相似三角形中的辅助线专题-教师版

相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例1.如图，ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：BFCFBDCEBDACFE例2.如图，△ABC中，ABAC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF。二、作垂线3.如图从ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：2ACAFADAEAB。ABCFDE三、作延长线例5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。例6.如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG2=CFBF四、作中线例7如图，ABC中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。五、综合练习题1、在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。求证：EF×BC=AC×DF2、ABC中，90ACB，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：CNCMPBPA::。3、.如图，中，，，那么吗？试说明ABCABACBDACBCCACD22理由？（用三种解法）相似三角形中的辅助线（教师版）在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例1.如图，ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：BFCFBDCEBGDACFE例1图例2图例3图证明：过点C作CG//FD交AB于G。小结：本题关键在于AD＝AE这个条件怎样使用。例2.如图，△ABC中，ABAC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF。分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。欲证，需证，而这四条线段所在的两个三角形显然ABDFACEFABACEFDF不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。方法一：过E作EM//AB，交BC于点M，则△EMC∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）。EMABECACEMACABEC即，ABACEMEC同理可得EMFDBFEFDFEMBD，又，BDECEMECEMBD（为中间比），EMBDABACEFDF，ABDFACEF方法二：如图，过D作DN//EC交BC于N，则有，，BDNBACBDABDNACBDACABDN，即（比例的基本性质）ABACBDDN同理，ECFDNFECDNEFDFBDEC，而（已知）BDDNECDNECDN（为中间比），ABACEFDFABDFACEF，二、作垂线3.如图从ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：2ACAFADAEAB。证明：过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥AC于N∴ABM∽ACE∴ACABAEAM∴AMACAEAB（1）又ADN∽ACF∴ACADAFAN∴ANACAFAD（2）（1）+（2）)(ANAMACANACAMACAFADAEAB又BCMADN∴AN=CM∴2)(ACCMAMACAFADAEAB三、作延长线例5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。解：延长BA、CD交于点P∵CH⊥AB，CD平分∠BCD∴CB=CP，且BH=PH∵BH=3AH∴PA：AB=1：2∴PA：PB=1：3∵AD∥BC∴△PAD∽△PBC∴：：△△SSPADPBC19∵△△SSPCHPBC12∴：△四边形SSPADAHCD27∵四边形SAHCD21∴△SPAD6∴SPBC△54∴△△SSHBCPBC1227例6.如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG2=CFBF解析：欲证式即FGCFBFFG由“三点定形”，ΔBFG与ΔCFG会相似吗？显然不可能。（因为ΔBFG为RtΔ），但由E为CD的中点，∴可设法构造一个与ΔBFG相似的三角形来求解。不妨延长GF与AC的延长线交于H，则ECFHEDFGAEAF∴ECFHEDFG又ED=EC∴FG=FH又易证RtΔCFH∽RtΔGFB∴BFFHFGCF∴FG·FH=CF·BF∵FG=FH∴FG2=CF·BF四、作中线例7如图，ABC中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。解：取BC的中点M，连AM∵AB⊥AC∴AM=CM∴∠1=∠C又BD=DC∴DCBDBC∴DBCC1∴MAC∽DBC∴BCACDCMC又DC=1MC=21BC∴221BCDCBCMCAC（1）又AECRt∽BACRt又∵EC=1∴BCBCCEAC2（2）由（1）（2）得，421ACAC∴32AC小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC中点M，构造MAC与DBC相似是解题关键五、综合练习题1、在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。求证：EF×BC=AC×DF题一图题二图2、ABC中，90ACB，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：CNCMPBPA::。3、.如图，中，，，那么吗？试说明ABCABACBDACBCCACD22理由？（用三种解法）图（1）图（2）图(3)参考答案：1、过D作DG∥BC交AB于G，则△DFG和△EFB相似，∴DGDFBEEF∵BE＝AD,∴DGDFADEF①由DG∥BC可得△ADG和△ACB相似，∴DGADBCAC∴DGBCADAC②由①②得，DFBCEFAC∴EF×BC＝AC×DF2、过P作PE⊥AC于E，PF⊥CB于F，则CEPF为矩形∴PF//EC∵45BA∴AEPRt∽PFBRt∴PFPEPBAP::∵EC=PF∴ECPEPFPEPBPA（1）在ECP和CNM中：CP⊥MN于Q∴90QNCQCN又∵90QCMQCN∴CNQMCQ∴PECRt∽MCNRt∴CNECCMEP即CNCMECEP（2）由（1）（2）得CNCMPBPA3、方法一：如图（1），设BC中点为E，连接AE。ABACBECEAEBCAECBDCCCBDCAEC90BCACCDCEBCCEACCDCEBCBCCACD1222方法二：如图（2），在DA上截取DE=DC。在△BED与△BCD中，BDCEBDEBDCDEDCBDBDBEDBCDBECCABACABCC90ABCBCEACBCBCECBCACECACCD22方法三：如图（3），过B作BE⊥BC于B，交CA的延长线于E。ABACCABCCEABCABEEABEABAEABACAEAC9090易得RtCBDRtCEBBCCDCECECABCCACD2222