2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题25解题规范与评分细则

解题规范与评分细则1．若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值的和为________．解析：f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)(x0)．当a≤0时，f′(x)0，f(x)在(0，＋∞)上递增，又f(0)＝1，∴f(x)在(0，＋∞)上无零点．②当a0时，由f′(x)0解得xa3，由f′(x)0解得0xa3，∴f(x)在0，a3上递减，在a3，＋∞上递增．又f(x)只有一个零点，∴fa3＝－a327＋1＝0，∴a＝3.此时f(x)＝2x3－3x2＋1，f′(x)＝6x(x－1)，当x∈[－1,1]时，f(x)在[－1,0]上递增，在[0,1]上递减．又f(1)＝0，f(－1)＝－4，∴f(x)max＋f(x)min＝f(0)＋f(－1)＝1－4＝－3.答案：－32．设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．解析：(1)解：因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.所以f′(1)＝(1－a)e.由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.此时f(1)＝3e≠0.所以a的值为1.(2)解：由(1)得f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex.若a12，则当x∈1a，2时，f′(x)0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0.所以f(x)在x＝2处取得极小值．若a≤12，则当x∈(0,2)时，x－20，ax－1≤12x－10，所以f′(x)0.所以2不是f(x)的极小值点．综上可知，a的取值范围是12，＋∞.3．已知函数f(x)＝ax2＋x－1ex.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程；(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0.4.已知函数f(x)＝ln(x＋1)－ax2＋xx＋2，其中a为常数．(1)当1a≤2时，讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，求g(x)＝xln1＋1x＋1xln(1＋x)的最大值．解析：(1)函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝xx－2a＋x＋3，x－1.①当－12a－30，即1a32时，当－1x2a－3或x0时，f′(x)0，f(x)单调递增，当2a－3x0时，f′(x)0，f(x)单调递减．②当2a－3＝0，即a＝32时，f′(x)≥0，则f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．③当2a－30，即a32时，当－1x0或x2a－3时，f′(x)0，则f(x)在(－1,0)，(2a－3，＋∞)上单调递增，当0x2a－3时，f′(x)0，则f(x)在(0,2a－3)上单调递减．综上，当1a32时，f(x)在(－1,2a－3)，(0，＋∞)上单调递增，在(2a－3,0)上单调递减；当a＝32时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；当32a≤2时，f(x)在(－1,0)，(2a－3，＋∞)上单调递增，在(0,2a－3)上单调递减．(2)∵g(x)＝x＋1xln(1＋x)－xlnx＝g1x，∴g(x)在(0，＋∞)上的最大值等价于g(x)在(0,1]上的最大值．所以直线l的斜率k＝y1－y2x1－x2＝1.10．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F2(1,0)，点B1，32在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：y＝k(x－4)(k≠0)与椭圆C由左至右依次交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出定直线的方程．解析：(1)由F2(1,0)，知c＝1，由题意得a2＝1＋b2，1a2＋94b2＝1，所以a＝2，b＝3，所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)因为y＝k(x－4)，所以直线l过定点(4,0)，由椭圆的对称性知点G在直线x＝x0上．当直线l过椭圆C的上顶点时，M(0，3)，所以直线l的斜率k＝－34，由y＝－34x－，x24＋y23＝1，得x＝0，y＝3或x＝85，y＝335，所以N85，335，由(1)知A1(－2,0)，A2(2,0)，所以直线lA1M的方程为y＝32(x＋2)，直线lA2N的方程为y＝－332(x－2)，所以G1，332，所以G在直线x＝1上．当直线l不过椭圆C的上顶点时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由y＝kx－，x24＋y23＝1，得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，所以Δ＝(－32k2)2－4×(3＋4k2)·(64k2－12)＞0，得－12＜k＜12，x1＋x2＝32k23＋4k2，x1·x2＝64k2－123＋4k2，易得直线lA1M的方程为y＝y1x1＋2(x＋2)，直线lA2N的方程为y＝y2x2－2(x－2)，当x＝1时，3y1x1＋2＝－y2x2－2得2x1x2－5(x1＋x2)＋8＝0，所以k2－3＋4k2－5×32k23＋4k2＋＋4k23＋4k2＝0显然成立，所以G在直线x＝1上．11．已知平面直角坐标系内两定点A(－22，0)，B(22，0)及动点C(x，y)，△ABC的两边AC，BC所在直线的斜率之积为－34.(1)求动点C的轨迹E的方程；(2)设P是y轴上的一点，若(1)中轨迹E上存在两点M，N使得MP→＝2PN→，求以AP为直径的圆的面积的取值范围．解析：(1)由已知，kAC·kBC＝－34，即yx＋22·yx－22＝－34，所以3x2＋4y2＝24，又三点构成三角形，所以y≠0，所以点C的轨迹E的方程为x28＋y26＝1(y≠0)．(2)设点P的坐标为(0，t)当直线MN的斜率不存在时，可得M，N分别是短轴的两端点，得到t＝±63.当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋t(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由MP→＝2PN→得x1＝－2x2.①联立得y＝kx＋t，x28＋y26＝1，得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－24＝0，当Δ＞0得64k2t2－4(3＋4k2)(4t2－24)＞0，整理得t2＜8k2＋6.所以x1＋x2＝－8kt3＋4k2，x1x2＝4t2－243＋4k2，②由①②，消去x1，x2得k2＝－t2＋612t2－8.则－t2＋612t2－8＞0，t2＜8·－t2＋612t2－8＋6，解得23＜t2＜6.不妨取M(－22，0)，可求得N2，±322，此时t＝±2，由(1)知y≠0，故t2≠2.综上，23≤t2＜2或2＜t2＜6.又以AP为直径的圆的面积S＝π·8＋t24，所以S的取值范围是13π6，5π2∪5π2，7π2.12．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P－35，－45.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cosβ的值．解析：(1)解：由角α的终边过点P－35，－45，得sinα＝－45.所以sin(α＋π)＝－sinα＝45.(2)解：由角α的终边过点P－35，－45，得cosα＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－5665或cosβ＝1665.13．已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解析：(1)解：因为tanα＝43，tanα＝sinαcosα，所以sinα＝43cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝925，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－725.(2)解：因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247.因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－α＋β1＋tan2αα＋β＝－211.14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinB＝asinA＋(c－a)sinC.(1)求B；(2)若3sinC＝2sinA，且△ABC的面积为63，求b.解析：(1)由bsinB＝asinA＋(c－a)sinC及正弦定理，得b2＝a2＋(c－a)c，即a2＋c2－b2＝ac.由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝ac2ac＝12，因为B∈(0，π)，所以B＝π3.(2)由(1)得B＝π3，所以△ABC的面积为12acsinB＝34ac＝63，得ac＝24.由3sinC＝2sinA及正弦定理，得3c＝2a，所以a＝6，c＝4.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝36＋16－24＝28，所以b＝27.15．已知函数f(x)＝1＋23sinx2cosx2－2cos2x2，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)求f(A)的取值范围；(2)若A为锐角且f(A)＝2，2sinA＝sinB＋2sinC，△ABC的面积为3＋34，求b的值．解析：(1)f(x)＝3sinx－cosx＝2sinx－π6，∴f(A)＝2sinA－π6，由题意知，0Aπ，则A－π6∈－π6，5π6，∴sinA－π6∈－12，1，故f(A)的取值范围为(－1,2]．16．[2018·全国卷Ⅱ]记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值．解析：(1)解：设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－9.(2)解：由(1)得Sn＝a1＋an2·n＝n2－8n＝(n－4)2－16.所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.17．已知数列{an}是等差数列，a2＝6，前n项和为Sn，{bn}是等比数列，b2＝2，a1b3＝12，S3＋b1＝19.(1)求{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{bncos(anπ)}的前n项和Tn.解析：(1)∵数列{an}是等差数列，a2＝6，∴S3＋b1＝3a2＋b1＝18＋b1＝19，∴b1＝1.∵b2＝2，数列{bn}是等比数列，∴bn＝2n－1.∴b3＝4，∵a1b3＝12，∴a1＝3，∵a2＝6，数列{an}是等差数列，∴an＝3n.(2)由(1)得，令Cn＝bncos(anπ)＝(－1)n2n－1，∴Cn＋1＝(－1)n＋12n，∴Cn＋1Cn＝－2，又C1＝－1，∴数列{bncos(anπ)}是以－1为首项、－2为公比的等比数列，∴Tn＝－1×[1－－n]1＋2＝－13[1－(－2)n]．18．已知数列{an}满足：1a1＋2a2＋…＋nan＝38(32n－1)，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3ann，求1b1b2＋1b2b3＋…＋1bnbn＋1.解析：(1)1a1＝38(32－1)＝3，当n≥2时，因为nan＝1a1＋2a2＋…＋nan－1a1＋2a2＋…＋n－1an－1＝38(32n－1)－38(32n－2－1)＝32n－1，当n＝1，nan＝32n－1也成立，所以an＝n32n－1.(2)bn＝log3ann＝－(2