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2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷3)理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合22{(,)1}Axyxy,{(,)}Bxyyx,则AB中元素的个数为A.3B.2C.1D.02.设复数z满足(1)2izi,则||zA.12B.22C.2D.23.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳4.5()(2)xyxy的展开式中33xy的系数为()A.-80B.-40C.40D.805.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线方程为52yx,且与椭圆221123xy有公共焦点.则C的方程为()A.221810xyB.22145xyC.22154xyD.22143xy6.设函数()cos()3fxx,则下列结论错误的是()A.()fx的一个周期为2B.()yfx的图像关于直线83x对称C.()fx的一个零点为6xD.()fx在(,)2单调递减7.执行右图的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为A.5B.4C.3D.28.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.B.34C.2D.49.等差数列{}na的首项为1,公差不为0.若236,,aaa成等比数列,则{}na前6项的和为A.-24B.-3C.3D.810.已知椭圆2222:1xyCab(0ab)的左、右顶点分别为12,AA,且以线段12AA为直径的圆与直线20bxayab相切,则C的离心率为()A.63B.33C.23D.1311.已知函数211()2()xxfxxxaee有唯一零点,则a()A.12B.13C.12D.112.在矩形ABCD中,1,2ABAD,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若APABAD,则的最大值为A.3B.22C.5D.2二、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若,xy满足约束条件0,20,0xyxyy则34zxy的最小值为________.14.设等比数列{}na满足12131,3aaaa,则4a________.15.设函数1,0,()2,0xxxfxx 则满足1()()12fxfx的x的取值范围是________.16.,ab为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与,ab都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60角时,AB与b成30角;②当直线AB与a成60角时,AB与b成60角;③直线AB与a所成角的最小值为45;④直线AB与a所成角的最大值为60.其中正确的是________(填写所有正确结论的编号)三、解答题:(共70分.第17-20题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答)(一)必考题:共60分.17.(12分)ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc,已知sin3cos0,27,2AAab(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD△的面积.18.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶,为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温1015,1520,2025,2530,3035,3540,天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?19.(12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形.ABDCBD??,ABBD=.(1)证明:平面ACD^平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体DABCEABCD分成体积相等的两部分.求二面角DAEC--的余弦值.20.(12分)已知抛物线2:2Cyx=,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,2-),求直线l与圆M的方程.21.(12分)已知函数()1lnfxxax.(1)若()0fx≥,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,2111(1)(1)(1)222nm++鬃?,求m的最小值.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中,直线1l的参数方程为2,xtykt(t为参数),直线2l的参数方程为2,xmmyk(m为参数),设1l与2l的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程:(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设3l:(cossin)20,M为3l与C的交点,求M的极径.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数()||||fxxx.(1)求不等式()fx的解集;(2)若不等式()fxxxm的解集非空,求m的取值范围.2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国3)理科数学参考答案一、选择题1.B2.C3.A4.C5.B6.D7.D8.B9.A10.A11.C12.A二、填空题13.114.815.1(,)416.②③三、解答题17.解:(1)由已知可得tan3A,所以23A在ABC中,由余弦定理得222844cos3cc,即22240cc解得6c(舍去),4c(2)由题设可得2CAD,所以6BADBACCAD故ABD面积与ACD面积的比值为1sin26112ABADACAD又ABC的面积为142sin232BAC,所以ABD的面积为318.解:(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知2162000.290PX,363000.490PX,25745000.490PX.因此X的分布列为:X200300500P0.20.40.4(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200n500当300500n时,若最高气温不低于25,则642Ynnn;若最高气温位于区间[20,25),则63002(300)412002Ynnn;若最高气温低于20,则62002(200)48002Ynnn因此20.4(12002)0.4(8002)0.26400.4EYnnnn当200300n时,若最高气温不低于20,则642Ynnn;若最高气温低于20,则62002(200)48002Ynnn因此2(0.40.4)(8002)0.21601.2EYnnn所以300n时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元。19.解:(1)由题设可得,ABDCBD,从而ADDC又ACD是直角三角形,所以90ADC取AC的中点O,连结,DOBO,则,DOACDOAO又由于ABC是正三角形,故BOAC所以DOB为二面角DACB的平面角在RtAOB中,222BOAOAB又ABBD,所以222222BODOBOAOABBD,故90DOB所以平面ACD平面ABC(2)由题设及(1)知,,,OAOBOD两两垂直,以O为坐标原点,OA的方向为x轴正方向,||OA为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则(1,0,0),(0,3,0),(1,0,0),(0,0,1)ABCD由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的12,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的12,即E为DB的中点,得31(0,,)22E,故31(1,0,1),(2,0,0),(1,,)22ADACAEODABCEDABCEyxOz设(,,)nxyz是平面DAE的法向量,则0,0mACmAE同理可取(0,1,3)m则7cos,||||7nmnmnm所以二面角DAEC的余弦值为7720.解:(1)设1122(,),(,),:2AxyBxylxmy由22,2xmyyx可得2240ymy,则124yy又221212,22yyxx,故21212()44yyxx因此OA的斜率与OB的斜率之积为1212414yyxx,所以OAOB故坐标原点O在圆M上(2)由(1)可得21212122,()424yymxxmyym故圆心M的坐标为2(+2,)mm,圆M的半径222(+2)rmm由于圆M过点(4,2)P,因此0APBP,故1212(4)(4)(2)(2)0xxyy,即121212224()2()200xxxxyyyy由(1)可得12124,4yyxx所以2210mm,解得1m或12m当1m时,直线l的方程为10xy,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为10,圆M的方程为22(3)(1)10xy当12m时,直线l的方程为240xy,圆心M的坐标为91(,)42,圆M的半径为854,圆M的方程为229185()()4216xy21.解:(1)()fx的定义域为(0,)①若0a,因为11()ln2022fa,所以不满足题意;②若0a,由()1axafxxx知,当(0,)xa时,()0fx;当(,)xa时,()0fx。所以()fx在(0,)a单调递减,在(,)a单调递增。故xa是()fx在(0,)的唯一最小值点。由于(1)0f,所以当且仅当1a时,()0fx故1a(2)由(1)知当(1,)x时,1ln0xx令112nx,得11(1)22nn,从而221111111ln(1)ln(1)...ln(1)...112222222nnn故2111(1)(1)...(1)222ne而23111(1)(1)(1)2222,所以m的最小值为322.解:(1)消去参数t得1l的普通方程1:(2)lykx;消去参数mt得2l的普通方程21:(2)lyxk设(,)Pxy,由题设得(2),1(2).ykxyxk消去k得224(0)xyy所以C的普通方程为224(0)xyy(2)C的极坐标方程为222(cossin)4(22,)联立222(cossin)4,(cossin)20得coss
本文标题:2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷3
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