广州中考数学十年压轴题精编

1/24八、（本题满分15分）(2002广州)26．如图10，在△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，O是AB的中点，OP⊥AB交AC于点P。（1）证明线段AO、OB、OP中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度；（2）过线段OB（包括端点）上任一点M，作MN⊥AB交AC于点N。如果要使线段AM、MB、MN中任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么请求出线段AM的长度的取值范围。解：（1）∵∠B=90°，OP⊥AB，∴∠AOP=∠B=90°，∴△AOP∽△ABC。∴OPBCAOAB。∵AB=4，BC=3，O是AB的中点。∴324OP。∴32OP。∵32,2OPAOOB且3222，∴OP+AOOB。即AO、OB、OP中，任意两条线段的长度之和大于第三条线段的长度。（2）当M在OB上时，设AM=x（2≤x≤4）则MB=4－x。∵△AMN∽△ABC∴MNBCAMAB。∴又MNAM，MBAM。依题意，得：MN+MBAM，∴344xxx解之，得165x。∴AM的取值范围为1625AM。2/24九、（本题满分15分）(2002广州)27．某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a(a0)个成品，且每个车间每天都生产b(b0)个成品，质检科派出若干名检验员星期一、星期二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有成品，然后，星期三至星期五检验另两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每个检验员每天检验的成品数相同。（1）这若干名检验员1天检验多少个成品？（用含a、b的代数式表示）（2）试求出用b表示a的关系式；（3）若1名质检员1天能检验54b个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？解：（1）这若干名检验员1天检验(a+2b)（或253ab或3b×2）个成品。（2）根据题意，得222523abab。化简题意，得a=4b。另解：22322abb，化简整理，得a=4b。（3）224467.5255abbbb（名）。另解：4327.55bb（名）答：质检科至少要派出8名检验员。八、（本题满分16分）（2003广州）24.已知△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合）Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）．（1）如图10，当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；（2）当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ3/24的长的取值范围；若不可能，请说明理由．⑴解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12∴AB＝13．∵Q是BC的中点．∴CQ＝QB．又∵PQ∥AC．∴AP＝PB，即P是AB的中点．∴Rt△ABC中，2132ABCP．⑵解：当AC与PQ不平行时，只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形．以CQ为直径作半圆D．①当半圆D与AB相切时，设切点为M，连结DM，则DM⊥AB，且AC＝AM＝5．∴MB＝AB－AM＝13－5＝8．设CD＝x，则DM＝x，DB＝12－x．在Rt△DMB中，DB2＝DM2＋MB2．即(12－x)2＝x2＋82．解之得：.310x∴CQ＝.3202x即当CQ.320且点P运动到切点M位置时,△CPQ为直角三角形.②当320＜CQ＜12时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形．③当0＜CQ＜320时，半圆D与直线AB相离,即点P在AB边上运动时,均在半圆D外，∠CPQ＜90°．此时△CPQ不可能为直角三角形．∴当320≤CQ＜12时，△CPQ可能为直角三角形．九、（本题满分16分）（2003广州）CQBAPBQDCAM4/2425.现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元．（1）设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x之间的函数关系式；（2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？（3）在上述方案中，哪个方案运费最省？最少运费为多少元？解：⑴设用A型车厢x节，则用B型车厢(40－x)节，总运费为y万元．依题意，得y＝0.6x＋0.8(40－x)＝－0.2x＋32⑵依题意，得)40(2535xx≥1240，)40(3515xx≥880．化简，得10x≥240，x≥24，520≥20x；x≤26．∴24≤x≤26．∵x取整数，故A型车厢可用24节或25节或26节．相应有三种装车方案：①24节A型车厢和16节B型车厢；②25节A型车厢和15节B型车厢；③26节A型车厢和14节B型车厢．⑶由函数y＝－0.2x＋32知，x越大，y越少，故当x＝26时，运费最省．这时y＝－0.2×26＋32＝26.8(万元)答：安排A型车厢26节、B型车厢14节运费最省．最小运费为26.8万元．（注：若直接算出三种方案的运费来比较，得出正确的最少运费亦给满分。）24．(本小题满分15分)（2004广州）如图，PA为圆的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点D，交AC于点E，求证：(1)AD=AE；(2)AB·AE=AC·DB．5/2425．（2004广州）(本小题满分15分)已知抛物线y=(m+1)x2—2mx+m(m为整数)经过点A(1，1)，顶点为P，且与x轴有两个不同的交点．(1)判断点P是否在线段OA上(O为坐标原点)，并说明理由；(2)设该抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2，是否存在实数m，使x1＜m＜x2?若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．24.（本小题满分14分）（2005广州）如图，某学校校园内有一块形状为直角梯形的空地ABCD，其中AB//DC，∠B=90°，AB=100m，BC=80m，CD=40m，现计划在上面建设一个面积为S的矩形综合楼PMBN，其中点P在线段AD上，且PM的长至少为36m。（2）设PA=x（m），求S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（3）若S=3300m2，求PA的长。（精确到0.1m）解：（1）过点D作DE⊥AB于D则DE//BC且DE=BC，CD=BE，DE//PMRt△ADE中，DE=80m∴AE=AB-BE=100-40=60mmDEAEAD1006400360022（2）∵DE//PM∴△APM∽△ADE6/24AEAMDEPMADAP即6080100AMPMxxAMxPM5354，即MB=AB-AM=x53100xxxxMBPMS801512)53100(542由3654xPM，得45x∴自变量x的取值范围为10045x（3）当S=3300m2时，33002512802xx0825002000122xx02062550032xx65050062062534)500(5002x)(7.9165501mx，)(7564502mx即当23300ms时，PA的长为75m，或约为91.7m。25.（本小题满分14分）（2005广州）如图，已知正方形ABCD的面积为S。（1）求作：四边形A1B1C1D1，使得点A1和点A关于点B对称，点B1和点B关于点C对称，点C1和点C关于点D对称，点D1和点D关于点A对称；（只要求画出图形，不要求写作法）（2）用S表示（1）中作出的四边形A1B1C1D1的面积S1；（3）若将已知条件中的正方形改为任意四边形，面积仍为S，并按（1）的要求作出一个新的四个边形，面积为S2，则S1与S2是否相等？为什么？BACD7/24解：（1）如图①所示（2）设正方形ABCD的边长为a则211111212aADAASaAADAA，同理，2111111aSSSCDDBCCABBABCDCDDBCCABBDAASSSSSS正方形111111111Sa552。（本问也可以先证明四边形A1B1C1D1是正方形，再求出其边长为a5，从而算出SSDCBA51111＝四边形）（3）21SS理由如下。首先画出图形②，连结BD、BD1∵△BDD1中，AB是中线ABDABDSS1又∵△AA1D1中，BD1是中线111BDAABDSSABDDAASS211同理，得CBDBCCSS211SSSSSCBDABDBCCDAA2)(21111同理，得SSSCDDBBA21111SSSSSSSABCDCDDBCCABBDAA5111111112＝四边形由（2）得，SS51＝8/24∴21SS＝24．(本小题满分14分)（2006广州）在ABC中，AB=BC，将ABC绕点A沿顺时针方向旋转得A1B1C1，使点Cl落在直线BC上(点Cl与点C不重合)，(1)如图9一①，当C60°时，写出边ABl与边CB的位置关系，并加以证明；(2)当C=60°时，写出边ABl与边CB的位置关系(不要求证明)；(3)当C60°时，请你在图9一②中用尺规作图法作出△AB1C1(保留作图痕迹，不写作法)，再猜想你在(1)、(2)中得出的结论是否还成立?并说明理由．解：（1）1//ABCB证明：由旋转的特征可知11BACBAC，1ACAC∵ABBC∴BACC∵1ACAC∴1ACCC∴111BACACC∴1//ABCB9/24（2）1//ABCB（3）作图略。成立。理由与第一问类似。25．(本小题满分14分)（2006广州）已知抛物线Y=x2+mx一2m2(m≠0)．(1)求证：该抛物线与X轴有两个不同的交点；(2)过点P(0，n)作Y轴的垂线交该抛物线于点A和点B(点A在点P的左边)，是否存在实数m、n，使得AP=2PB?若存在，则求出m、n满足的条件；若不存在，请说明理由．解：（1）△22241[2]9mmm∵0m∴△0∴该抛物线与x轴有两个不同的交点。（2）由题意易知点A、B的坐标满足方程：222xmxmn，即22(2)0xmxmn由于方程有两个不相等的实数根，因此△0，即22241[(2)]0940mmnmn………………….①由求根公式可知两根为：2942Ammnx，2942Bmmmx∴22294949422BAmmnmmnABxxmn229494022BPmmnmmnPBxx分两种情况讨论：第一种：点A在点P左边，点B在点P的右边∵2APPB10/24∴3ABPB∴222949439432mmnmnmnm……………….②∴0m……………………….③由②式可解得0n…………………………..④第二种：点A、B都在点P左边∵2APPB∴ABPB∴222949403942mmnmnmnm……………….⑤∴0m……………………….⑥由⑤式可解得2209nm……….⑦综合①③④⑥⑦可知，满足条件的点P存在，此时m、n应满足条件：0m，0n或2209nm。24．（本小题满分14分）一次函数y＝kx+k的图象经过点（1，4），且分别与x轴、y轴交于点A、B．点P（a，0）在x轴正半轴上运动，点Q（0，b）在y轴正半轴上运动，且PQ⊥AB．（1）求k的值，并在图7的直角坐标系中画出该一次函数的图象；（2）求a与b满足的等量关系式；（3）若△APQ是等腰三角形，求△APQ的面积．解：（1）∵一次函数y＝kx+k的图象经过点（1，4），∴4＝k×