3第三讲-热传导方程的解法(1)

2.5热传导问题的求解方法2006-9-25高等传热学22.5.1简单的热传导问题ttt===∂∂=∂∂===22000000,()xxLttaxLxtttfx2006-9-25高等传热学32.5.3分离变量法•从边界条件看，两侧边界条件都是齐次的；•可以尝试能满足边界条件的乘积形式的解(,)()()(),()nnnnntxXxXXLtt=Γ==000tt===∂∂=∂∂===220000()xxLttaxtttfx2006-9-25高等传热学4推导过程如果采用式的特解形式，则原来的导热微分方程就可以演化为()()()()nnnXxXxaxttt∂Γ∂=Γ∂∂22即()()()()nnnnXxaXxxttt∂Γ∂=Γ∂∂22112006-9-25高等传热学5tlttΓ==-Γ2211()()()()nnnnddXxadXxdx令展开可以分别得到tlttlΓ+Γ=+=2200()()()()nnnndaddXxXxdx2006-9-25高等传热学6前者的解为tltΓ=-()exp()nAa而后者的解可能有三种形式lllllll⎧=-+--⎪⎪=+=⎨⎪=+⎪⎩121212000()exp()exp()()()cossinnnnXxBxBxXxBxBXxBxBx2006-9-25高等传热学7若属于第一种情况，则按照边界条件有ll=+==-+--=1212000()()exp()exp()nnXBBXLBLBLBB==120出现平凡解。导致第一种情况2006-9-25高等传热学8第二种情况若属于第二种情况，则按照边界条件有BB==120也会出现平凡解。导致===+=212000()()nnXBXLBLB2006-9-25高等传热学9第三种情况若属于第三种情况，则按照边界条件有就会出现非零解。如果l===1200()()sinnnXBXLBLnnnLplb==2006-9-25高等传热学10方程的非零解pbbtbtbbb===-==22220()sin,(,)exp()sin(,)sinsinnnnnnnnnnnnXxBxLtxABaxtxABxCx2006-9-25高等传热学11其中(,)ntxt是对应初始条件为()sinnnnfxCxb=的微分方程的特解。这一组可数个特解在（0,L）区间内是正交的，即tt⎧≠⎪=⎨=⎪⎩∫002(,)(,)LmnmntxtxdxLmn2006-9-25高等传热学12由于()()nnnfxCfx∞==∑1即b∞==∑1()sinnnnfxCx(,)(,)()()nnnnnntxCtxfxCfxtt∞∞===→=∑∑11必然有即ttbtb∞∞====-∑∑211(,)(,)exp()sinnnnnnnntxCtxCax2006-9-25高等传热学13为了求出上式中各项的系数，利用得到和nCb∞==∑1()sinnnnfxCx()bbb∞=⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑∫∫001()sinsinsinLLmnnmnfxxdxCxxdx()b=∫02()sinLnnCfxxdxL2006-9-25高等传热学14得到的最终解为得到若()tbbtb∞=⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭∑∫2012(,)()sinexp()sinLnnnntxfxxdxaxL=1()fx则()bp--==∫0211()sinnLnnCxdxLntbtbp∞=--=-∑2111()(,)exp()sinnnnntxaxn2006-9-25高等传热学152.5.３热传导方程的线性特征(,)()txfxt→(,)()(,)()txfxtxfxtt→→1122如果有且有2006-9-25高等传热学16(,)()(,)(,)()()(,)(,)()()txfxtxtxfxfxtxtxfxfxatattatbtab→+→++→[phone]则一定有2006-9-25高等传热学17(),(),,()nfxfxfx12L()()nnnfxCfx∞==∑1(,)(,)()()nnnnnntxCtxfxCfxtt∞∞===→=∑∑11如果所有可能的初始条件构成一个线性空间使得任意如果这组基函数分别对应着导热微分方程的特解，则必然有成立2006-9-25高等传热学18如果能够找出初始条件函数空间中的一组基函数及其对应的导热微分方程的特解(),(),,()nfxfxfx12L就可以获得任意初始条件下导热微分方程的特解。tttL12(,),(,),,(,)ntxtxtx(,)(,)()()nnnnnntxCtxfxCfxtt∞∞===→=∑∑112006-9-25高等传热学19至于，因为有利用基函数的线性独立的特征，通过积分获得nC()(,)nnfxtx=0因此有()(,)nnnfxCtx∞==∑10∞==∑∫∫001000()(,)(,)(,)LLmnmnnfxtxdxCtxtxdx2006-9-25高等传热学20这样共有可数个关于的方程构成方程组，因而可以获得封闭的解。特别是如果在所关心的区间内，基函数是正交的，即nC(,)(,)LnmnmtxtxdxNnm⎧≠=⎨=⎩∫20000=∫2010()(,)LnnCfxtxdxN则可以直接得到2006-9-25高等传热学212.5.４热传导方程求解一般方法•初始条件函数空间的正交基•获得这些基所对应的方程的解•将这些解进行叠加•采用待定系数法获得加权系数•组合出最终的解2006-9-25高等传热学222.5.5常用术语1.齐次方程2.齐次边界条件3.特征值4.特征函数5.常见的特征值问题（Sturm-Liouville)b(,)nnXxl∂+=∂==220000()()()()nnnnXxXxxXXLbn2006-9-25高等传热学232.5.6非其次边界条件的处理tttl===∂∂=∂∂∂∂=-=-∂∂=22000000,,xxLttaxLxttqxxt2006-9-25高等传热学24（1）首先齐次化处理ttl==∂∂=∂∂∂∂==∂∂220000,,xxLPPaxLxPPqxx定义(,)(,)(,)txPxQxttt=+令(,)Pxt满足下面的方程和边界条件2006-9-25高等传热学25此时满足(,)Qxtttt===∂∂=∂∂∂∂==∂∂=-=-22000000000,,(,)(,)(,)xxLQQaxLxQQxxQtxPxPx如果能求出以上两个方程的解，则原问题的解就可以得到了。2006-9-25高等传热学26（2）辅助问题的求解2(,)()()()0,0()0,()2PxAxBxCPxBxPqqxLAxLttttttll=++∂==⇒=∂∂==⇒=∂2006-9-25高等传热学27222()()(,)2PPaxCqaLqaCDLqqaPxxDLLtttlttlttll∂∂=∂∂∂=∂=+=++2006-9-25高等传热学28（3）齐次问题的求解tttl===∂∂=∂∂∂∂==∂∂=--2202000002,,xxLQQaxLxQQxxqQxDL2006-9-25高等传热学29()()()()nnnnXxaXxxtltt∂Γ∂==-Γ∂∂2211令展开可以分别得到()()()()nnnnaXxXxxtlttl∂Γ+Γ=∂∂+=∂22002006-9-25高等传热学30前者的解为()exp()nAatbtΓ=-2而后者的解可能有三种形式lllllll⎧=-+--⎪⎪=+=⎨⎪=+⎪⎩121212000()exp()exp()()()cossinnnnXxBxBxXxBxBXxBxBx2006-9-25高等传热学31若属于第一种情况，则按照边界条件有BB==120出现平凡解。导致第一种情况llllll===---==------=1201200exp()exp()nxnxLdXBBdxdXBLBLdx2006-9-25高等传热学32第二种情况若属于第二种情况，则按照边界条件有=2任意常数B也出现平凡解。导致======10100nxnxLdXBdxdXBdx2006-9-25高等传热学33第三种情况若属于第三种情况，则按照边界条件有就会出现非零解。如果nnnLplb==llllllllll===+=-+==-+=gggg12120120000()cossinsincossincosnnxnxLXxBxBxdXBBdxdXBLBLdx2006-9-25高等传热学34pbbtbtbbb===-==12110()cos,(,)exp()cos(,)coscosnnnnnnnnnnnXxBxLQxABaxQxABxCxtbtb∞==-∑20(,)exp()cosnnnnQxCaxblbllp∞=+=--=-=--=∑∫211220022212(,)cos()()cos()nnnnLnnqQxxDCxLqqLCxDxdxLLn2006-9-25高等传热学35tbtblb+∞=-=-∑122121()(,)exp()cosnnnnnqQxaxL222221(,)(,)(,)(1)2exp()cos2nnnnntxPxQxqLxaaxDLLttttbtblb∞==+⎧⎫-=++-+⎨⎬⎩⎭∑2006-9-25高等传热学36（4）常数的确定比较上面两式ttr=()qtcLtttrl==++∫016()(,)LqqLttxdxDLcLl=-6qLD2006-9-25高等传热学37（5）最终结果22222213(1)(,)2exp()cos6nnnnnqLaLxtxaxLLttbtblb∞=⎧⎫--=-+-⎨⎬⎩⎭∑