全等三角形之手拉手模型专题

全等三角形之手拉手模型专题基本图形1、图（1）中，C点为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，AN与BM相等吗？说明理由；如图（2）C点为线段AB上一点，等边三角形ACM和等边三角形CBN在AB的异侧，此时AN与BM相等吗？说明理由；如图（3）C点为线段AB外一点，△ACM，△CBN是等边三角形，AN与BM相等吗？说明理由．分析：题中三问均是对等边三角形性质的考查以及全等三角形的证明，由已知条件，利用等边三角形的性质可找出对应边及夹角相等，证明全等，即可得到线段相等．解：（1）相等．证明如下：∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC=CM，CN=BC，又∠ACN=∠MCN+60°∠MCB=∠MCN+60°，∴∠ACN=∠MCB，∴△ACN≌△MCB，∴AN=BM．（2）相等．证明如下：∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC=CM，CN=BC又∠ACN=∠MCB，∴△ACN≌△MCB，∴AN=BM．（3）相等．证明如下：∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC=CM，CN=BC，又∠ACN=∠MCN+60°∠MCB=∠MCN+60°，∴∠ACN=∠MCB，∴△ACN≌△MCB，∴AN=BM．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三角形全等是正确解答本题的关键．变形2、（1）如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACM和△CBN，连接AN，BM．分别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF的形状，并说明理由．（2）若将（1）中的“以AC，BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰△ACM和△CBN，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．点评：（1）先求证△ACN≌△MCB，得出AN=BM，∠ANC=∠MBA，再证△NFC≌△BEC，得出CE=CF，∠BCE=∠NCF，利用等边三角形的角度60，得出∠ECF=60°，证得结论成立；（2）证明过程如上（1）中的结论只有CE=CF，而∠ECF只等于等腰三角形的顶角≠60°，得出结论不成立．解：（1）如图1，△CEF是等边三角形，理由：∵等边△ACM和△CBN，∴AC=MC，BC=NC，∠ACN=∠MCB，在△ACN和△MCB中NC＝BC∠ACN＝∠MCBAC＝MC∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN=MB，∠ANC=∠MBA，在△NFC和△BEC中，NC＝BC∠FNC＝∠EBCNF＝BE∴△NFC≌△BEC（SAS），∴EC=CF，∵∠BCE+∠ECN=60°，∠BCE=∠NCF，∴∠ECF=60°，∴△CEF是等边三角形；（2）如图2，不成立，首先∠ACN≠∠MCB，∴△ACN与△MCB不全等．如果有两个等腰三角形的顶角相等，那么结论也不成立，证明方法与上面类似，只能得到CE=CF，而∠ECF只等于等腰三角形的顶角≠60°．点评：此题综合考查等边三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点．变形3、如图，在△ABC中，已知∠DBC=60°，AC＞BC，又△ABC′、△BCA′、△CAB′都是△ABC形外的等边三角形，而点D在AC上，且BC=DC（1）证明：△C′BD≌△B′DC；（2）证明：△AC′D≌△DB′A；证明：（1）△C′BD与△ABC中，BC=DC，AB=BC′，∠C′BD=60°+∠ABD=∠ABC，∴△C′BD≌△ABC，∴C′D=AC又在△BCA与△DCB′中，BC=DC，AC=B′C，∠ACB=∠B′CD=60°，∴△BCA≌△DCB′．∴DB′=BA．∴△C′BD≌△B′DC（2）由（1）的结论知：C′D=B′C=AB′，B′D=BC′=AC′，又∵AD=AD，∴△AC′D≌△DB′A．