专题十八--锐角三角函数学案

1专题十八锐角三角函数学案班级姓名组别等级【复习目标】1.理解锐角三角函数的定义，掌握特殊锐角(30°，45°，60°)的三角函数值，并会进行计算．2.掌握直角三角形边角之间的关系，会解直角三角形．3.通过复习提高分析问题、解决问题的能力，养成独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯.4.通过复习发展自己的数感、符号意识和运算能力，并养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯.【复习过程】一、自主复习（一）复习指导根据下面的题纲自主复习有关的基础知识快速记忆，构建知识体系，为后面的训练作好准备.1.锐角三角函数定义在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．∠A的正弦：sinA＝∠A的对边斜边＝________；∠A的余弦：cosA＝∠A的邻边斜边＝________；∠A的正切：tanA＝∠A的对边∠A的邻边＝________.它们统称为∠A的锐角三角函数．锐角三角函数的取值范围：0＜sinα＜1，0＜cosα＜1，tanα＞0注意：锐角三角函数只能在直角三角形中使用，如果没有直角三角形，常通过作垂线构造直角三角形．2.特殊角的三角函数值sinαcosαtanα30°45°60°说明：锐角三角函数的增减性，当角度在0°-90°之间变化时.（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）3.锐角三角函数之间的关系（1）平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1)1cossin22AA（2）互余关系:若∠A+∠B=90°，则有sinA=cosB，cosA=sinB4.解直角三角形(1)定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角)2(2)直角三角形的性质：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．①三边之间的关系：____________；②锐角之间的关系：____________；③边角之间的关系：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，sinB＝bc，cosB＝ac，tanB＝ba.④在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.几何表示：【∵∠ACB=90°，D为AB的中点∴CD=21AB=BD=AD】⑥射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项.几何表示：【在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°CD⊥AB，∴BDADCD2;ABADAC2;ABBDBC2】⑦等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高.（abchgg）由上图可得：AB·CD=AC·BC.（3）解直角三角形的四种基本类型及解法总结：类型已知条件解法两边两直角边a、b22cab，tanaAb，90BA直角边a，斜边c22bca，sinaAc，90BA一边一锐角直角边a，锐角A90BA，tanabA，sinacA斜边c，锐角A90BA，sinacA，cosbcA（二）复习检测要求:自主学习完成后,独立完成复习检测题.完成后,组长组织本组同学统一答案，个人自己批阅，用红笔改错,不明白的求助于小组其他成员.1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB的值为()A．12B．22C．32D．12.如图，A，B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC＝a米，∠BAC＝90°，∠ACB＝40°，则AB等于()米．A．asin40°B．acos40°C．atan40°D．atan40°3.在△ABC中，若∠A，∠B满足cosA－12＋sinB－222＝0，则∠C＝__________.4.数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的3学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是__________米．二、合作探究组内交流自学环节中存在的疑惑，组长掌握组内的情况，记录组内没能解决的问题，准备班内解决.发言要求：言简意赅、明确清晰.下面的探究题，先独立完成，然后小组内交流，准备充分的小组准备班内展示.探究一:如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB＝4，BC＝5，则tan∠AFE的值为()A．43B．35C．34D．45探究二:如图4，ABCD为正方形，E为BC上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕为MN，若10,31tanCEDCAEN（1）求△ANE的面积；（2）求sin∠ENB的值。我的疑惑：_______________________________________________________________________三、梯度训练必做题：认真规范独立地完成训练题目，全部完成后对桌互相交换批阅，成绩计入小组量化.1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝5，BC＝2，则sin∠ACD的值为()A．53B．255C．52D．232.在△ABC中，∠A=30°,AC=40,BC=25,则AB的长为3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，已知∠ADC=45°，DC=6,sinB=35,试求tan∠BAD.图4ACDB44.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE=6，cosA=35.求：(1)DE，AB的长；(2)tan∠DBC的值．选做题：1.一艘渔船以6海里/时的速度自东向西航行，小岛周围海里内有暗礁，渔船在A处测得小岛D在北偏西60°方向上，航行2小时后在B处测得小岛D在北偏西30°方向上.（1）如果不改变航向有没有触礁危险？（2）在上面的问题中若有触礁危险，则至少向西南方偏多少度才安全？2.（2016潍坊）如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号).四、自我反思一节课的学习，你肯定有很多收获，请将你本节课的收获用思维导图的形式呈现出来.60°BACDCBA66