相似三角形中的辅助线

•相似三角形中的辅助线•在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：例题：如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：DC=2：1，求：BE：EF的值.DABCEFE是AD的中点,连结BE并延长交AC于F,一、作平行线DABCEFn2kk解法1：过点D作CA的平行线交BF于点P，P?yynyDABCEFn解法1：过点D作CA的平行线交BF于点P，Pn2kkyy4y?y∴BE：EF=5：1.则，1AEDEFEPE,2DCBDPFBP∴PE=EFBP=2PF=4EF，所以BE=5EFDABCEFnn2k解法2：过点D作BF的平行线交AC于点Q，ykQ?y2yDABCEFnn解法2：过点D作BF的平行线交AC于点Q，Q2kk?y2y5yy∴BE：EF=5：1.，则2EADAEFDQ∴,3DCBCDQBF，EFEFEFEFDQEFBFBE563DABCEF2k解法3：过点E作BC的平行线交AC于点S，Snnk2k?kDABCEF解法3：过点E作BC的平行线交AC于点S，Snn?y5yy2kk2kDABCEFnn2k解法4：过点E作AC的平行线交BC于点T，T2k2k?k?kDABCEFnn2k解法4：过点E作AC的平行线交BC于点T，T2k2ky?y5y，则DCCTDT21∵BD=2DC，∴∴BE：EF=5：1.，DCBT25；TCBTEFBE练习：如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：DC=2：1，求AF：CF的值.DABCEFE是AD的中点,连结BE并延长交AC于F,DABCEF解法1：过点D作CA的平行线交BF于点P，Pnn2x2x2kk3xAF：CF=2：3.DABCEF解法2：过点D作BF的平行线交AC于点Q，Qnn2x2x2kkxAF：CF=2：3.DABCEF解法3：过点E作BC的平行线交AC于点S，Snnh2h4hy5y4yAF：CF=2：3.DABCEF解法4：过点E作AC的平行线交BC于点T，Tnnhh4h5y6y4yAF：CF=2：3.作平行线•例1.如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：BFCFBDCE证明：过点C作CG//FD交AB于G小结：本题关键在于AD＝AE这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。BGDACFE•例2.如图，△ABC中，ABAC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF。分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。•方法一：过E作EM//AB，交BC于点M，则△EMC∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）。EMABECACEMACABEC即，ABACEMEC同理可得EMFDBFEFDFEMBD，BDEMECEMECBD，又（为中间比），EMBDABACEFDF，ABDFACEF•方法二：如图，过D作DN//EC交BC于N则有，，BDNBACBDABDNACBDACABDN，即（比例的基本性质）ABACBDDN同理，ECFDNFECDNEFDFBDEC，而（已知）BDDNECDNECDN（为中间比），ABACEFDFABDFACEF，•1、在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。•求证：EF×BC=AC×DFDGDFBEEFDGDFADEFDGADBCACDGBCADACDFBCEFAC1、证明：过D作DG∥BC交AB于G，则△DFG和△EFB相似，∴∵BE＝AD,∴①由DG∥BC可得△ADG和△ACB相似，∴∴由①②得，∴EF×BC＝AC×DF①②1、已知点D是BC的中点，过D点的直线交AC于E,交BA的延长线于F,求证：ECAEBFAFEFBCAD利用比例式够造平行线，通过中间比得结论利用中点”倍长中线”的思想平移线段EC,使得所得四条线段分别构成两个三角形已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是高，求证：BC2=2AC·CDABCD本题的重点在于如何解决“2”倍的问题；让它归属一条线段，找到这一线段2倍是哪一线段。已知：从直角三角形ABC的直角顶点A向斜边BC引垂线，垂足为D，边AC的中点为E,直线ED与边AB的延长线交于F，求证：AB:AC=DF:AFFEABCD利用前两题的思想方法，借助中点构造中位线，利用平行与2倍关系的结论，证明所得结论找到后以比例式所在三角形与哪个三角形相似1、如图，△ABC中，AD是BC边上中线，E是AC上一点，连接ED且交AB的延长线于F点.求证：AE：EC=AF：BFACBFDE注意观察图形的特殊性，有些像全等中，旋转的基本图形，因此可以没有相互关系的成比例的四条线段转化为成比例的四条线段（通过全等找相等的线段）关键是要把成比例线段放在两个三角形中2、如图，平行四边形ABCD中，E为AB边中点，点F在AD边上，且AF：FD=1：2，EF交AC于G，求的值GCAG.GEDABCF1、在∆ABC中，AB=AC,AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB,延长BP交AC于E，交CF于F,求证：BP2=PE·PFPEABCFD在同一直线上的三条线段成比例，可以通过中间比转化，也可以通过线段相等，把共线的线段转化为两个三角形中的线段，通过相似证明。另外在证明等积式时要先转化为比例式观察相似关系，有利于证明1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，BA、CD的延长线交于E点，连结EO并延长分别交AD、BC于N、M求证：BM=CMjADBCEMNOBMANEBEABCADOCAOMCAN1、如图，AD是∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，求证：ED2=EB·ECFABCED2、如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC(ABAE),求证：∆AEF∽∆ECFECDBAF2、已知，在∆ABC中，若AB=BC,∠B=90º,AD为BC边的中线，过B作直线BP⊥AD于P交AC于E，求证：AE=2EC;∠AEB=∠CED.DABCE二、作垂线•3.如图从ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：2ACAFADAEABABCFDEABCFDENMABMACEACABAEAMAMACAEABADNACFACADAFANANACAFAD)(ANAMACANACAMACAFADAEABBCMADN2)(ACCMAMACAFADAEAB证明：过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥AC于N∴∽∴∴（1）∽∴∴（2）又∴AN=CM又（1）+（2）∴•2、中，，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：CNCMPBPA:://45BAAEPRtPFBRtPFPEPBAP::ECPEPFPEPBPAECPCNM90QNCQCN90QCMQCNCNQMCQPECRtMCNRtCNECCMEPCNCMECEPCNCMPBPA2、证明：过P作PE⊥AC于E，PF⊥CB于F，则CEPF为矩形∴PFEC∵∴∽∴∵EC=PF∴（1）在和中：CP⊥MN于Q∴又∵∴∴∽∴即由（1）（2）得（2）三、作延长线•例5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。解：延长BA、CD交于点P∵CH⊥AB，CD平分∠BCD∴CB=CP，且BH=PH∵BH=3AH∴PA：AB=1：2∴PA：PB=1：3∵AD∥BC∴△PAD∽△PBC∴：：△△SSPADPBC19∵△△SSPCHPBC12∴：△四边形SSPADAHCD27∵四边形SAHCD21∴△SPAD6SPBC△54∴△△SSHBCPBC1227•例6.如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF•解析：欲证式即由“三点定形”，ΔBFG•与ΔCFG会相似吗？显然不可能。（因为ΔBFG为RtΔ），但由E为CD的中点，∴可设法构造一个与ΔBFG相似的三角形来求解。•不妨延长GF与AC的延长线交于HFGCFBFFGECFHEDFGAEAFECFHEDFG则又ED=EC∴FG=FH又易证RtΔCFH∽RtΔGFBBFFHFGCF∴FG·FH=CF·BF∵FG=FH∴FG2=CF·BF四、作中线•例7如图，中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。DCBDBCDBCC1MACDBCBCACDCMC21221BCDCBCMCACAECRtBACRtBCBCCEAC2421ACAC32AC解：取BC的中点M，连AM∵AB⊥AC∴AM=CM∴∠1=∠C又BD=DC∴∴∽∴又DC=1MC=BC∴（1）又∽又∵EC=1∴由（1）（2）得，∴（2）∴MACDBC小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC中点M，构造与相似是解题关键如图，中，，，那么吗？试说明ABCABACBDACBCCACD223、理由？（用三种解法）方法一：如图（1），设BC中点为E，连接AE。ABACBECEAEBCAECBDCCCBDCAEC90BCACCDCEBCCEACCDCEBCBCCACD1222方法二：如图（2），在DA上截取DE=DC在△BED与△BCD中，BDCEBDEBDCDEDCBDBDBEDBCDBECCABACABCC90ABCBCEACBCBCECBCACECACCD22方法三：如图（3），过B作BE⊥BC于B，交CA的延长线于E。ABACCABCCEABCABEEABEABAEABACAEAC9090易得RtCBDRtCEBBCCDCECECABCCACD2222