最佳捕鱼策略——数学建模论文

最佳捕鱼策略摘要为了实现鳀鱼持续的经济效益，可持续的捕捞方案必不可少。本文建立了最优化模型，求出了在可持续条件下最大的鳀鱼年收获量以及自然死亡率和捕捞强度系数对模型的影响，并向渔业管理部门提出的鳀鱼资源利用的政策建议。针对问题一，以一年为周期，年初各个年龄组鳀鱼的数量由上一年相关年龄组的数量决定，分别建立微分方程，得到各个年龄组鳀鱼数量与时间的关系式。以可持续条件下各个年龄组鳀鱼数量相同为约束条件，以捕捞的3、4龄鱼最大数量为目标函数建立最优化模型。采用Lingo17.0对模型进行求解，得到年初1龄鱼的数量为1110195994.1条，年初2龄鱼的数量为1010373946.5条，年初3龄鱼的数量为1010414670.2条，年初4龄鱼的数量为710395523.8条，年收获量最大值为1110887536.3克。针对问题二，由模型I得出年收获量是自然死亡率和捕捞强度系数的关系。将捕捞强度系数赋一固定值，用Matlab软件得出了在4龄鱼的捕捞强度系数为5的情况下，年收获量和自然死亡率成反向关系。针对问题三，由前述得到的年收获量与自然死亡率和捕捞强度系数的关系，运用Matlab2016求解得到当4龄鱼的捕捞强度系数(k)以0.01为步长，从0到20分布时对应的F(k)的数值，并以k的取值为横坐标，对应的F(k)为纵坐标，绘制捕获量F(m)随捕捞强度系数变化的曲线图，得出年收获量与捕捞强度系数成正向关系。最后，本文从提高捕捞技术、保护鳀鱼苗种和生存环境、开发产业链等四个方面对鳀鱼资源的综合利用提出了建议。关键词：年收获量最优化模型11问题重述和分析本题是最优化问题，此问涉及的各个变量为：每条1龄鱼、2龄鱼、3龄鱼、4龄鱼的平均重量分别是5.1g、11.6g、17.9g、23.0g，自然死亡率为0.8，各个年龄组鳀鱼产卵量情况，产卵孵化期为每年后4月，3龄鱼和4龄鱼捕捞强度系数比为0.42：1，卵的存活率等。分析此题，第一问需要解决的问题是求出在每年初各个年龄组鳀鱼数量相同的前提下，可以捕捞的3龄鱼和4龄鱼的最大条数，结合平均重量可得最大捕捞总重量。解决的思路是根据约束条件建立微分方程模型并求解。以一年为捕捞周期，为实现可持续捕捞，即要求每年初各个年龄组鳀鱼条数相同。年初1龄鱼的数量由上一年3、4龄鱼的数量决定，2龄鱼的数量由上一年1龄鱼的数量和自然死亡率决定，3龄鱼的数量由上一年2龄鱼的数量和自然死亡率决定，4龄鱼的数量与上一年3龄鱼数量、自然死亡率、捕捞强度系数决定。第二问根据自然死亡率的变动，优化模型；第三问是得出捕捞强度系数的变动对模型结果的影响；第四问提出鳀鱼捕捞方案，以使资源得到最大化利用。2问题假设（1）各个年龄组的鳀鱼到第二年都长一岁，4龄鱼在年末无留存。（2）不考虑3、4龄鱼产卵和孵化在每年后4月的实际情况。假设年末卵全部孵化完毕。（3）鳀鱼的数量随时间变化是连续型的。（4）不考虑鳀鱼在鱼塘中的空间分布情况对捕捞的实际影响3符号说明表1符号和含义符号含义thi龄鱼在t时刻的数量（i=1,2,3,4；0t1)各年龄组的鳀鱼的自然死亡率四龄鱼的捕捞强度系数产卵量三龄鱼和四龄鱼的总收获量a年初一龄鱼的数量b年初二龄鱼的数量c年初三龄鱼的数量d年初四龄鱼的数量f鳀鱼卵的成活率4模型的建立及求解4.1问题一的模型建立及求解2由题对各龄鱼t时刻数量变化进行连续性分析，即1、2、3、4龄鱼的自然死亡是连续的，3、4龄鱼的被捕获也是连续的。对于1、2龄鱼来说，其一年中数量变化只与自然死亡有关。其数量满足)1,0(;2,1);(m)(dtitNdttNii解得，21ie0tt8.0ii，；）（）（NN——①对于3、4龄鱼来说，前八个月其数量既受自然死亡的影响，也受被捕获的影响，后四个月则仅受自然死亡的影响。其数量满足：)1,32();()32,0();()42.0m()(d333ttmNttNkdttN)1,32();()32,0();()()(d444ttmNttNkmdttN解得：），（；）（；）（）（132te)32(32,0te)0()t(32-t3tk42.033mmNNN——②），（；）（；）（）（132te)32(32,0te)0()t(32-t4tk44mmNNN——③由模型假设及题意（每年开始捕捞时渔场中各种年龄组鱼群条数不变）得：3,2,1i011ii）；（）（NN——④因为假设3、4龄鱼都在八月份产卵且平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105个，3龄鱼的产卵量是4龄鱼的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼与产卵量n之比）为：n1022.11022.1f1111，)32()32(5.010109.1n435NN所以，)32()32(5.010109.1n1022.11022.1nf)0(43511111NNN——⑤3收获量为：32043203t)dt(k99.22t)dt(k42.086.17NNF——⑥F即为目标函数，式1-5为约束条件，如下所示：223334000.8(0.42)332()33(0.42)44(4=17.860.42()22.99()()(0);1,212(0);(0,)3()222();(,1)332(0);(0,)3()2()3tiimktmtmktmFkNtdtkNtdtNtNeiNetNtNetNetNtNe2)311151341132;(,1)3()(0);1,2,341.221022(0)1.109100.5()()51.221033tiitNtNiNnfNNn由Lingo17.0优化求解得最优解如图1所示，源程序见附录。由图可知，年初1龄鱼的数量为1110195986.1条，年初2龄鱼的数量为1010373913.5条，年初3龄鱼的数量为1010414655.2条，年初4龄鱼的数量为710392890.8条，当捕捞强度系数k=17.36402时，年收获量取最大值为1110887536.3克。4图1Lingo17.0运行结果4.2问题二的求解由约束条件①——⑤及目标函数⑥可得，总收获量F=F(m,k），即F是关于自然死亡率和捕捞强度系数的函数。由于问题二考虑的是自然死亡率对总收获量的影响，所以可以将k取为定值，则F成为关于m的函数，即F=F(m）。运用Matlab2016解方程组得到当m以0.01为步长，从0到1分布时对应的F(m)的数值，并以m的取值为横坐标，对应的F(m)为纵坐标，绘制总收获量F(m)5随自然死亡率m变化的曲线图如图2所示。Matlab2016源程序见附录。图2k=5时，年收获量和自然死亡率曲线图图3k=10时，年收获量和自然死亡率曲线图6图4k=15时，年收获量和自然死亡率曲线图由图像知，当捕捞强度系数k一定时，捕获量与自然死亡率大致呈反比关系，这与实际经验相符。4.3问题三的求解由前文分析已知F=F(m,k），所以当自然死亡率m一定时，有F=F（k），即捕获量F是关于捕捞强度系数k的函数。同理运用Matlab2016解方程组得到当k以0.01为步长，从0到20分布时对应的F(k)的数值，并以k的取值为横坐标，对应的F(k)为纵坐标，绘制捕获量F(m)随捕捞强度系数变化的曲线图如图3所示。Matlab2016源程序见附录。7图5m=0.2时，年收获量与捕捞强度系数的曲线图图5m=0.5时，年收获量与捕捞强度系数的曲线图8图5m=0.8时，年收获量与捕捞强度系数的曲线图由图像知，起初捕获量随捕捞强度系数的增大显著上升，然后上升趋势逐渐放缓，在捕捞强度系数k=17.36时达到最大值，最终捕获量随捕捞强度系数k增大而下降。5鳀鱼资源综合利用建议1、提升鳀鱼捕捞技术。捕捞强度系数和捕捞的工具、捕捞技术等有关。目前较多地区的捕捞手段尚不先进。要合理利用多样化捕捞工具，保护鳀鱼苗种，加大对成熟鳀鱼的捕捞力度。学习先进地区经验，加强捕捞工具的改造和提高，强化捕鱼人员的操作技术。2、正确处理资源开发和保护的问题。营造良好的鳀鱼生存和生长环境，积极防御灾害对鳀鱼的产量的影响。提高鳀鱼养殖者的养殖技术，提升鳀鱼投入产出的效率。3、深入研究鳀鱼资源的现状，做好合理的开发计划。鳀鱼个头小，分布广，具有洄游特点，主要分布在中上层。要充分了解地区鳀鱼资源的特点，鳀鱼空间分布和生存特点等，因地制宜开发资源，地区之间横向对比借鉴。4、开发稳定的鳀鱼资源产业链，提高经济效益。鳀鱼处于食物链下层，是许多鱼类的的食物。鳀鱼可销售、加工成鱼粉、提取油作海洋保健品等。加大对于鳀鱼产品的开发研究，增大鳀鱼资源的价值。6模型的评价该模型通过求解有约束的非线性最大值问题，找到一组最优解。我们用Lingo17.0和MATLAB2016进行了分析，所得结果误差很小，并与实际吻合。本文的模型未考虑其他因素对自然死亡率的影响，且认为鱼群是集中同时产9卵，与实际情况不符，可能会对结果产生一定影响。7参考文献[1]郑洲顺，张鸿雁，秦宣云.科学计算与数学建模.上海：复旦大学出版社，2011.1[2]杨启帆，方道元.数学建模.杭州：浙江大学出版社，1999.8[3]彭放，杨瑞琰，肖海军，何永明.北京：科学出版社，2012.3[4]刘卫国.MATLAB2016程序设计与应用.北京：高等教育出版社2006.78附录8.1问题一Lingo17.0源程序：n=1.109*10^5*(0.5*(c*@exp(-(7*k)/25-(2*m)/3))+(d*@exp(-(2*k)/3-(2*m)/3)));f=1.22*10^11/(1.22*10^11+n);a=n*f;a*@exp(-m)=b;b*@exp(-m)=c;c*@exp(-m-(7/25)*k)=d;m=0.8;max=17.9*0.42*k*c*(1-@exp(-(m+0.42*k)*(2/3)))/(m+0.42*k)+23.0*k*d*(1-@exp(-(m+k)*(2/3)))/(m+k);8.2问题二Matlab2016源程序：i=0;k=5;form=0:0.01:1i=i+1;symsabcdt[abcd]=solve(a-((122000000000*(55450*c*exp(-(7*k)/25-(2*m)/3)+110900*d*exp(-(2*k)/3-(2*m)/3)))/(55450*c*exp(-(7*k)/25-(2*m)/3)+110900*d*exp(-(2*k)/3-(2*m)/3)[phone])),a*exp(-m)-b,b*exp(-m)-c,c*exp(-m/3)*exp(-(7*k)/25-(2*m)/3)-d);a(a==0)=[];b(b==0)=[];c(c==0)=[];d(d==0)=[];F=17.9*0.42*k*c*(1-exp(-(m+0.42*k)*(2/3)))/(m+0.42*k)+23*k*d*(1-exp(-(m+k)*(2/3)))/(m+k)png(1,i)=m;ges(1,i)=F;endplot(png,ges)xlabel('自然死亡率m')10ylabel('捕获量/g')title('捕获量随自然死亡率变化曲线图（k=5）')8.3问题三Matlab2016源程序：m=0.8;i=0;fork=0:0.1:20i=i+1;symsabcdt[abcd]=solve(a-((122000000000*(55450*c*exp(-(7*k)/25-(2*m)/3)+110900*d*exp(-(2*k)/3-