8.2-消元——解二元一次方程组

8.2消元——解二元一次方程组教学目标1.使学生准确理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念，并熟练地运用代入法、加减法解方程组，梳理知识，建立框架结构图.2.复习、巩固解二元一次方程组的基本思想——消元.3.通过解决实际问题，提高建模意识和分析问题的能力.4.通过方程与坐标系的联系，初步体会数形结合的直观性．5.传授数学思想与数学方法，在解决学生感性趣的实际问题的过程中，提高学习积极性．教学重点1．二元一次方程组的两种解法——代入消元法、加减消元法；2．列方程组解决实际问题．教学难点1．理解实际问题时正确寻求等量关系.2．体会几种重要的数学思想——化归思想、方程思想、数形结合的思想．在8.1节中我们已经看到，直接设两个未知数：胜x场、负y场，可以列方程组表示本章引言中问题的数量关系．如果只设一个未知数：胜x场，那么这个问题也可以用一元一次方程2x＋(10－x)＝16来解．x＋y＝10，2x＋y＝16思考上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？我们发现，二元一次方程组中第一个方程x＋y＝10可以写为y＝10－x．由于两个方程中的y都表示负的场数，所以，我们把第二个方程2x＋y＝16中的y换为10－x，这个方程就化为一元一次方程2x＋(10－x)＝16．解这个方程，得x＝6．把x＝6代入y＝10－x，得y＝４．从而得到这个方程组的解．二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程．我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．上面的解法，是把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法.例1用代入法解方程组x－y＝3，①3x－8y＝14.②分析：方程①中x的系数是１，用含y的式子表示x，比较简便．解：由①，得x＝y＋3．③把③代入②，得3(y＋3)－8y＝14．解这个方程，得y＝－1．把y＝－1代入③，得x＝2.所以这个方程组的解是x＝2，y＝－1.例2根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装(250g)两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2∶5．某厂每天生产这种消毒液22.5t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？分析：问题中包含两个条件：大瓶数∶小瓶数＝2∶5，大瓶所装消毒液＋小瓶所装消毒液＝总生产量．解：设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶．根据大、小瓶数的比，以及消毒液分装量与总生产量的数量关系，得5x＝2y，①500x＋250y＝22500000.②由①，得③.25xy把③代入②，得22500000.xx25250500解这个方程，得x＝20000.把x＝20000代入③，得y＝50000.所以这个方程的解是x＝20000，y＝50000.答：这些消毒液应该分装20000大瓶和50000小瓶.上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：练习有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛．篮球、排球队各有多少支参赛？设有x支篮球队和y只排球队参加比赛，根据题意，得x＋y＝48，10x＋12y＝520.x＝28，y＝20.解得前面我们用代入法求出了方程组思考的解．这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？这两个方程中未知数y的系数相等，②－①可消去未知数y，得x＝6．把x＝6代入①，得y＝４．所以这个方程组的解是②－①就是用方程②的左边减去方程①的左边，方程②的右边减去方程①的右边．x＋y＝10，①2x＋y＝16②x＝6，y＝4.联系上面的解法，想一想怎样解方程组思考从上面两个方程组的解法可以看出：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法.3x＋10y＝2.8，15x－10y＝8.例3用加减法解方程组分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相等，直接加减这两个方程不能消元．我们对方程变形，使得这两个方程中某个未知数的系数相反或相等．解：①×３，得9x＋12y＝48．③②×2，得10x－12y＝66．④3x＋4y＝16，①5x－6y＝33.②③＋④，得19x＝114，x＝6．把x＝6代入①，得3×6＋4y＝16，4y＝－2，y＝－.21所以这个方程组的解是x＝6，y＝－.21例４2台大收割机和5台小收割机同时工作2h共收割小麦3.6hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作5h共收割小麦8hm2．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？分析：如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦xhm2和yhm2，那么2台大收割机和5台小收割机同时工作1h共收割小麦hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作1h共收割小麦hm2．由此考虑两种情况下的工作量．解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦xhm2和yhm2．根据两种工作方式中的相等关系，得方程组2(2x＋5y)＝3.6，5(3x＋2y)＝8.4x＋10y＝3.6，①15x＋10y＝8.②去括号，得②－①，得11x＝4.4．解这个方程，得x＝0.4．把x＝0.4代入①，得y＝0.2．因此，这个方程组的解是x＝0.4，y＝0.2.答：1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦0.4hm2和0.2hm2.上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的两种解法，它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程，只是消元的方法不同．我们应根据方程组的具体情况，选择适合它的解法．练习运输360t化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；运输440t化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车．每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？设每节火车车厢平均装x吨化肥，每辆汽车平均装y吨化肥，根据题意，得6x＋15y＝360，8x＋10y＝440.x＝50，y＝4.解得再见！