反比例函数与-面积-动点问题

反比例函数与面积、动点问题，多边形动点问题一.求函数解析式例1.如图1，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF的面积为3。求这个反函数的解析式。图1图2二.求面积例2.图2中正比例函数和反比例函数的图象相交于A、B两点，分别以A、B两点为圆心，画与y轴相切的两个圆，若点A的坐标为（1，2），求图中两个阴影面积的和。三.特殊点组成图形的面积例3.如图3，反比例函数x8y与一次函数2xy的图象相交于A、B两点。（1）求A、B两点的坐标；（2）求AOB的面积。图3图4图5四.探讨面积的变化例4.如图4，xy和)0m(mxy的图象与)0k(xky的图象分别交于第一象限内的两点A，C，过A，C分别向x轴作垂线，垂足分别为B，D，若直角三角形AOB与直角三角形COD的面积分别为21、SS，则1S与2S的关系为（）A.21SSB.21SSC.21SSD.与k,m的值无关五.求参数的值例5.如图5，已知反比例函数x12y的图象和一次函数7kxy的图象都经过点P（m，2）。（1）求这个一次函数的解析式；（2）如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数图象上，顶点C、D在这个反比例函数图象上，两底AD，BC与y轴平行，且A和B的横坐标分别为a和a+2，求a的值。反比例函数与面积、动点问题，多边形动点问题yOxABCDαy＝x311－1－1一、反比例函数与特殊四边形结合1．如图1，已知双曲线y＝xk（k＞0）与直线y＝k′x交于A，B两点，点A在第一象限．试解答下列问题：（1）若点A的坐标为（4，2）则点B的坐标为_____________；若点A的横坐标为m，则点B的坐标可表示为_____________；（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y＝xk（k＞0）于P，Q两点，点P在第一象限．①说明四边形APBQ一定是平行四边形；②设点A，P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由．2．我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形．你可以利用这一结论解决问题．如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转α度角后的图形．若它与反比例函数y＝x3的图象分别交于第一、三象限的点B、D，已知点A（－m，0）、C（m，0）（m是常数，且m＞0）．（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形ABCD的形状一定是_____________；（2）①当点B为（p，1）时，四边形ABCD是矩形，试求p、α和m的值；②观察猜想：对①中的m值，能使四边形ABCD为矩形的点B共有．．几个？（不必说理）（3）试探究：四边形ABCD能不能是菱形？若能，直接写出B点坐标；若不能，说明理由．二、反比例函数与相似三角形结合3．如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝xk的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA＝10，tan∠AOC＝31，点B的坐标为（m，－2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式；（3）在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，请你求出P点的坐标．反比例函数与面积、动点问题，多边形动点问题4．如图，是反比例函数y＝－x2和y＝－x8在第二象限中的图像，点A在y＝－x8的图像上，点A的横坐标为m（m＜0），AC∥y轴交y＝－x2的图像于点C，AB、CD均平行于x轴，分别交y＝－x2、y＝－x8的图像于点B、D．（1）用m表示A、B、C、D的坐标；（2）求证：梯形ABCD的面积是定值；（3）若△ABC与△ACD相似，求m的值．三、反比例函数与翻折结合5．如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数y＝xk（x＞0）的图象经过点B．（1）求k的值；（2）将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、NA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数y＝xk（x＞0）的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式．6．如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点C的坐标为（4，3），反比例函数y＝xk（k＞0）的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上．（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；（2）求反比例函数的解析式；（3）如图2，P点坐标为（2，－3），在反比例函数y＝xk的图象上是否存在点M、N（M在N的左侧），使得以O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．课后练习1．如图，已知直线y＝－2x＋b与双曲线y＝xk（k＞0且k≠2）相交于第一象限内的两点P（1，k）、Q（22b，y2）．（1）求点Q的坐标（用含k的代数式表示）；（2）过P、Q分别作坐标轴的垂线，垂足为A、C，两垂线相交于点B．是否存在这样的k值，使得△OPQ的面积等于△BPQ面积的二倍？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．（P、Q两点请自己在图中标明）反比例函数与面积、动点问题，多边形动点问题2．在平面直角坐标系中，函数y＝xm（x＞0，m是常数）的图象经过点A（1，4）、点B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，AC与BD相交于点M，连结AD、DC、CB与AB．（1）求m的值；（2）求证：DC∥AB；（3）当AD＝BC时，求直线AB的函数解析式3．如图，一次函数y＝kx－7的图象与反比例函数y＝－x12的图象交于A（m，2）、B两点．（1）求一次函数的解析式和点B的坐标；（2）等腰梯形CDEF的顶点C、D在反比例函数的图象上，顶点E、F在一次函数的图象上，DE∥CF∥y轴，且C、D的横坐标分别为a、a－2，求a的值．4．如图，直线y＝21x＋b分别与x轴、y轴相交于A、B，与双曲线y＝xk（其中x＞0）相交于第一象限内的点P（2，y1），作PC⊥x轴于C，已知△APC的面积为9．（1）求双曲线所对应的函数关系式；（2）在（1）中所求的双曲线上是否存在点Q（m，n）（其中m＞0），作QH⊥x轴于H，当QH＞CH时，使得△QCH与△AOB相似？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．三角形1、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？2、如图，已知ABC△中，10ABAC厘米，8BC厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与CQP△是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD△与CQP△全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC△的哪条边上相遇？（第21题）反比例函数与面积、动点问题，多边形动点问题3、直线364yx与坐标轴分别交于AB、两点，动点PQ、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出AB、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当485S时，求出点P的坐标，并直接写出以点OPQ、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．4、如图，在Rt△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点P沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s)。⑴求x为何值时，PQ⊥AC；⑵设△PQD的面积为y(cm2)，当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式；⑶当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；⑷探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系。请写出相应位置关系的x的取值范围(不要求写出过程)四边形1、如图5,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3cm,BC=7cm,∠B=060,P为下底BC上一点(不与B、C重合)，连结AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE=∠B.⑴求证:△ABP∽△PCE;⑵求等腰梯形的腰AB的长;⑶在底边BC上是否存在一点P,使得DE:EC=5:3,如果存在,求BP的长;如果不存在,请说明理由.2、如图，在矩形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间（0≤t≤6）。（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积，并提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？5.[思维点拔]①由图形可知，当△APQ为等腰直角三角形时，QA＝AP，由此可列出关于t方程．．，从而求出t的值；②将四边形QAPC分割成△QAC和△APC，先求出三角形的面积，从而得到四边形QAPC的面积；③以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似，这个问题因不管P、Q如何运动，△QAP的∠QAP都为直角，与△ABC的∠ABC相等，所以考虑“对应边”应分．QA与BC为对应边或AQ与AB为对应边的两种情况讨论．．．．。3、如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12．动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动．两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动．（1）梯形ABCD的面积等于；（2）当PQ∥AB时，P点离开D点的时间等于秒；（3）当P，Q，C三点构成直角三角形时，P点离开D点多少时间？AQCDBPxAOQPByDABCQOPB图5CDEAP图ACQDPBE图1反比例函数与面积、动点问题，多边形动点问题4、如图，在梯形ABCD中，354245ADBCADDCABB∥，，，，∠．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．（1）求BC的长．（2）当MNAB∥时，求t的值．（3）试探究：t为何值时，MNC△为等腰三角形．5、如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．（1）求点B的坐标；（2）当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；（3）当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且ABBD=85，求这时点P的坐标。（2011江苏南京，15，2分）设函数y=2x与y=x﹣1的图象的交点坐标为（a，b），则11ab的值为﹣12．1.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，'B为CD边上的点，3'CB.将纸片沿某直线折叠，使点B落在点'B处，点A的对应点为'A，折痕分别与AD，BC边交于点M，N.(1)求BN的长；(2)求四边形ABNM的面积已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，90B，4ADAB，7BC，点E在BC边上，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点'C处．（1）求'CDE的度数；（2）求△'CDE的面积．AC