函数及基本初等函数函数的奇偶性与周期性

要点梳理1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)注：若函数f(x)不具有上述性质,则称f(x)不具有奇偶性;若函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数.例:函数f(x)=0(x∈D,D关于原点对称)是既奇又偶函数.2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性.(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和是，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是；③一个奇函数，一个偶函数的积是.相同相反奇函数偶函数奇函数（3）奇函数:f(0)=0(0在定义域中)偶函数:f(x)=f(|x|)3、函数奇偶性的判定方法（1）.根据定义判定:首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称,则函数是非奇非偶函数;若对称,再判定f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).（2）.利用定理,借助函数的图象判定:（3）.性质法判定:在公共定义域内,两奇函数之积(商)为偶函数;两偶函数之积(商)也为偶函数;一奇一偶函数之积(商)为奇函数.(注意取商时分母不为零!)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑判定f(-x)f(x)=0或判定=1.f(x)f(-x)4.一些重要类型的奇偶函数①函数f(x)＝ax＋a－x(a0且a≠1)为____函数，函数f(x)＝ax－a－x(a0且a≠1)为____函数；②函数f(x)＝loga(a0，且a≠1)为奇函数；③f(x)＝loga(x＋)(a0，且a≠1)为奇函数偶1－x1＋xx2＋1奇题型剖析题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝3－x2＋x2－3；(2)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；(3)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.思维启迪确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．解(1)由3－x2≥x2－3≥0，得x＝±3.∴f(x)的定义域为{－3,3}．又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．(2)由1－x1＋x≥1＋x≠0，得－1x≤1.∵f(x)的定义域(－1,1]不关于原点对称．∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(3)由4－x2≥|x＋3|－3≠0，得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．∴f(x)＝4－x2x＋3－3＝4－x2x.∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)是奇函数．例2判断函数f(x)＝lnx＋1－xx0，0x＝0，ln1－x＋－xx0的奇偶性．[思路]分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x0或x0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的单调性。(1)[解答]需要分三种情况讨论：①设x0，∴－x0，∴f(－x)＝ln(1＋x＋x)＝ln1x＋1－x＝－ln(x＋1－x)＝－f(x)；②设x0，∴－x0，∴f(－x)＝ln(－x＋1－－x)＝ln11－x＋－x＝－ln(1－x＋－x)＝－f(x)；③当x＝0时，f(x)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)；由①、②、③知，对x∈R有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．例3[2010·保定模拟]已知函数y＝f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意x1，x2∈R，都有f(x1·x2)＝x1f(x2)＋x2f(x1)，则对函数f(x)，下列判断正确的是()A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)为非奇非偶函数D．f(x)既是奇函数又是偶函数A[解析]令x1＝x2＝0，得f(0)＝0，令x1＝x2＝1，得f(1)＝0，令x1＝x2＝－1，得f(－1)＝0，令x1＝x，x2＝－1，得f(－x)＝－f(x)＋0，因此f(x)＝－f(－x)，所以f(x)是奇函数．1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－13B.13C.12D．－12解析依题意得a－1＝－2ab＝0，∴a＝13b＝0，∴a＋b＝13＋0＝13.B题型二函数奇偶性的性质及其应用2.[2010·江苏卷]设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a＝______.[思路]利用奇偶函数的性质，得到参数a满足的方程．－1[解析]本题考查函数的基本性质中的奇偶性，该知识点在高考考纲中为B级要求．设g(x)＝ex＋ae－x，x∈R，由题意分析g(x)应为奇函数(奇函数×奇函数＝偶函数)，∵x∈R，∴g(0)＝0，则1＋a＝0，所以a＝－1.3.若函数f(x)＝loga(x＋x2＋2a2)是奇函数，则实数a的值是________．分析由奇函数的性质可得到参数a的方程，然后求解即可．解析方法一由f(x)＋f(－x)＝0，得loga(x＋x2＋2a2)＋loga(x2＋2a2－x)＝0⇒loga2a2＝0⇒2a2＝1，因为a0，所以a＝22.方法二因为函数的定义域为全体实数，所以函数在原点有定义，则f(0)＝0，即loga2a2＝0，则2a2＝1，得a＝22.22点评若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则必有f(0)＝0.利用这个性质求解参数的取值，方便、快捷．变式．若f(x)＝12x－1＋a是奇函数，则a＝________.解析f(－x)＝12－x－1＋a＝2x1－2x＋a，f(－x)＝－f(x)⇒2x1－2x＋a＝－12x－1＋a⇒2a＝11－2x－2x1－2x＝1，故a＝12.点评不少同学想到了f(0)＝0.本题行吗？注意f(x)在x＝0处无意义，所以f(0)＝0是不成立的．124.已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则在R上f(x)＝()A．－x(x－2)B．x(|x|－2)C．|x|(x－2)D．|x|(|x|－2)答案B解析设x＜0，则－x＞0.∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x.∴f(x)＝x2－2x，x≥0，－x2－2x.x＜0，即f(x)＝x(|x|－2)．故选B.题型三抽象函数的奇偶性与单调性例1已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f(1－m)＋f(1－m2)0的实数m的取值范围．∵f(x)的定义域为[－2,2]，∴有－2≤1－m≤－2≤1－m2≤2，解得－1≤m≤3.①又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴在[－2,2]上递减，∴f(1－m)－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－mm2－1，即－2m1.②综合①②可知，－1≤m1.变式若偶函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式f(－1)f(lgx)的解集是()A．(0,10)B.110，10C.110，＋∞D.0，110∪(10，＋∞)解析因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，因为f(x)在(－∞，0)内单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)内单调递增．故|lgx|1，即lgx1或lgx－1，解得x10或0x110.点评解决本题的关键在于利用函数的奇偶性把不等式两边的函数值转化到同一个单调区间上，然后利用函数的单调性脱掉符号“f”．D例2解答下述问题：(1)设f(x)是定义在R上的偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，且满足f(－a2＋2a－5)＜f(2a2＋a＋1)，求实数a的取值范围．(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，求证：f(x)为奇函数且在定义域内单调递减．解析(1)∵f(x)为R上的偶函数，∴f(－a2＋2a－5)＝f[－(－a2＋2a－5)]＝f(a2－2a＋5)．∴不等式等价于f(a2－2a＋5)＜f(2a2＋a＋1)，∵a2－2a＋5＝(a－1)2＋4＞0，而2a2＋a＋1＝2(a＋14)2＋78＞0.∵f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，而偶函数图象关于y轴对称．∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，∴由f(a2－2a＋5)＜f(2a2＋a＋1)，得a2－2a＋5＞2a2＋a＋1⇒a2＋3a－4＜0⇒－4＜a＜1，∴实数a的取值范围是(－4,1)．(2)令x＝y＝0得f(0)＝f(0)＋f(0)⇒f(0)＝0，令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)⇒f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数；任取实数x1、x2，设x1＜x2，∴x2－x1＞0，由条件知f(x2－x1)＜0，而－f(x)＝f(－x)，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)＜0，∴f(x)在定义域R上为减函数.例3(12分)函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D.有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．规范解答解(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.[2分](2)f(x)为偶函数，证明如下：[4分]令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．[7分](3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3.[8分]由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，变形为f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．(*)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．∴不等式(*)等价于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)．[9分]又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴|(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.解得－73≤x－13或－13x3或3x≤5.∴x的取值范围是{x|－73≤x－13或－13x3或3x≤5}．[12分]f(x＋T)＝f(x)周期性(1)定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有____________，则称f(x)为周期函数，其中T称为f(x)的周期．若T中存在一个最小的正数，则称它为f(x)的____________．(2)性质：①f(x＋T)＝f(x)常常写作f＝f；②f(x)的周期为T，则函数f(wx)(w≠0)也是周期函数，且周期为____．最小正周期T|w|x＋T2x-T2112fxafxfxafx求下列函数的周期：12xabfaxfbxx已知函数y=f有则函数关于对称2,02abfaxfbx则函数关于对称,22abcaxbx若f+f=c函数关于对称12,0,0xababab函数y=f有对称轴为x=a,x=b则函数周期T=2对称中心为则函数周期为T=23,0aab关于,x=b对称,则函数的周期为T=41yfx特殊地：函数为偶函数且x=a关于对称，则函数的周期为T=2a2yfx函