2018年文科数学全国三卷真题及答案)

12018年数学试题文（全国卷3）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求的.）1．已知集合|10Axx≥，012B，，，则AB（）A．0B．1C．12，D．012，，2．12ii（）A．3iB．3iC．3iD．3i3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）4．若1sin3，则cos2（）A．89B．79C．79D．895．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）A．0.3B．0.4C．0.6D．0.76．函数2tan1tanxfxx的最小正周期为（）A．4B．2C．D．27．下列函数中，其图像与函数lnyx的图像关于直线1x对称的是（）A．ln1yxB．ln2yxC．ln1yxD．ln2yx8．直线20xy分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆2222xy上，则ABP面积的取值范围是（）2A．26，B．48，C．232，D．2232，9．函数422yxx的图像大致为（）10．已知双曲线22221xyCab：（00ab，）的离心率为2，则点40，到C的渐近线的距离为（）A．2B．2C．322D．2211．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若ABC的面积为2224abc，则C（）A．2B．3C．4D．612．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值为（）A．123B．183C．243D．543二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量=1,2a，=2,2b，=1,λc．若2∥ca+b，则________．314．某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．15．若变量xy，满足约束条件23024020.xyxyx≥，≥，≤则13zxy的最大值是________．16．已知函数2ln11fxxx，4fa，则fa________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，每个试考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分。17．（12分）等比数列na中，15314aaa，．⑴求na的通项公式；⑵记nS为na的前n项和．若63mS，求m．18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：4⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式⑶根据⑵中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22nadbcKabcdacbd，20.0500.0100.0013.8416.63510.828PKkk≥．19．（12分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．⑴证明：平面AMD⊥平面BMC；⑵在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．520．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆22143xyC：交于A，B两点．线段AB的中点为10Mmm，．⑴证明：12k；⑵设F为C的右焦点，P为C上一点,且0FPFAFB．证明:2FPFAFB．21．（12分）已知函数21xaxxfxe．⑴求由线yfx在点01，处的切线方程；⑵证明：当1a≥时，0fxe≥．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）6在平面直角坐标系xOy中，O⊙的参数方程为cossinxy（为参数），过点02，且倾斜角为的直线l与O⊙交于AB，两点．⑴求的取值范围；⑵求AB中点P的轨迹的参数方程．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数211fxxx．⑴画出yfx的图像；⑵当0x∈，，fxaxb≤，求ab的最小值．7参考答案一、选择题1．答案：C解答：∵{|10}{|1}Axxxx，{0,1,2}B，∴{1,2}AB.故选C.2．答案：D解答：2(1)(2)23iiiii，选D.3．答案：A解答：根据题意，A选项符号题意；4．答案：B解答：227cos212sin199.故选B.5．答案：B解答：由题意10.450.150.4P.故选B.6．答案：C解答：22222sintansincos1cos()sincossin2sin1tansincos21cosxxxxxfxxxxxxxxx，∴()fx的周期22T.故选C.7．答案：B解答：()fx关于1x对称，则()(2)ln(2)fxfxx.故选B.8．答案：A解答：8由直线20xy得(2,0),(0,2)AB，∴22||2222AB，圆22(2)2xy的圆心为(2,0)，∴圆心到直线20xy的距离为222211，∴点P到直线20xy的距离的取值范围为222222d，即232d，∴1||[2,6]2ABPSABd.9．答案：D解答：当0x时，2y，可以排除A、B选项；又因为322424()()22yxxxxx，则()0fx的解集为22(,)(0,)22U，()fx单调递增区间为2(,)2，2(0,)2；()0fx的解集为22(,0)(,)22U，()fx单调递减区间为2(,0)2，2(,)2.结合图象，可知D选项正确.10．答案：D解答：由题意2cea，则1ba，故渐近线方程为0xy，则点(4,0)到渐近线的距离为|40|222d.故选D.11．答案：C解答：2222cos1cos442ABCabcabCSabC，又1sin2ABCSabC，故tan1C，∴4C.故选C.12．答案：B解答：9如图，ABC为等边三角形，点O为A，B，C，D外接球的球心，G为ABC的重心，由93ABCS，得6AB，取BC的中点H，∴sin6033AHAB，∴2233AGAH，∴球心O到面ABC的距离为224(23)2d，∴三棱锥DABC体积最大值193(24)1833DABCV.二、填空题13．答案：12解答：2(4,2)ab，∵//(2)cab，∴1240，解得12.14．答案：分层抽样解答：由题意，不同龄段客户对其服务的评价有较大差异，故采取分层抽样法.15．答案：3解答：由图可知在直线240xy和2x的交点(2,3)处取得最大值，故12333z.16．答案：210解答：2ln11()fxxxxR22()()ln(1)1ln(1)1fxfxxxxx22ln(1)22xx，∴()()2fafa，∴()2fa.三、解答题17．答案：（1）12nna或1(2)nna；（2）6.解答：（1）设数列{}na的公比为q，∴2534aqa，∴2q.∴12nna或1(2)nna.（2）由（1）知，122112nnnS或1(2)1[1(2)]123nnnS，∴2163mmS或1[1(2)]633mmS（舍），∴6m.18．解答：（1）第一种生产方式的平均数为184x，第二种生产方式平均数为274.7x，∴12xx，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，∴第二种生产方式的效率更高.（2）由茎叶图数据得到80m，∴列联表为（3）222()40(151555)106.635()()()()20202020nadbcKabcdacbd，∴有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.19．解答：（1）∵正方形ABCD半圆面CMD，11∴AD半圆面CMD，∴AD平面MCD.∵CM在平面MCD内，∴ADCM，又∵M是半圆弧CD上异于,CD的点，∴CMMD.又∵ADDMDI，∴CM平面ADM，∵CM在平面BCM内，∴平面BCM平面ADM.（2）线段AM上存在点P且P为AM中点，证明如下：连接,BDAC交于点O，连接,,PDPBPO；在矩形ABCD中，O是AC中点，P是AM的中点；∴//OPMC，∵OP在平面PDB内，MC不在平面PDB内，∴//MC平面PDB.20．解答：（1）设直线l方程为ykxt，设11(,)Axy,22(,)Bxy,22143ykxtxy联立消y得222(43)84120kxktxt，则2222644(412)(34)0kttk，得2243kt…①，且1228234ktxxk，121226()2234tyykxxtmk，∵0m，∴0t且0k.且2344ktk…②.由①②得2222(34)4316kkk，∴12k或12k.12∵0k，∴12k.（2）0FPFAFBuuruuruurr，20FPFMuuruuurr,∵(1,)Mm，(1,0)F，∴P的坐标为(1,2)m.由于P在椭圆上，∴214143m，∴34m，3(1,)2M，又2211143xy，2222143xy，两式相减可得1212121234yyxxxxyy，又122xx，1232yy，∴1k，直线l方程为3(1)4yx，即74yx，∴2274143yxxy，消去y得2285610xx，1,21432114x，22221122||||(1)(1)3FAFBxyxyuuruur，2233||(11)(0)22FPuur,∴||||2||FAFBFP.21．解答：（1）由题意：21xaxxfxe得222(21)(1)22()()xxxxaxeaxxeaxaxxfxee，13∴2(0)21f，即曲线yfx在点0,1处的切线斜率为2，∴(1)2(0)yx，即210xy；（2）证明：由题意：原不等式等价于：1210xeaxx恒成立；令12()1xgxeaxx，∴1()21xgxeax，1()2xgxea，∵1a，∴()0gx恒成立，∴()gx在(,)上单调递增，∴()gx在(,)上存在唯一0x使0()0gx，∴010210x