九年级上册数学讲义

简单的事情用心做，用心的事情重复做，重复的事情坚持做！1/96第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程教学目标1.理解并掌握一元二次方程的定义。2.理解并掌握一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别知识梳理1．只含有____个未知数，并且未知数的最高次数是____次，这样的整式方程叫做一元二次方程；2.一元二次方程的一般形式是20(0)axbxca，其中，a称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项；b、c均可为零，而a一定不能为零；要点点拨1.一元二次方程中的“元”和“次”是对整理化简之后而言的，因此一个方程是否为一元二次方程应“形”、“神”兼备。如：02)12(23xxxx是整式方程，化简后为0222xx应是一元二次方程，而不是三次方程；2.“a≠0”是一般式的重要组成部分，不可遗漏；3.方程的右边必须为0；4.每一项及其系数都包括它本身的符号；经典例题1．（2015•浠水县校级模拟3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2+2x﹣y=3B．C．（3x2﹣1）2﹣3=0D．x2﹣8=x2.2015•东西湖区校级模拟）已知（m﹣2）x2﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是．跟踪训练1．（2015•山西模拟3分）下列方程一定是一元二次方程的是（）A．3x2+﹣1=0B．5x2﹣6y﹣3=0C．ax2﹣x+2=0D．3x2﹣2x﹣1=02．（2015•科左中旗校级一模3分）下面关于x的方程中：①ax2+bx+c=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1③x2++5=0；④x2﹣2+5x3﹣6=0；简单的事情用心做，用心的事情重复做，重复的事情坚持做！2/96⑤3x2=3（x﹣2）2；⑥12x﹣10=0是一元二次方程的个数是（）A．1B．2C．3D．43.（2015•科左中旗校级一模）关于x的方程：（a﹣1）+x+a2﹣1=0，求当a=时，方程是一元二次方程，当a=时，方程是一元一次方程．4.．（2011•东台市校级模拟）已知关于x的方程是一元二次方程，则m=．基础训练一．选择题1．（2015•石河子校级模拟3分）把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（）A．1，﹣3，10B．1，7，﹣10C．1，﹣5，12D．1，3，22．（2015•东西湖区校级模拟3分）下列一元二次方程中，常数项为0的是（）A．x2+x=1B．2x2﹣x﹣12=0C．2（x2﹣1）=3（x﹣1）D．2（x2+1）=x+23．（2015•东西湖区校级模拟3分）将一元二次方程4x2+5x=81化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．4，5，81B．4，5，﹣81C．4，5，0D．4x2，5x，﹣814．（2015春•萧山区期末3分）关于x的方程ax2+bx+c=0，有下列说法：①若a≠0，则方程必是一元二次方程；②若a=0，则方程必是一元一次方程，那么上述说法（）A．①②均正确B．①②均错C．①正确，②错误D．①错误，②正确5．（2015春•香坊区期末3分）下列一元二次方程是一般形式的为（）A．（x﹣1）2=0B．3x2﹣4x+1=0C．x（x+5）=0D．（x+6）2﹣9=06．（2015春•龙口市期中3分）方程（m+2）x|m|+mx﹣8=0是关于x的一元二次方程，则（）A．m=±2B．m=2C．m=﹣2D．m≠±27．（2015春•潜江校级期中3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A．ax2+bx+c=0B．x2﹣2=（x+3）2C．2x+3x﹣5=0D．x2﹣1=08．（2015春•潍坊期中3分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0，常数项为0，则m值等于（）A．1B．2C．1或2D．09．（2015春•启东市月考3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．（x+1）2=2（x+1）B．+﹣2=0C．ax2+bx+c=0D．x2+2x=x2﹣110．（2015春•启东市校级月考3分）下列关于x的方程中：①ax2+bx+c=0；简单的事情用心做，用心的事情重复做，重复的事情坚持做！3/96②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3=；④=x﹣1．一元二次方程的个数是（）A．1B．2C．3D．4二．填空题11．（2015•诏安县校级模拟4分）一元二次方程2x2﹣3x+1=0的二次项系数为，一次项系数为，常数项为．12．（2014秋•漳县校级期中4分）当m时，方程（m2﹣1）x2﹣mx+5=0不是一元二次方程，当m时，上述方程是一元二次方程。13．（2014•始兴县校级模拟4分）若方程（m﹣1）+2mx﹣3=0是关于x的一元二次方程，则m=．14．（2014•大庆校级模拟4分）关于x的方程mx2+3x=x2+4是一元二次方程，则m应满足条件是．15．（2014•滕州市模拟4分）一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0一根为0，则a=．三．解答题16．（2015春•龙口市期末8分）若关于x的二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m=4的常数项为0，求m的值．17．（2014秋•冠县校级期末12分）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m=0．（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．简单的事情用心做，用心的事情重复做，重复的事情坚持做！4/96提高训练1．（2010•佛山13分）教材或资料会出现这样的题目：把方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．（1）下列式子中，有哪几个是方程x2﹣x=2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号）①x2﹣x﹣2=0；②﹣x2+x+2=0；③x2﹣2x=4；④﹣x2+2x+4=0；⑤x2﹣2x﹣4=0．（2）方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？21.1降次一元二次方程的解法教学目标1.掌握用直接开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法解一元二次方程．2.准确地求出方程的根,正确地表示方程的两个根.知识梳理：1.一元二次方程20(0)axbxca的根是指使一元二次方程两边相等的未知数x的值.也叫一元二次方程的解.当然一元二次方程只要有解都有两个根.经典例题：1．（2014秋•惠州校级期中3分）一元二次方程x2=1的解是（）A．1B．﹣1C．±1D．0简单的事情用心做，用心的事情重复做，重复的事情坚持做！5/96跟踪训练：1．（2013•安顺3分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣22．（2013•来宾3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0的一个根是2，则k的值是（）A．﹣2B．2C．1D．﹣12．直接开平方法：用此法可解形如cx2、)0()(2ccbax或可化为这种形式的一类方程，这种解法的优点是能迅速准确地求出方程的解，缺点是只适用于一些特殊的方程。经典例题1．（2013秋•开县校级期末6分）用直接开平方法解方程：2（x+5）2=跟踪训练1.（2011秋•电白县校级月考6分）4（x+1）2=9（直接开平方法）3．配方法：配方法是一种重要的数学思想方法，它的应用非常广泛，解方程只是它的一个具体应用。任何一个形如bxx2的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来求解的方程。实际上我们解一元二次方程时，一般是不用此法的，主要是要掌握这种配方的思想方法。经典例题1．（2015•兰州3分）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17B．（x+4）2=15C．（x﹣4）2=17D．（x﹣4）2=15简单的事情用心做，用心的事情重复做，重复的事情坚持做！6/962．（2005•北京6分）用配方法解方程：x2﹣4x+1=0跟踪训练1.（2015•钦州3分）用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得（）A．（x+5）2=16B．（x+5）2=1C．（x+10）2=91D．（x+10）2=1092．（2013秋•普陀区校级期末6分）用配方法解方程：x2+4x+1=04．公式法：我们可以通过配方法推导出求一元二次方程)0(02acbxax的解的公式)04(2422acbaacbbx，称为求根公式。用公式的一般步骤：（1）把方程化成一般式；（2）求出acb42的值，若acb42≥0，将a、b、c的值代入求根公式，求出方程的根；若acb42＜0，则原方程没有实数根。经典例题1.（2011秋•英山县校级月考6分）3x2﹣4x﹣1=0（用公式法）跟踪训练1．（2013秋•滕州市校级月考6分）用公式法解方程：x2=5﹣12x5．因式分解法：当把一元二次方程的一边化为0，而另一边可以分解成两个一次因式的积时，就可以用因式分解法来解这个方程。要清楚使乘积ab=0的条件是a=0或b=0。如使方程x（x-3）=0的条件是x=0或x-3=0，x的两个值都可以使方程成立，所以方程x（x-3）=0有两个根。简单的事情用心做，用心的事情重复做，重复的事情坚持做！7/96经典例题：1.（2012秋•民勤县校级期中6分）（因式分解法）2x2﹣7x+3=0．跟踪训练1．（2010秋•铜陵县期中6分）3（x﹣2）2=x（x﹣2）（用因式分解法）基础训练一、选择题1．（2012•鄂尔多斯3分）若a是方程2x2﹣x﹣3=0的一个解，则6a2﹣3a的值为（）A．3B．﹣3C．9D．﹣92．（2015•烟台3分）如果x2﹣x﹣1=（x+1）0，那么x的值为（）A．2或﹣1B．0或1C．2D．﹣13．（2015•东西湖区校级模拟3分）一元二次方程x2﹣2x=0的解是（）A．0B．2C．0，﹣2D．0，24．（2008•湘西州3分）一元二次方程x2﹣4=0的解是（）A．﹣2B．2C．±D．±25．（2010秋•延庆县期末3分）如果x=2是一元二次方程x2﹣x+m=0的解，那么m的值是（）A．0B．2C．6D．﹣26．（2015•安顺3分）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A．14B．12C．12或14D．以上都不对7．（2015•衡阳3分）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2B．2C．4D．﹣38．（2015•诏安县校级模拟3分）方程（x﹣1）2=2的根是（）A．﹣1，3B．1，﹣3C．，D．，简单的事情用心做，用心的事情重复做，重复的事情坚持做！8/969．（2015•呼和浩特一模3分）方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为（）A．（x+3）2=14B．（x﹣3）2=14C．D．（x+3）2=410．（2015•安庆二模3分）用配方法把一元二次方程x2+6x+1=0，配成（x+p）2=q的形式，其结果是（）A．（x+3）2=8B．（x﹣3）2=1C．（x﹣3）2=10D．（x+3）2=411．（2015•成都校级模拟3分）一元二次方程x（x﹣3）=3﹣x的根是（）A．﹣1B．3C．﹣1和3D．1和2二．填空题12．（2015•天水4分）一元二次方程x2+3﹣2x=0的解是．13．（2015•厦门4分）方程x2+x=0的解是．三．解答题（共12小题）14．（2010秋•涪陵区校级月考6分）用直接开平方法解方程：（2y﹣1）2=15．（2013秋•常熟市校级期末6分）配方法解：x2+3x﹣4=0．16．（2011秋•滕州市校级期末6分）用公式法解方程：5y+2=3y2．17．（2008秋•郓城县期末6分）用因式分解法解方程：3x（2x+1）=4x+2．简单的事情用心做，用心的事情重复做，重复的事情坚持做！9/96提高训