2014年全国成人高考数学模拟试题及答案

2014年成人高考数学模拟题1一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合12|,31|xxBxxM，则MB（B）A.)1,2(B.)1,1(C.)3,1(D.)3,2(（2）若0tan，则aA.0sinB.0cosC.02sinD.02cos（3）设iiz11，则||zA.21B.22C.23D.2（4）已知双曲线)0(13222ayax的离心率为2，则aA.2B.26C.25D.1（5）设函数)(),(xgxf的定义域为R，且)(xf是奇函数，)(xg是偶函数，则下列结论中正确的是A.)()(xgxf是偶函数B.)(|)(|xgxf是奇函数C.|)(|)(xgxf是奇函数D.|)()(|xgxf是奇函数（6）设FED,,分别为ABC的三边ABCABC,,的中点，则FCEBA.ADB.AD21C.BC21D.BC（7）在函数①|2|cosxy，②|cos|xy，③)62cos(xy,④)42tan(xy中，最小正周期为的所有函数为A.①②③B.①③④C.②④D.①③（8）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱（9）执行右面的程序框图，若输入的,,abk分别为1,2,3，则输出的M()A.203B.72C.165D.158（10）已知抛物线C：xy2的焦点为F,yxA00,是C上一点，xFA045，则x0（）A.1B.2C.4D.8（11）设x，y满足约束条件,1,xyaxy且zxay的最小值为7，则aA．-5B.3C．-5或3D.5或-3（12）已知函数32()31fxaxx，若()fx存在唯一的零点0x，且00x，则a的取值范围是A.2,B.1,C.,2D.,1第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_____.（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________.（15）设函数113,1,,1,xexfxxx则使得2fx成立的x的取值范围是________.（16）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角60MAN，C点的仰角45CAB以及75MAC；从C点测得60MCA.已知山高100BCm，则山高MN________m.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知na是递增的等差数列，2a，4a是方程2560xx的根。（I）求na的通项公式；（II）求数列2nna的前n项和.（18）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)频数62638228（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？(19)(本题满分12分)如图，三棱柱111CBAABC中，侧面CCBB11为菱形，CB1的中点为O，且AO平面CCBB11.（1）证明：;1ABCB（2）若1ABAC,,1,601BCCBB求三棱柱111CBAABC的高.（20）（本小题满分12分）已知点)2,2(P，圆C:0822yyx，过点P的动直线l与圆C交于BA,两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.（1）求M的轨迹方程；（2）当OMOP时，求l的方程及POM的面积（21）（本小题满分12分）设函数21ln12afxaxxbxa，曲线11yfxf在点，处的切线斜率为0（1）求b;（2）若存在01,x使得01afxa，求a的取值范围。请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.（22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE.（I）证明：DE；（II）设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ABC为等边三角形.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线194:22yxC，直线tytxl222:（t为参数）（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求PA的最大值与最小值.（24）（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲若,0,0ba且abba11（I）求33ba的最小值；（II）是否存在ba,，使得632ba？并说明理由.参考答案一、选择题1-5.BABDA6-10.CCBDC11-12.BA二、填空题13.2314.A15.(,8]16.150三、解答题17.解：（1）方程2560xx的两个根为2，3，由题意得因为242,3aa设数列{}na的公差为d，则422aad，故12d，从而132a所以{}na的通项公式为112nan（2）设{}2nna的前n项和为nS，由（1）知1222nnnan，则2313412...2222nnnnnS①341213412...22222nnnnnS②①-②得3412131112...242222nnnnnS123112(1)4422nnn所以，1422nnnS18.解：（1）…………………………4分（2）质量指标值的样本平均数为806902610038110221208100100x质量指标值的样本方差为所以，这种产品质量指标的平均数估计值为100，方差的估计值为104.……………………………………10分（3）依题意38228100=68％80％所以该企业生产的这种产品不符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80％”的规定。……………………………………12分19.（1）证明：连接1BC，则O为1BC与1BC的交点，因为侧面11BBCC为菱形，所以11BCBC又AO平面11BBCC，所以1BCAO，故1BCABO平面由于ABABO平面，故1BCAB……………………………6分（2）解：做ODBC，垂足为D，连接AD，做OHAD，垂足为H。由于,BCAOBCOD，故BCAOD平面，所以OHBC又OHAD，所以OHABC平面因为160CBB，所以1CBB为等边三角形，又1BC，可得34OD由于1ACAB，所以11122AOBC由OHADODOA，且2274ADODOA，得2114OH又O为1BC的中点，所以点1B到平面ABC的距离为217，故三棱柱111ABCABC的高为217………………………………………………………………………………12分20．解：（1）方法一：圆C的方程可化为22(4)16xy，所以，圆心为(0,4)C，半径为4，设(,)Mxy，则(,4),(2,2)CMxyMPxy，由题设知0CMMP，故(2)(4)(2)0xxyy，即22(1)(3)2xy由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是22(1)(3)2xy……………6分方法二：圆C的方程可化为22(4)16xy，所以，圆心为(0,4)C，半径为4，设(,)Mxy，设24,2ABCMyykkxx，则24,2ABCMyykkxx所以2412ABCMyykkxx化简得，222680xyxy，即22(1)(3)2xy所以M的轨迹方程是22(1)(3)2xy（2）方法一：由（1）可知M的轨迹是以点(1,3)N为圆心，2为半径的圆由于||||OPOM，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM因为ON的斜率为3，所以l的斜率为13，所以l的方程为1833yx又||||22OMOP，O到l的距离为410410,||55PM，所以POM的面积为165方法二：依题意，||22OP，因为||||22OMOP所以，M也在228xy上所以222282680xyxyxy两式相减，得26160xy，即1833yx，此方程也就是l的方程由（1）知，M的轨迹方程是22(1)(3)2xy，设此方程的圆心为N，则(1,3)N所以|198|10d又22||(12)(32)2NP所以2410||2255MPO到l的距离810h所以，184101625510POMS综上所述，l的方程为1833yx，POM的面积为16521.（1）解：()(1)afxaxbx由题设知(1)(1)0faab解得1b……………………………………………………………………………4分（2）解：()fx的定义域为(0,)，由（1）知，21()ln2afxaxxx，1()(1)1()(1)1aaafxaxxxxxa（ⅰ）若12a，则11aa，故当(1,)x时，()0,()fxfx在(1,)单调递增，所以，存在01x，使得0()1afxa的充要条件为(1)1afa，即1121aaa，解得2121a（ⅱ）若112a，则11aa，故当(1,)1axa时，()0fx；当(,)1axa时，()0fx；所以()fx在(1,)1aa单调递减，在(,)1aa单调递增，所以，存在01x，使得0()1afxa的充要条件为()11aafaa而21()ln112(1)11aaaafaaaaaa，所以不合题意（ⅲ）若1a，则11(1)1221aaafa综上所述，a的取值范围是(21,21)(1,)……………………………12分22.（本小题满分10分）（1）证明：由题设得，A，B，C，D四点共圆，所以，DCBE又CBCE，CBEE所以DE………………………5分（2）证明：设BC的中点为N，连结MN，则由MBMC知MNBC，故O在直线MN上又AD不是O的直径，M为AD的中点，故OMAD，即MNAD所以//ADBC，故ACBE又CBEE，故AE，由（1）知，DE，所以ADE为等边三角形。…………………………………………………………………10分23.解：（1）曲线C的参数方程为2cos3sinxy（为参数）直线l的普通方程为260xy（2）曲线C上任意一点(2cos,3sin)P到l的距离为5|4cos3sin6|5d则25|||5sin()6|sin305dPA，其中为锐角，且4tan3当sin()1时，||PA取得最大值，最大值为2255当sin()1时，||PA