数列通项、数列前n项和的求法例题+练习

通项公式和前n项和一、新课讲授：求数列前N项和的方法1.公式法（1）等差数列前n项和：11()(1)22nnnaannSnad特别的，当前n项的个数为奇数时，211(21)kkSka，即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。（2）等比数列前n项和：q=1时，1nSna1111nnaqqSq，，特别要注意对公比的讨论。（3）其他公式较常见公式：1、)1(211nnkSnkn2、)12)(1(6112nnnkSnkn3、213)]1(21[nnkSnkn[例1]已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和.[例2]设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求1)32()(nnSnSnf的最大值.2.错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：132)12(7531nnxnxxxS………………………①[例4]求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.练习：求：Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1答案：当x=1时，Sn=1+5+9+······+（4n-3）=2n2-n当x≠1时，Sn=11-x[4x(1-xn)1-x+1-（4n-3）xn]3.倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个)(1naa.[例5]求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值4.分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例6]求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan，…练习：求数列),21(,,813,412,211nn的前n项和。5.裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）)()1(nfnfan（2）nnnntan)1tan()1cos(cos1sin（3）111)1(1nnnnan（4）)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnnan(6)nnnnnnnnSnnnnnnnnna2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21则[例9]求数列,11,,321,211nn的前n项和.[例10]在数列{an}中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列{bn}的前n项的和.[例11]求证：1sin1cos89cos88cos12cos1cos11cos0cos12解：设89cos88cos12cos1cos11cos0cos1S∵nnnntan)1tan()1cos(cos1sin（裂项）∴89cos88cos12cos1cos11cos0cos1S（裂项求和）＝]}88tan89[tan)2tan3(tan)1tan2(tan)0tan1{(tan1sin1＝)0tan89(tan1sin1＝1cot1sin1＝1sin1cos2∴原等式成立练习：求63135115131之和。6.合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.[例14]在各项均为正数的等比数列中，若103231365logloglog,9aaaaa求的值.7.利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.[例15]求11111111111个n之和.练习：求5，55，555，…，的前n项和。以上一个7种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。求数列通项公式的八种方法一、公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项二、累加、累乘法1、累加法适用于：1()nnaafn若1()nnaafn(2)n，则21321(1)(2)()nnaafaafaafn两边分别相加得111()nnkaafn例1已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn所以数列{}na的通项公式为2nan。例2已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。解法一：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn所以31.nnan解法二：13231nnnaa两边除以13n，得111213333nnnnnaa，则111213333nnnnnaa，故112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaan因此11(13)2(1)2113133133223nnnnnann，则21133.322nnnan2、累乘法适用于：1()nnafna若1()nnafna，则31212(1)(2)()nnaaafffnaaa，，，两边分别相乘得，1111()nnkaafka例3已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列{}na的通项公式。解：因为112(1)53nnnanaa，，所以0na，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnnn所以数列{}na的通项公式为(1)12325!.nnnnan三、待定系数法适用于1()nnaqafn分析：通过凑配可转化为1121()[()]nnafnafn;解题基本步骤：1、确定()fn2、设等比数列1()nafn，公比为23、列出关系式1121()[()]nnafnafn4、比较系数求1，25、解得数列1()nafn的通项公式6、解得数列na的通项公式例4已知数列{}na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。解法一：121(2),nnaan112(1)nnaa又112,1naa是首项为2，公比为2的等比数列12nna，即21nna解法二：121(2),nnaan121nnaa两式相减得112()(2)nnnnaaaan，故数列1nnaa是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的……例5已知数列{}na满足1112431nnnaaa，，求数列na的通项公式。解法一：设11123(3nnnnaa)，比较系数得124,2，则数列143nna是首项为111435a，公比为2的等比数列，所以114352nnna，即114352nnna解法二：两边同时除以13n得：112243333nnnnaa，下面解法略注意：例6已知数列{}na满足21123451nnaanna，，求数列{}na的通项公式。解：设221(1)(1)2()nnaxnynzaxnynz比较系数得3,10,18xyz，所以2213(1)10(1)182(31018)nnannann由213110118131320a，得2310180nann则2123(1)10(1)18231018nnannann，故数列2{31018}nann为以21311011813132a为首项，以2为公比的等比数列，因此2131018322nnann，则42231018nnann。注意：形如21nnnapaqa时将na作为()fn求解分析：原递推式可化为211()()nnnnaapaa的形式，比较系数可求得，数列1nnaa为等比数列。例7已知数列{}na满足211256,1,2nnnaaaaa，求数列{}na的通项公式。解：设211(5)()nnnnaaaa比较系数得3或2，不妨取2，则21123(2)nnnnaaaa，则12nnaa是首项为4，公比为3的等比数列11243nnnaa，所以114352nnna四、迭代法例8已知数列{}na满足3(1)2115nnnnaaa，，求数列{}na的通项公式。解：因为3(1)21nnnnaa，所以1212(2)(1)32(2)(1)3(3)(2)(1)112(3)(323(1)2323(1)21223(2)23(1)233(2)(1)23323(2)(1)21[][]nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaa2)(1)(1)123!21nnnnna又15a，所以数列{}na的通项公式为(1)123!25nnnnna。注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。五、变性转化法1、对数变换法适用于指数关系的递推公式例9已知数列{}na满足5123nn