于倾角为450的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴以质量为m的小球，⑴.当滑块至少以多大加速度向左运动时，小球对滑块的压力为零？⑵.当滑块以加速度a=2g向左运动时，线中张力多大？AP450amga04500045tanmamggga0045tan解：⑴根据牛顿第二定律得⑵a=2ga0,小球离开斜面，设此时绳与竖直方向的夹角为α,因此当滑块至少以加速度g向左运动时，小球对滑块的压力为零.mgαamgamgmT52222关键是找出装置现状（绳的位置）和临界条件，而不能认为不论α多大，绳子的倾斜程度不变．例6．质量为m的小物块，用轻弹簧固定在光滑的斜面体上，斜面的倾角为θ，如图所示。使斜面体由静止开始向右做加速度逐渐缓慢增大的变加速运动，已知轻弹簧的劲度系数为k。求：小物块在斜面体上相对于斜面体移动的最大距离。θθ解：静止时物体受力如图示mgkx1N向右加速运动时aθsin1mgkx①cossinmamgkx②sincosmaNmg③随a增大，弹簧伸长，弹力F增大，支持力N减小，直到N=0时，为最大加速度。sincos212kmgxxθmgθasin2mgkx④联立①④两式解出小物块在斜面体上相对于斜面体移动的最大距离牛顿定律运用中的临界和极值问题例题分析:1、小车在水平路面上加速向右运动，一质量为m的小球用一条水平线和一条斜线（与竖直方向成30度角）把小球系于车上，求下列情况下，两绳的拉力：(1)加速度a1=g/3(2)加速度a2=2g/3BAOθ分析（1）平衡态（a=0）受力分析。(2）a由0逐渐增大的过程中，开始阶段，因m在竖直方向的加速度为0，θ角不变，T1不变，那么，加速度增大（即合外力增大），OA绳承受的拉力T2必减小。当T2=0时，m存在一个加速度a0，如图2所示，物体所受的合外力是T1的水平分力。当a.a0时，a增大，T2=0（OA绳处于松弛状态），T1在竖直方向的分量不变，而其水平方向的分量必增加（因合外力增大），θ角一定增大，设为α。受力分析如图3所示。T1T2θ图1mgT1F0mg图2T1mgα图3当T2=0时，如图2所示，F0=tgθmgma0=tgθmga0=tgθg。当aa0时，T2≠0，T1sinθ-T2=ma(1)T1COSθ=mg(2)（如图1）当aa0时，T2=0，（松弛状态）T1sinα=ma(1)T1cosα=mg(2)tgα=a/g（如图3)T1F0mg图2T1T2θ图1mgT1mgα图3牛顿定律运用中的临界问题例题：2、质量m=1kg的物体，放在θ=370的斜面上，物体与斜面的动摩擦因数μ=0.3，要是物体与斜面体一起沿水平方向向左加速运动，则其加速度多大？300图1分析：讨论涉及静摩擦力的临界问题的一般方法是：1、抓住静摩擦力方向的可能性。2、物体即将由相对静止的状态即将变为相对滑动状态的条件是f=μN（最大静摩擦力）。本题有两个临界状态，当物体具有斜向上的运动趋势时，物体受到的摩擦力为最大静摩擦力；当物体具有斜向下的运动趋势时，物体受到的摩擦力为最大静摩擦力。300图1当物体具有斜向下的运动趋势时，受力分析如图2所示，sin300N1-f1cos300=ma0(1)f1sin300+N1cos300=mg(2)f1=μN1(3)a01=？当物体具有斜向上的运动趋势时，受力分析如图3所示，N2sin300+f2cos300=ma0(1)N2cos300=mg+f2sin300(2)f2=μN2(3)a02=？（求出加速度的取值范围）xyf1N1mg图2图3牛顿定律应用•在应用牛顿定律解决动力学问题中，当物体的加速度不同时，物体可能处于不同状态，特别是题目中出现“最大”.“最小”.“刚好”.“恰好”等词语时，往往出现临界现象——临界问题•1解题关键：找出临界状态，确定临界条件。•2常用方法：（1）假设法•（2）极限法习题精选•例1如图所示，倾角为α的光滑斜面体上有一个小球m被平行于斜面的细绳系于斜面上，斜面体放在水平面上。•1要使小球对斜面无压力，求斜面体运动的加速度范围，并说明其方向。•2要使小球对绳无拉力，且小球相对斜面静止，求斜面体运动的加速度范围，并说明其方向。•3若已知α=60°，m=2kg,当斜面体以a=10m/s2向右做匀加速运动时，绳对小球的拉力多大？（g=10m/s2)mα解（1）假设小球对斜面刚好没压力时，受力如图甲，•Tsinα-mg=0•Tcosα=ma0•a0=g.cotα•所以斜面向右运动的加速度•a≥gcotα时，小球对斜面无压力•（2）